广西桂林市、梧州市2022届高三高考联合调研（一模）数学（文）试题（含答案解析）

广西桂林市、梧州市2022届高三高考联合调研(一模)数

学(文)试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|x(x-3)<0},则()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知复数2=(4-公)(1+3。(。€/?)的实部与虚部的和为12,则。=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量£=(1,-近)，卜卜3,a-b=3y[6,则£与石的夹角为()

A.JB.工C.工D.里

6433

4.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9

圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为4,4吗，…，/，设数列{叫为等差数

列，它的前〃项和为3,且%=18,q+&=90,则司=()

A.189B.252C.324D.405

5.己知:<4<|,则关于X的方程9-(4+1卜+；/+；=0有解的概率为()

2„1八3r1

A.—B.—C.—D.一

5846

6.已知M为抛物线。:犬=2期(〃>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7,到x轴

的距离为5,则，=()

A.3B.4C.5D.6

cosa-cosa_

7.已知tana=2,则)

cosa+—|

[2j

9.某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）

和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图,

下列说法正确的是（）

A.2020年第四季度的销售额为380万元

B.2020年上半年的总销售额为500万元

C.2020年2月份的销售额为60万元

D.2020年12个月的月销售额的众数为60万元

10.已知等比数列｛q｝的公比为q,前附项和5“=，”+/,若&=8/，则邑=（）

A.13B.15C.31D.33

11.在四边型中（如图1所示），AB=AD,ZABD=45°,

BC=BD=CD=2,将四边形A8CZ）沿对角线8。折成四面体A'BCD（如图2所示），

使得NzT3C=90。，则四面体A38外接球的表面积为（）

22

12.已知双曲线c：x1v=i(a>o/>0)的左、右焦点分别为G，K，左、右顶点分

别为A，4,P为双曲线的左支上一点，且直线PA与的斜率之积等于3,则下列说

法正确的是()

A.双曲线C的离心率为G

B.若PFQP%且So内=3,则叱2

C.以线段尸耳，A4为直径的两个圆外切

D.若点尸2到C的一条渐近线的距离为百，则C的实轴长为4

二、填空题

13.已知“X)是奇函数，且当x>0时，/(X)-ln(ar).^/(-e2)=2,则。=

y…—1,

14.若x,V满足约束条件31+y-5,,0,则2=工+丁的最大值为.

3x—2y+1..0,

15.函数〃尤)=-f+：的图象在点(1J⑴)处的切线的斜率为.

(元、「177["I「乃乃

16.若函数y=tan(s+号在卜上单调递减，且在卜上的最大值为

上,则。=.

三、解答题

17.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为小b,c,AMC的面积为S,已知

acosC+ccos4=6，a=42b-

⑴求«;

(2)若5=且(°2+02-从)，求A.

18.某中学组织一支“邹鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区

开展一些社会公益活动.现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿

者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查(假设每人只参加环境保护和社

会援助中的一项)，整理数据后得到如下统计表：

女生男生合计

环境保护8040120

社会援助404080

合计12080200

(1)能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？

(2)从本校随机抽取的120名参与了问卷调查的女生中用分层抽样的方法，从参加环境

保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，现从这6人(假设所有的人年龄不同)

中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助

的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率.

附：K2=7加)工~~—,其中〃=a+h+c+d.

(a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

0.0250.0100.0050.001

5.0246.6357.87910.828

19.如图，AB是圆。的直径，尸4_1_圆0所在的平面，C为圆周上一点，O为线段PC

的中点，ZCBA=30°,AB=2PA.

(1)证明：平面平面P8C.

(2)若AB=4,求三棱锥B-AC。的体积.

22

20.已知。坐标原点，椭圆C：T+^=l(a>b>0)的上顶点为A,右顶点为B,

△AOB的面积为正，原点O到直线A2的距离为逅.

23

⑴求椭圆C的方程；

(2)过C的左焦点尸作弦。E,MN,这两条弦的中点分别为P,Q,若诙.丽=0，求

△FPQ面积的最大值.

21.已知函数/(x)=%2+(2a+2)lnx.

⑴当Q=—5时，求/(x)的单调区间；

⑵若存在xc[2,e],使得/(刈_/>2》+2¥成立，求实数。的取值范围.

x=4------1,

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为2为参数).以坐标原点

产2+5

。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

p2-2pcos^-4psin0-l=0.

(1)求圆。的直角坐标方程；

⑵设圆C与直线/交于点A,B,若点尸的坐标为(4,2),求|R4|+|P8|.

