高中数学必修4第一章三角函数完整教案

第一章三角函数

4-1.1.1任意角（1）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系

来讨论角：并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”''负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、引入

同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角

形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着

极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课

1.回忆：初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端

在于“狭隘”

师：初中时，我们已学习了0°〜360。角的概念，它是如何定义的呢？

生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1,一条射线由原来的位置0A,绕着它的端点0按逆时针方向旋

转到终止位置OB,就形成角a。旋转开始时的射线0A叫做角的始边，OBB

叫终边，射线的端点0叫做叫a的顶点。\

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720"'（即转体2周），\a

“转体1080””（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分X--------------A-

针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？图1

生：逆时针旋转30"；顺时针旋转30tl.

师：（1）用扳手拧螺母：（2）跳水运动员身体旋转.说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内

的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握0・〜360"角的范围基础上，重新给

出角的定义，并研究这些角的分类及记法.

2.角的概念的推广：

（1）定义：一条射线OA由原来的位置OA,绕着它的端点0按一定方向旋转到另一位置0B,就形成了角a。

其中射线0A叫角a的始边，射线0B叫角a的终边，。叫角a的顶点。

3.正角、负角、零角概念

师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于30"及750”：

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？

生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

师：如图3,以0A为始边的角a=-150°,P=-660°o特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为

这是形成了一个角，并把这个角称为零角。

师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单

起见，在不引起混淆的前提下，“角a”或“Na”可简记为a.

'1,象限角B,”石蚪/

师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此75。小〉#^

我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一_

位同学回答什么叫：象限角？dO

图2Ml5。。

图3

生：角的顶点及原点重合，角的始边及X轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，

我们就说这个角是第儿象限角。

师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她己经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上

象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：

1.定义中说：角的始边及X轴的非负半轴重合，如果改为及X轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正.

答：1.不行，始边包括端点（原点）；2.端点在原点上；

3.不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任

一象•限。

师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，

这样的预习才是有效果的。

师生讨论：好,按照象限角定义，图中的30°,3900,-330°角，都是第一象限角；300°,-60°角,都是第四

象限角；585°角是第三象眼角。

师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什

么？

生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

师：（2）锐角就是小于90°的角吗？

生：小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；

师：（3）锐角就是0°〜90°的角吗？

生：锐角：｛6lO\OOO0）；0"〜90"的角：｛6|0°^6<90°）.

学生练习（口答）已知角的顶点及坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指

出它们是哪个象限的角？

（1）420"；（2）-75°；（3）855°；（4）-510°.

答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）笫三象限角.

5.终边相同的角的表示法

师：观察下列角你有什么发现？3903303014701770

生:终边重合.

师:请同学们思考为什么？能否再举三个及30"角同终边的角？

生：图中发现390”,-330°及30°相差360°的整数倍,例如，390°=360°+30°,-33Oo=-36O°+3Ol>；及30°角同终

边的角还有750°,-690"等。

师：好!这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360°的整数倍。例如：750°=2X360"+30"；

-690"=-2X3600+30°。那么除了这些角之外，及30°角终边相同的角还有：

3XSeC+SO"-3X3600+30°

4X360"+30<l-4X360°+30°

由此，S=｛1?IP=kX360°+30'\k《Z｝来表示所有及30°角终边相同的角的集合。

师：那好，对于任意一个角a,及它终边相同的角的集合应如何表示？

生：S=｛P|P=a+kX360°,kGZ｝,即任一及角a终边相同的角，都可以表示成角a及整数个周角的和。

6.例题讲评

例1设后=｛小于90°的角｝F=｛锐角｝,G=｛第一象限的角｝,

"=（小于90■但不小于。•的角），那么有（D）.

A.F&G导EB.c.（SC\G）D.GC\M=F

例2用集合表示：

（1）各象限的角组成的集合.（2）终边落在y轴右侧的角的集合.

