《数学实验》习题及答案 习题11

习题111已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1]，y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5]，利用数据进行线性插值和3次样条插值，求x=2.0处的值．解：MATLAB代码如下：x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1];y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5];yy=interp1(x,y,2,'linear')yyy=interp1(x,y,2,'spline')运行结果如下：yy=1.8833yyy=1.8461可知在x=2.0处的线性插值和3次样条插值分别为1.8833，1.8461．2已知观测数据对x,y如下：x=[-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0]，y=[0.20.310.50.81.00.80.50.310.2]．现求在自变量x0=[-1.8-1.3-0.70.71.21.7]处的y解：MATLAB代码如下：clearx=[-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0];y=[0.20.310.50.81.00.80.50.310.2];x0=[-1.8-1.3-0.70.71.21.7];y1=interp1(x,y,x0,'linear')y2=interp1(x,y,x0,'nearest')y3=interp1(x,y,x0,'pchip')y4=interp1(x,y,x0,'spline')运行结果如下：y1=0.24400.38600.68000.68000.42400.2660y2=0.20000.31000.80000.80000.50000.3100y3=0.23540.37460.68220.68220.41300.2579y4=0.23930.37210.67410.67410.40950.26073已知二元函数z=fx,y在点集D=40-40432-223解：MATLAB代码如下：x=0:4;y=0:4;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=[40-404;32-223;21012;32-223;40-404];subplot(1,2,1)mesh(X,Y,Z)subplot(1,2,2)xx=0:0.1:4;yy=0:0.1:4;[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);ZZ=interp2(X,Y,Z,XX,YY,'spline');plot3(X,Y,Z,'p')holdonmesh(XX,YY,ZZ)gridon运行结果如下：4已知x=[0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4],y=[0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0]是某市家庭收入x与家庭储蓄y之间的一组调查数据（单位：万元），试建立x与y的线性函数经验公式．解：>>x=[0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4];>>y=[0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0];>>p=polyfit(x,y,1)p=

0.2390

-0.0418

所以y=0.239x-0.0418．5已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3]，y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5]，利用数据进行4次和5次多项式拟合，并画出相应的图形．解clearx=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3];y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5];f4=polyfit(x,y,4)f5=polyfit(x,y,5)x1=0:0.1:10;y4=polyval(f4,x1);y5=polyval(f5,x1);plot(x1,y4,'*r',x1,y5,'-b')legend('4次多项式','5次多项式')在命令行窗口得到结果如下：f4=0.4161-4.139015.0681-22.210116.0963f5=0.8825-9.853842.4484-87.564887.1388-28.7370可得4次多项式拟合函数为，5次多项式拟合函数为.得到的图形如下：6假定某天的气温变化记录如表11-6所示，试用最小二乘法找出这一天的气温变化规律．表11-6气温变化记录表t/h012345678910T/C1514141414151618202223t/h1314151617181920212223T/C3132312927252422201817考虑下列类型函数，得到残差.并作图比较效果：（1）二次多项式函数；（2）三次多项式函数．解cleart=[0:10,13:23];T=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 2331 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17];f2=polyfit(t,T,2)f3=polyfit(t,T,3)x1=0:0.1:23;y2=polyval(f2,x1);n1=norm(polyval(f2,t)-T)^2y3=polyval(f3,x1);n2=norm(polyval(f3,t)-T)^2plot(x1,y2,'*r',x1,y3,'-b',t,T,'ok')legend('二次多项式','三次多项式','原始数据')在命令行窗口得到结果如下：f2=-0.08982.51458.6110f3=-0.01020.2605-0.640514.0024n1=235.9120n2=71.4277可得二次多项式拟合函数为，残差为235.9120；三次多项式拟合函数为，残差为71.4277.得到的图形如下，从图和残差可知，三次多项式更接近原始数据.7有测得铜导线在温度T（°C）时的电阻R（Ω）如表11-7所示，求电阻R与温度T的近似函数关系．表11-7铜导线电阻T（°C19.125.030.136.040.045.150.0R（Ω）76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10（物理上：金属的电阻R（Ω）随温度T（°C）变化的关系为，式中a为电阻温度系数．）解为了得到R0和a，利用MATLAB命令如下：fun=@(c,t)c(1)*(1+c(2)*t);t=[19.125.030.136.040.045.150.0];R=[76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10];c=lsqcurvefit(fun,[11],t,R)norm(feval(fun,c,t)-R)^2plot(t,R,'o',t,fun(c,t))在命令行窗口得到结果如下：Localminimumfound.Optimizationcompletedbecausethesizeofthegradientislessthanthevalueoftheoptimalitytolerance.<stoppingcriteriadetails>c=70.57230.0041ans=0.1583可知R0=70.5723，a=0.0041，电阻R与温度T的近似函数关系为.残差为0.1583，所得的图形如下图所示：8全国大学生数学建模竞赛C题（酒后驾车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后，间隔一定的时间测量他的血液中酒精含量y（毫克/百毫升），得到数据如表11-8所示．表11-8酒精含量时间（小时）0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516酒精含量3068758282776868585150413835282518151210774通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中酒精浓度与时间的关系为：y=c请根据实验数据，利用MATLAB中非线性拟合函数lsqcurvefit，确定模型中的参数c1，c2，c3．解：MATLAB代码如下：fun=@(c,t)c(1)*(exp((-1)*c(2)*t)-exp((-1)*c(3)*t));t=[0.25

0.5

0.75

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

6

7

8

9

10

11

1213

14

15

16];y=[30

68

75

82

82

77

68

68

58

51

50

41

38

35

28

25

18

1512

10

7

7

4];c=lsqcurvefit(fun,[1,2,1],t,y);norm(feval(fun,c,t)-y)^2plot(t,y,'o',t,fun(c,t))运行结果如下：Localminimumpossible.lsqcurvefitstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthedefaultvalueofthefunctiontolerance.<stoppingcriteriadetails>c=114.43220.18552.0080可知，c1=114.4322，c2=0.1855，c3=2.0080.9已知某污染物在反应器中的浓度c随反应时间t的变化数据如下：t=[0.270.61.01.72346]，c=[19.2718.2516.3414.3012.439.426.455.37]．要求拟合出函数c(t)=c0e-kt解MATLAB代码如下：fun=@(c,t)c(1)*exp(-c(2)*t);t=[0.270.61.01.72346];CC=[19.2718.2516.3414.3012.439.426.455.37];c=lsqcurvefit(fun,[11],t,CC)norm(feval(fun,c,t)-CC)^2plot(t,CC,'o',t,fun(c,t))运行结果如下：c=21.04740.2582ans=2.7112可知c0=21.0474和k=0.2582，残差是2.711210数据插值和数据拟合有什么区别呢？答：插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分.他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的.插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式