23.已知函数f(x)=2x-：+|2x+a|(4>0).

⑴当“=1时，求不等式〃力43的解集；

(2)若求“的取值范围.

参考答案:

I.c

【解析】

【分析】

先求出集合B,然后由交集运算可得答案.

【详解】

由犬(犬一3)<0可得0<x<3,所B={x[0<x<3}以

又4={-1,0,1,2},所以4口3={1,2}.

故选：C

2.B

【解析】

【分析】

利用复数的乘法运算化简复数z,然后根据实部和虚部的定义求解即可.

【详解】

由复数的乘法运算可知，z=(a—2i)(l+3i)=a+6+(3a—2)i,

因为复数的实部与虚部的和为12,所以a+6+3a-2=12,解得，a=2.

故选：B.

3.A

【解析】

【分析】

先计算向量£的模，再根据向量数量积的定义，将24=3"展开，即可求得答案.

【详解】

因为所以|£|==2近,

又因为ai=3\/^,设a与B的夹角为8,夕w|0,幻，

所以|a||B|cos6=36,BP2>/2x3xcos0=3\/6,

解得cos，=^,故,

26

故选：A.

答案第1页，共17页

4.C

【解析】

【分析】

z、[a,=18

设等差数列｛%｝的公差为"，由题意和等差数列的通项公式得出;,_Qn,解方程得

出4，"，最后根据等差数列的求和公式得出演.

【详解】

解：设等差数列｛4｝的公差为d,

[a,+d=18（a.=9

由出=18,4+4=90,得;QC，解得：1。，

[20+8"=90[a-9

所以$8=8x9+=324.

故选：C.

5.A

【解析】

【分析】

12,

根据二次函数的图象与性质，求得彳4。<三，结合长度比的几何概型，即可求解.

23

【详解】

由关于X的方程x2-g+l）X+；/+g=0有解，

则满足△=（a+1）2-4x]（a2+；）*o,解得

1212

因为W<a<g,所以

2_1

根据长度比的几何概型，可得方程有解的概率为P=|■品=|.

3-4

故选：A.

6.B

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义计算可得;

答案第2页，共17页

【详解】

解：抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为>,=/,因为点"到C的焦点的距离为7,到

x轴的距离为5,所以5=2,所以。=4；

故选：B

7.A

【解析】

【分析】

根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可.

【详解】

因为tana=2,

所以

cos?a—cosacosa-fcosa-l\cosa•(—sirra)sinacosatana2

------7--------7-===sinacosa=——；-------------=-------；—=—

nJ,I-sina----------------sina-------------------------sin-a+cos-a1+tan-a5

cosa+—

I2

故选：A.

8.C

【解析】

【分析】

结合已知条件可知几何体为直三棱柱，然后利用柱体体积公式计算即可.

【详解】

由三视图可知，几何体为直三棱柱，如下图所示：

由三视图中所给数据可知，AABC的面积S=，x6x3=9,

2

答案第3页，共17页

从而该几何体体积丫=9x6=54.

故选：C.

9.D

【解析】

【分析】

首先利用第二季度的销售额占比和销售总额求出全年的销售额，然后根据双层饼图逐项求

解即可.

【详解】

不妨设全年总销售额为x万元，则第二季度的销售额可得，（6%+9%+ll%）x=260,解

得，x=1000,

选项A：第四季度销售额为1000x28%=280（万元），故A错误；

选项B：由图可知，上半年销售额为160+260=420（万元），故B错误；

选项C：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000x（5%+6%）=110（万元），

故2月份的销售额为160-110=50（万元），故C错误；

选项D：由图易知，2月份的销售额占比为5%,从而由图可知，月销售额占比为6%的月

份最多，故月销售额的众数为1000x6%=60（万元），故D正确.

故选：D.

10.B

【解析】

【分析】

由题意知等比数列｛凡｝的公比为＜7,前〃项和5“=〃?+/,若&=8%,可先求出公比

4=2,再利用等比数列｛4｝的前〃项和公式给出的5“做对比，即可求出加，即可求出分

别前四项，即可得到前四项和.

【详解】

｛4｝是等比数列，•.・4=8〃3，，4=2,故S“=,w+2",等比数列｛。“｝的前〃项和

。,=也二型=4（2"-l）=q2"-q,又•.•S“=/M+2",故4=1,机=-1,贝I」

1—2

a2=2,=4,4=8,=q+4+%+“4=1+2+4+8=15.

故选：B.