解：（1）第一象限角：{a|k360"Jt<a<k3600+90\keZ）

第二象限角:{ak3600+90°<a<k360"+180",kez）

第三象限角：{a|k360o+180°<a<k3600+270",k《Z}

第四象限角:{a|k360"+270"<a<k360°+360°,keZ）

（2）在-180.〜180•中，y轴右侧的角可记为-90"<90,，同样把该范围“旋转”^'3600

后，得-9CT+如360"<a<9（7+336CT,keZ,故V轴右侧角的集合为

{a|^-360'-90'<a<^•360°+90，,kel}

说明：一个角按顺、逆时针旋转化’36（T（keZ）后及原来角终边重合，同样一个“区间”内的角,

按顺逆时针旋转发‘360'（化eZ）角后，所得“区间”仍及原区间重叠.

例3（1）如图，终边落在%位置时的角的集合是{a［a=

k360O+i2。，kez}；终边落在08位置，且在［-360°,360°］内的角

的集合是{-45。,225°}:终边落在阴影部分（含边界）的角的集合

是{a|k360"-45yaVk3600+120",kCZ}.

练习：

（1）请用集合表示下列各角.

①。•〜9CT间的角②第一象限角③锐角④小于90"角.

解答⑴①4a〈90）；②仙炉360"<a<9CT+左TGO",k&z}

（2）分别写出：

①终边落在y轴负半轴上的角的集合：②终边落在x轴上的角的集合：

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；

④终边落在四象限角平分线上的角的集合.

解答（2）⑴=一90"+上,360",k&Z\②|a|a=jtT80",keZ

说明：第一象限角未必是锐角，小于90"的角不一定是锐角，CT〜90■间的角，根据课本约定它包

括0',但不包含90'.

例4在0°〜360°间，找出及下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1）-120-,（2）6607（3）-950-08\

解：⑴,/-120°=240°-360°

.•.及720■角终边相同的角是240"角，它是第三象限的角；

(2)v660'=300'+360"

...及6600终边相同的角是300",它是第四象限的角；

⑶-950,08/=129'52,-3x360,

所以及-95CT08'角终边相同的角是12炉52',它是第二象眼角.

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以360°,按通常除去进行；负的角度除以360",商是负数,

它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.

练习：

(1)一角为30",其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_111义_.

(2)集合M={a=k-90",kGZ}中，各角的终边都在(C)

A.X轴正半轴上，B.丁轴正半轴上，

C.X轴或V轴上，D.X轴正半轴或y轴正半轴上

(3)设工={a|a=炉360"+45",左GZ),3=卜,=妒360"+225",上ez)

C={a|a=ki800+45\kez},少==曰360-135,keZ)

则相等的角集合为B=l),C=E.

三.本课小结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象眼角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这

个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。

判断一个角a是第几象限角，只要把&改写成c'+如360",keZ0'<a'<360*,那么a'在

第几象限，a就是第几象限角，若角c及角口适合关系：=(2k)T8CT,则a、

月终边相同；若角a及N适合关系：=(2化+l)T80,汇eZ,则a、/终边互为反向

延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：c'+k'36(T,左eZ这

种模式(O'<a<360°),然后只要考查的相关问题即可.另外，数形结合思想、运动变化观点都

是学习本课内容的重要思想方法.

四.作业:

4T.1.1任意角(2)

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系

来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念,

下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有及a角终边相同的角的集合的表示法，［板书］

S={0|P=a+kX360",kez}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲

例1写出及下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360"WB〈720"的元素6写出来：

(1)60°；(2)-21°；(3)363"14,

解：(1)S={PIP=60°+kX360°,kWZ}S中适合-360°WB<720°的元素是

60"+(-1)XSeO^-SOO"60"+OX360°=60°60"+1X360"=420".

(2)S={P|P=-21^X360°,k£Z}S中适合-360"W8<720"的元素是

-21°+0X3600=-21°-21°+1X360"=339"-21°+2X360"=699"

说明：-21"不是0"到360"的角，但仍可用上述方法来构成及-21"角终边相同的角的集合。

(3)S={3|P=363°141+kX360°,kez}S中适合-360°WB〈720°的元素是

363014+(-2)X360°=-356°46,363°14-+(-1)X360°=3°14,363°14'+0X360°=363°14,

说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2.写出终边在下列位置的角的集合

(l)x轴的负半轴上；(2)y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即a,然后

在后面加上kX360"即可。

解：(1);在0°〜360°间，终边在x轴负半轴上的角为180°,.•.终边在x轴负半轴上的所有角构成的

集合是{BI3=180^X360°,kez}

(2)•.•在0°〜360°间,终边在y轴上的角有两个,即90°和270",.•.及90°角终边相同的角构成的集

合是Si={B|P=90°+kX360°,kez}

同理，及270°角终边相同的角构成的集合是S尸{B,B=270"+kX360l),kez}

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

SF{B|B=90"+kX360°,kez}={0|P=90°+2kX180°,kez}.........................(1)