答案第4页，共17页

11.D

【解析】

【分析】

根据题意，可知A8=A7),NBA7)=9O',由勾股定理求出A8=A'O=垃，由三角形全等

进而得出/4'3C=/47)C=90。，取A'C的中点0,连接80,0。，则80=力O=；AC,

由于球心到球上任意一点的距离相等，从而可知点。为四面体HBCD外接球的球心，求出

外接球的半径R=：AC=:ylA'B2+BC2,最后根据球的表面积公式S=4左齐进行计算，

22

即可求出结果.

【详解】

解：-.-AB=AD,ZABD=45°,A'B=A'D,ZBA'D=90,

又•；BC=BD=CD=2,则42?+A'D2=4>/.A'B=A'D=x/2，

可知AA'BC^A'DC,则ZA'BC=ZA'DC=90°,

取A'C的中点0,连接80,DO,则BO=QO=，AC,

2

所以点。为四面体A'BCD外接球的球心，

则外接球的半径为：R=^A'C=^A'B2+BC2=1J(应丫+2?=乎,

所以四面体A'BCD外接球的表面积S=4TTR2=4乃x(告)=6n.

故选：D.

12.C

【解析】

【分析】

答案第5页，共17页

设尸（x,y）,则＞2=从（£一”，根据两点坐标求斜率的方法求得即4«叽=5=3,再由

e耳求出结果，即可判断A选项；由0=£=2,得，=勿，根据双曲线的定义可得

VCTa

\PF^-\PF\=2a,根据题意得出伊耳卜归回=6和|P4「+|P用2=（2C1可得出，的值,即

可判断B选项；设尸耳的中点为。，。为原点，则。。为耳工的中位线，所以

|°a|=Jp周=：（|P"|+2a）=；|P用+a,根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点

用到C的一条渐近线的距离为G，得出6=石，而2=6得出a的值，即可得出C的实轴

a

长，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,设P（x,y）,则9=从（*.-1

因为A（-。,0），4（a,0）,直线p\与的斜率之积等于3,

--------=~~=—T=3,得e=J]+4=2,故A错误;

所以kp%♦kp%

x+ax-ax~-a~a\a"

对于B,因为e=£=2,所以。=2。，

a

而尸为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得|P闾-|W|=2%

又因为尸&且S△喷=3,

所以5△呻小小耳|•%=3,则冏•附|=6,

由归/2+|%「=（2°）2,可得（|P用一|尸图）2+2归附.归周=4C"

即4/+12=16/,解得：a=\,故B错误；

对于c,设尸耳的中点为。…。为原点，则。a为耳鸟的中位线,

所以|。。卜3俨周=；（冏|+2a）=g|P/+a,

则以线段PK为直径的圆，圆心为。一半径｛=；归耳|，

以线段A4为直径的圆，圆心为O,半径4=",

答案第6页，共17页

对于D,因为点K到c的一条渐近线的距离为6,所以h=白，

又由前面的推理可知2=6,所以a=l,故C的实轴长为勿=2,故D错误.

a

故选：C.

13.1

【解析】

【分析】

根据题意，利用奇函数的性质可知/(标)=-2时，代入/(x)=-ln(G)中可求出。的值.

【详解】

解：因为“X)是奇函数，/(-e2)=2,

所以/k2)=-2,

因为当x>0时，/(x)=-ln(a¥),

所以F(e2)=-ln(ae2)=-2,所以“3=62,解得：a=l.

故答案为：1.

14.3

【解析】

答案第7页，共17页

【分析】

根据线性规划的约束条件画出图像，然后求目标函数的最大值.

【详解】

解：

画出可行域知，直线3x+y-5=0和直线3x-2y+l=0的交点为(1,2).

当直线z=x+y过点(1,2)时，z取得最大值3.

【解析】

【分析】

求出函数的导函数，代入计算/'(1)即可；

【详解】

解：因为〃司=-9+(,所以小)=-2》-9,即r(i)=-2xiq=_3,故函数在点

(1,7(1))处的切线的斜率为-3；

故答案为：-3

16.--##-0-25

4

【解析】

【分析】

先根据函数在上单调递减及周期，确定-再根据函数的最大值求解.

【详解】

因为函数)=211(8+9)在一^^上单调递减，

答案第8页，共17页

所以（y<0,i^|,则-■|4<y<0,

又因为函数在上的最大值为有，

IT7171I

所以——刃+―=—+攵肛ZwZ,即刃=----3k,keZ,

3434

所以⑷=一^.

4

故答案为：

4

17.（1）«=>/6

八、乃一3兀

（2）;或二.

44

【解析】

【分析】

（1）根据余弦定理将已知acosC+ccos4=G展开化简，可得到。=退，再根据

a=6b，求得结果.

（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理化简S=+c2-b2),可求得角B,再根

据a=6b，结合正弦定理将边化为角，可得答案.

⑴

在AABC中，由acosC+ccosA=G可得:

+cx邑士《

=73,即2〃=2折，

2ab2bc

则b-\/3,而4=yfib>

所以a=A/6；

Q)

*2+。2_6)得:

由5=S=—x2acxcosB=—accosB,

126

又5=」。。§由5,

2

所以LesinB=^~

accosB，则tanB=—,

263

因为6e（0,乃），故4=g,

6

答案第9页，共17页

根据得，sin?l=V2sinB=—,A>B,

2

又Ae（（U）,所以A=f或手.

44

18.（1）没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

3

⑵W

【解析】

【分析】

（1）根据2x2列联表中的数据，求得片=5.556,结合附表，即可求解；

（2）根据分层抽样的方法，求得参加环境保护的人数为4人，参加社会援助的人数为2

人，列举事件后可得概率.

（1）

解：由题意，根据2x2列联表中的数据，

可得片=______心七垃_______=200（80x4。-40x4。尸=50.5,556,

（a+Z?）（c+d）（q+c）伍+d）120x80x120x809

因为5.556<6.635,

所以没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

⑵

解：由题意，女生120中，参加环境保护的人数为80人，

所以抽取的6人中，参加环境保护的人数为4人，记为A,B,C,。（其中A年龄最大）

参加社会援助的人数为2人，记为a力,（其中a年龄最大）

从这6人中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，

共有（4。）,（4幼,（34）,（88）,（。。）,（。9,（。,°）,（。,6）,8种基本情况；

参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的基本

情况有：（BM）,（CM，（OM）,共3种，

故所求概率为p=1

O

19.（1）证明见解析；

【解析】

答案第10页，共17页

【分析】

(1)首先证明8CJ■平面P4C，即可得到BC1AQ,然后即可证明45_L平面PBC,根据

面面垂直的判定定理即可证明平面ABDJ_平面PBC.

(2)根据三棱锥8-48的体积等于三棱锥3-ABC的体积，从而可求出答案.

(1)

因为PAJ•圆。所在的面，即PAJ_平面4BC,而5Cu平面ABC,

所以P4J.BC.

因为AB是圆。的直径，C为圆周上一点，所以4C_L8C.

又PAnAC=A,所以3cl,平面物［C,而ADu平面B4C,所以8c_LAO.

因为AC_LBC,ZCBA=30°,所以AB=2AC.

又AB=2F4,所以PA=AC,

又。为线段PC的中点，所以ADLPC.

又PCcBC=C,所以A£>J_平面PBC,而AOu平面A8£),

所以平面ABD_L平面PBC.

(2)

在AABC中，因为N8C4=90。，48=4,所以AC=2,BC=2。

所以SAA3c=gx2Gx2=26-

因为PAL平面ABC,。为PC的中点，

所以点。到平面ABC的距离d=\PA=\.

2

所以VB-ACD=VD-ABC=S^ABCd~

【解析】

答案第II页，共17页

【分析】

(1)设出直线A3的方程为：-+^=1,原点到直线A8的距离为逅，列出关系式，通过

ab3

b2+c2=a2,根据三角形的面积，求出4，b,即可得到椭圆C的标准方程.

(2)依题意可得DEL即可判断直线DE与MN的斜率均存在，设：

y=%(x+l),D(x,,%),Eg,%)联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到P

点坐标，同理得到。点坐标，从而得到|勿|、|。尸|,S⑻,=1尸斗|。耳再利用基本不等式

及对勾函数的性质计算可得；

(1)

解：由题意，S.△/1C/O=—2ab=—2■①

•.•&()向，B(a,O),则直线AB的方程为：土+：=1,即为公+协-必=0,

ab

・・・原点到直线AB的距离为逅,

3

ah_76

:.3crb2=2(a2+h2),②

222

•「b+c=a9③

由①②③得：a?=2,b2=]^

所以椭圆C的标准方程为：—+y2=l；

2

(2)

解：由(1)可知/(-1,0),因为万后.丽=0，所以。E_LMN,

若直线DE或MN中有一条直线斜率不存在，那么P、。中一点与尸重合，故斜率一定存

在，

设OE：y=Z(x+l),则MN的斜率为

K

H2i，2=1

由，+,可得：(1+222)/+4h+242-2=0,

y=k(x+l)