S2={P|6=2700+kX360",kez}={P|B=90°+180°+2kxi80",k£Z}

={B|B=90"+(2k+l)X180",keZ}.............................(2)

师：在(1)式等号右边后一项是180°的所有偶数(2k)倍；在(2)式等号右边后一项是180°的所有奇数

(2k+l)倍。因此，它们可以合并为180"的所有整数倍，(1)式和⑵式可统一写成90°+nX1800(nGZ),

故终边在y轴上的角的集合为

,>

S=SiUS2={PIP=90°+2kX180,keZ}U{P|3=90°+(2k+l)X180",kez}

={B|P=90^X180°,nGZ}

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

(思考后)答：{B|B=kX180",kez},{B|0=kX9O\kez}

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

答：{BIP=45°+nX180D,nSZ}

推广：{p|p=a+kX180°,kGZ},B,a有何关系？(图形表示)

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

伊”若a是第二象限角，则2a,—,4分别是第几象限的角？

23

师：a是第二象限角，如何表示？

解：(1)是第二象限角,90°+kX360°<a<180"+kX360"(kGZ)

180°+kX720"<2a<360°+kX7200

•••2a是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。

(2)vJl-180°+45°<-<^-1800+90(左eZ),

处理：先将k取几个具体的数看一下(k=o,1,2,3…)，再归纳出以下规律：

aOL

当々=2〃(〃eZ)时，n-3600+45°<-<«-360°+90°(^GZ),"是第一象限的角；

22

aOL

当々=2"+1(〃eZ)时，〃-360°+225°<上<小360°+270°(左eZ),差是第三象限的角。

22

a

一是第一或第三象限的角。

2

说明：配以图形加以说明。

(3)学生练习后教师讲解并配以图形说明。(2■是第一或第二或第四象限的角)

3

进一步求一a是第几象限的角(一a是第三象限的角)，学生练习，教师校对答案。

三、例题小结

1.要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2.要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如

0=a+kX120°(kez)所表示的角所在的象限。

四、课堂练习

练习2若a的终边在第一、三象限的角平分线上，则2a的终边在y轴的非负半轴上.

a

练习3若。的终边及60°角的终边相同，试写出在(0",360")内，及一角的终边相同的角。(20"

3

140°,260°)

(备用题)练习4如右图，写出阴影部分(包括边界)的角

的集合，并指出-950-12•是否是该集合中的角。

({a|I20°+kX360°Wa近2500+kX360°,keZ)；是)

探究活动

经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

五、作业

A组：

1.及-490°终边相同的角的集合是,它们是第^象限的角，其中最小的正角是

>最大负角是.

2.在00~36(r范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角；

(1)-265(2)-1000"(3)-84310'(4)3900"

B组

3.写出终边在x轴上的角的集合。

4.写出及下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一360WB<360'的元素写出来:

(1)60°(2)-75"(3)-824"30'(4)475"(5)90"(6)270°(7)180"(8)0"

aa

c组：若C是第二象限角时，则2a,2,3分别是第几象限的角？

4-1.1.2弧度制(1)

教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制及角度制互化，并进而建立角的集合及实数集/?一一

对应关系的概念。

教学过程：一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。

二、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

定义：长度等于半径

长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图:AOB=lrad

A0C=2rad

周

角二2rad

1.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2.角的弧度数的绝对值|二|=一(/为弧长，r为半径)

r

3.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制及弧度制的换算

抓住：360=2rad/.180rad

71

1=----rad«0.01745n3d

180

例一把67°30'化成弧度

解：67。30'=（67口67°30'=—raJx67-=-7urad

I2；18028

3,

例二把一mad化成度

5

33

解：=2x180°=108°

55

注意几点：1.度数及弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；

2.今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin

表示rad角的正弦

3.一些特殊角的度数及弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）

4.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合及实

数的集合之间建立一种—对应的关系。

2终边在y轴上的角的集合3

终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在X轴上的角的集合S\={/3\/3=k冗,keZ}

2终边在y轴上的角的集合S2={力|力=版■+5,ZeZ

3终边在坐标轴上的角的集合S3尸|尸

五、小结：1.弧度制定义2.及弧度制的互化

六、作业：

4-1.1.2弧度制（1）

教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

教学过程：一、复习：弧度制的定义，它及角度制互化的方法。

二、由公式：,=r-\a\比相应的公式/="公简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值及半径的积