设。(内，％),E(x”y2),则不+々=-*^,x^=生二，所以与=^^=-二^

121+2/121+2产2l+2k-

答案第12页，共17页

y-1)=(能y+l%即P-2kZk]

]+2k2，\+2k12*)'

-2-k]

同理将代入得。27F,27FJ,

k

、2

2k2kI2〉+公

所以|尸产|=-1++

1+2已1+2公-1+2/

-2-k2

例=i_ttEZ

2+k22+k22+k2

所以SMP=g|PFHQF|=gx

1+2公x2+公

=1J(l+〃)

~2X2k4+5k2+2

]业(1+2公+/)

2/+5F+2

+公+2

1VI公

=—X—~~彳------------

202A?+5+

1拈+*+2

22公+5+4

k2

令，=拈+公+2,贝卜22,*=22即4=±1时取等号,

当且仅当

Iq111

所以我+公=/一2,所以7=X=X

^227T12^7I)

因为函数y=2x+-在［2,+o））上单调递增，所以当x=2时为9

)in

2

所以（S.2〃）…,即4FPQ面积的最大值为压;

21.⑴单调递减区间为（0,2）,单调递增区间为（2,+8）；

e2-e+21

⑵-----1，+8.

e-1)

【解析】

【分析】

答案第13页，共17页

(1)当a=-5时，/(x)=x2-81nx,得出的定义域并对〃x)进行求导，利用导数研

究函数的单调性，即可得出了(X)的单调区间；

(2)将题意等价于2工++4-(2“+2)111'<0在［2,日内有解，设

"(x)=2x+W^-(2a+2)lnx,即在［2,e］上，函数力(x)向<0,对〃(x)进行求导，令

〃'(x)=0,得出x=a+2,分类讨论a+2与区间［2,e］的关系，并利用导数研究函数〃(x)的

单调和最小值，结合〃(x)ms<0,从而得出实数。的取值范围.

(1)

解：当a=—5时，〃x)=Y—81nx,可知f(x)的定义域为(0,内)，

贝Jir(x)=2x-§=”心,x>0,

XX

可知当xe(O,2)时，f^x)<0；当xe(2,M)时，f^x)>0；

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).

⑵

解：由题可知，存在xe［2,e］,使得成立,

等价于2x+(2a+2)lnx<0在［2,e］内有解，

可设/?(x)=2x+2"+4-(2a+2)lnx,即在［2,e］上，函数〃(力:<°，

(2a+4)(2a+2)_2x2一伽+2)4一伽+4)2(x+l)［x-(a+2)］

=2-2=2'

XX

令〃(x)=0,即(x+l)［x-(a+2)］=0,解得：x=a+2或x=—1(舍去),

当a+2Ne,即aNe-2时,/Z(x)<0,〃(%)在［2,e］上单调递减，

〃生出得“

.'J?(x)min=(e)=2e+-2a-2<0,工一丁,

T7e2—e+2匚匚I、1C—e+2

又•:---------->e-2,加以--------；

e-1e-1

当a+242时，即时，/Z(x)>0,〃(x)在［2,e］上单调递增，

()()得。,不合题意;

.-.h(x)n,n=A2=6+a-2a+2ln2<0,a,：：,

答案第14页，共17页

当2<a+2ve,即0vave-2时、

则h［x｝在［2M+2］上单调递减，在［a+2.e］上单调递增，

.,.。（口血=〃（。+2）=勿+6-（2a+2）ln（Q+2）,

*/In2＜In（^+2）＜Ine=1,.,.（2a+2）ln2v（2a+2）ln（勿+2）＜2Q+2,

//（Q+2）=2^z+6—（2Q+2）In（Q+2）＞2^z+6—2a-2=4,

即不符合题意；

综上得，实数a的取值范围为（e-；：；2,+e）

【点睛】

思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问

题：

（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出

错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；

（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区

间和最值，再进行相应证明.

22.（l）（x-l）2+（y-2）2=6；

（2）3^.

【解析】

【分析】

（1）利用互化公式/=W+Px=rcosg,y=sing,即可将圆C的极坐标方程化为直角坐标方

程；

（2）根据题意，直线/的参数方程代入圆C的直角坐标方程得r-36,+3=0,设乙出是

方程》一3心+3=0的两个根，根据韦达定理和直线参数方程中「的几何意义，可知

|用+|用=同+蚓=总+勺，即可得出结果.

（1）

解：将/*