例一利用弧度制证明扇形面积公式5='〃?其中/是扇形弧长，R是圆的半径。

2

c〃兀R°

比较这及扇形面积公式S扇=------要简单

360

例二直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴一⑵165°

3

4万40万

解：r=10cm（1）：I=a•r=——xl0=---（cm）

33

例三如图，已知扇形A08的周长是6cm,该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r,弧长为/,则有

2r+/=6[r=2]

1__।=<扇形的面积S=—rl=2(cm)

1/=22

冗

例四计算sin一tan1.5

4

TTsin—=sin45°=^-

解”2=45°

442

例五将下列各角化成0到2%的角加上2k«kGZ）的形式

解：—71-F6万

33

TT

—315°=45°—360=2—2万

4

例六求图中公路弯道处弧AB的长/（精确到1m）

图中长度单位为：m

7T

解：60°=-

3

三、练习：

四、作业：

4-1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域,三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解

决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）及比值（函数值）

的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），

以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用及单位圆有关的有向线段，将任意角。的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式

表示出来.

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在RtAABC中，设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为

.aba

sinA4=—,cosA4--,tanAt=—.

ccb

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设。是一个任意角，a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),它及原点

的距离为r(r=+3?=yjx2+y2>0),那么

比值上y

(1)叫做a的正弦，记作sina,即sina=—

rr

XX

(2)比值一叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=一

rr

比值上y

(3)叫做a的正切，记作tana,即tan=—

XX

XX

(4)比值一叫做a的余切，记作cota,即cota=—

yy

比值二r

(5)叫做a的正割，记作seca,即seccr=一

XX

(6)比值L叫做a的余割，记作esca,即CSC6Z=—

yy

说明：①a的始边及X轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a一定是正角或负角，以及a的大小，只表

明及a的终边相同的角所在的位置：

②根据相似三角形的知识，对于确定的角a,六个比值不以点P(X,y)在a的终边上的位置的改

变而改变大小：

7T

③当。=,+伏£Z)时，a的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标了都等于0,所

以1@口。=2及5%。二1无意义；同理，当。=%%(%£Z)时，coya=2及csca=立无

xxyy

意义；

_yxyxrr

④除以上两种情况外，对于确定的值a,比值土、一、上、一、一、一分别是一个确定的实

rrxyxy

数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函

数统称为三角函数。

2.三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

JI

y=tana\a\a^——卜k7i,keZ]R

2

注意:

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都及才轴的非负半轴重合.

(2)a是任意角，射线力是角a的终边，a的各三角函数值(或是否有意义)及。x转了几圈，按

什么方向旋转到0P的位置无关.

(3)sina是个整体符号，不能认为是“sin”及“a”的积.其余五个符号也是这样.

(4)任意角的三角函数的定义及锐角三角函数的定义的联系及区别：

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似(直角)三角形的性质，“r”

同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标及距离、坐标及

坐标、距离及坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角

的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的

第一象限，使一锐角顶点及原点重合，一直角边及x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类

比记忆.

3.例题分析

例1.已知角。的终边经过点尸(2,-3),求a的六个函数制值。

解：因为％=2,y=-3,所以/=,2?+(-3)2=V13,于是

例2.求下列各角的六个三角函数值：

八3万

(1)0：(2)71\(3).

2

解：(1)因为当a=()时，x=rty=0,所以

tanO=O,cotO不存在，

secO=l,cscO不存在。

(2)因为当时，x=-r,y=0,所以

tan^=0,cot)不存在，

sec»=-l,esc乃不存在。

(3)因为当a=—时，x=0,y=所以

2

3%»3乃

tan——不存在，cot——=0,

22

3万一〜3万

sec—不存在，CSC——=-1

22

例3.已知角。的终边过点求。的六个三角函数值。

解：因为过点。0),所以一=逐|。|,x=a,y-2a

业nm--y2。2。275

当a>OH寸,sma=—=-7=---=—=----:

r\/5\a\y/5a5

cniv2a2a2^5

当a<OD寸,smcif=—=—1=---=―f=-=-------；

r\j5\ci\—\j5a5

4.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值)对于第一、二象限为正(y>0,r〉0),对于第三、四象限为负(y<0,r>0)；

②余弦值一对于第一、四象限为正(x>0,r>0),对于第二、三象限为负(x<0,r>0)；

r

③正切值上对于第一、三象限为正(x,y同号)，对于第二、四象限为负异号).

X

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

sina

为正全正

csca

tanacosa

为正为正

cotasecar

诱导公式

5由.三角言数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：

cos(a+2k/r)=cosa,其中ZwZ.

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为。〜2Ji间角的三角函数值问题.

三、巩固及练习

1确定下列三角函数值的符号：

兀1\TI

(1)cos250°；(2)sin(--)；(3)tan(-672°)；(4)tan---.

3

Icos^ltanx

L

2求函数y=J--------+1--------的值域

cosx|tanx|

解:定义域：cosx0；.X的终边不在X轴上

又..•tanx0/.x的终边不在y轴上

,当x是第I象限角时，X>0,y>0cosx=|cosx|tanx=itanxiy=2

...........II................,X<0,y>0cosx|=cosx|tanx|=tanxy=2

...............IIIIV...........,Icosx|=cosx|tanx|=tanx/.y=0

x>u,y<u

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.任意角的三角函数的定义：

2.三角函数的定义域、值域；

3.三角函数的符号及诱导公式。

五、课后作业：

补充：1已知点P(3r,-4r)(rwO),在角a的终边上，求sina、cosa>tane的值。

2已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值

(34.2

解：由定义r=5sin=—cos=­・・2sin+cos

555

六、板书设计：

4T.2.1任意角的三角函数(2)

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域及值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的

理解。

②三条有向线段的方向：通藕由垂足需向a的终边及单位圆的交平；余弦线由原点指向垂

足：正切线由切点指向及a的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡及x轴或y轴同向的为正值，及x轴或y轴反向的

线在x轴上；正切线在过唧立胡勒e轴正方向的交点的切除上，斗条有向我段中两条在单位

圆内，~~条在单位圆外一_j

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

授课类型：新授课

教学模式：讲练结合

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角a的终边上一点尸(一6,加)，且sina=------,求cosa,sina的值。

4

解：由题设知R=y=m.所以/?=|Oq『=(—GT，得r=，3+〃广，

.y/lmmm,八「,,入2.rz

从而sina=------=—=/,解得/%=0或16=6+=>m=±A/5.

4rV3+m2

当加=0时，r=V3,x=-V3,

当〃2=有时，r=20,x=—6,

当m=—时，r=2>/2,x=—A/3,

2.三角函数的符号：

练习2：已知sina<0且tana>0,

aaaa

(1)求角a的集合：(2)求角一终边所在的象限：(3)试判断tan—,sin—cos—的符号。

2222

3.诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值：

9万,111、.94

(1)cos—,(2)tan(------),(3)sin—.

462

二、讲解新课:

当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足Jx2+丁=1时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表

示一三角函数线。

1.单位圆：圆心在圆点O,半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2.有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么及之平行的线段亦可规定方向。

规定：及坐标轴方向一致时为正，及坐标方向相反时为负。

3.三角函数线的定义：

设任意角a的顶点在原点。，始边及x轴非负半轴重合，终边及单位圆相交及点P(x,y),

过尸作x轴的垂线，垂足为M；过点4(1,0)作单位圆的切线，它及角a的终边或其反向延

长线交及点T.

由四个图看出：T/

当角a的终边不在坐标轴上4向线段=x,MP=y,

我们就分别称有向为正弦线、余弦线、/正切线

52条有向线段的」》:纯为a/羯及单位圆的爻卜到X牺J线';上余弦

为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4.例题分析：

例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

式5万27r137

(1)—(2)—(3)----(4)

363

解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小: