第二章一元二次函数、方程和不等式

根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，在

北京召开的第24届国际数学家大会的会标

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

第一课时不等关系与不等式

明学习目标知结构体系

课标1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.

数

不—基本事实

量

要求2.会用作差法比较两实数的大小.等

关

关

系比较大小的

系—

重点重点：用作差法比较两实数的大小.方法：作差法

难点难点：作差法的应用.

［四层］学习内容1落实必备知识

1.关于实数“，〜大小比较的基本事实

两个实数a,b,其大小关系有三种可能，即a=b,a<b.

依据a>b^g­b>^；a=b0a—b=。；a<b㈡a­b<。

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与（1的大小

2.重要不等式

V。，力WR,有“2+）2三2%当且仅当0时，等号成立.

微点注解、帮你学通/.

（1）不等关系强调的是关系，可用“W”“2”“W”表示.而不等式则是表示两

者不等关系的式子，如“a>b”“a《b”.

（2）利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个（或几个）量必须具有相同性质，才

可以进行比较，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式表示.另外，在用不等式（组）

表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一.

［即时小练］

1.若x<0,则x—2与2x-2的大小关系是

解析：因为工一2一(2工-2)=-x>0,

所以x-2>2x-2.

答案：x—2>2x~2

2.如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：

其含义分别为

①最低限速：限制行驶速度P不得低于50km/h；

②限制质量：装载总质量m不得超过10t；

③限制高度：装载高度h不得超过3.5m；

④限制宽度：装载宽度a不得超过3m.

你能用数学式子表示上述关系吗？

解：①②，"W10;③入W3.5;④“W3.

［四层］学习内容2强化关键能力

［题点一］

用不等式(组)表示不等关系

［典例］用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙赢在微“点”

石■用正等式表而不

长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不第无余暗宸猗利注

直能奉审判等令员

等式表示其中的不等关系.受曼心卖坏直义

［解］由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以

0<xW18,

这时菜园的另一条边长为等N=(15-M)m.

因此菜园面积S=x(15—今.

依题意有S2U0,即K(15-§2110,

故该题中的不等关系可用不等式表示为

[0<xW18,

［方法技巧］

1.用不等式（组）表示不等关系的策略

用不等式（组）表示不等关系，首先应依据题意分清表示不等关系的对象是常数、变量还

是函数，然后由题设条件将量与量用不等号连接即得不等式（组）.要注意的是不能遗漏实际

问题中的任何一个不等关系，特别是变量隐含的取值范围.

2.常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字大于，商小于，低大于等于，至小于等于，至

语言于，超过于，少于少，不低于多，不超过

符号

><

语言

［对点训练］

1.下列说法正确的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”：仪臂丁点

B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x>y”〃旨"vb或

1黑中寄一个正：

C.某变量x至少是a可表示为”瓦就正好

D.某变量y不超过a可表示为

解析：选C对于A,x应满足xW2000,故A不正确；对于B,x,y应满足x<y,故

B不正确；C正确；对于D,y与a的关系式可表示为yWa,故D不正确.故选C.

2.某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花J麻在微,,点

:―次个不:

费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，：等夫礼华;

;用左等之，期

一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于/且获得一等奖的人数不能小于2.注速工_

设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有y人,则x,j满足的不等关系为.

120x+10yW200,

'2x+yW20,

涔，3x—yWO,

解析：由题意得4化简得，

x22,xSN*,

x22,xWN*,

JGN*.

、y£N*,

'2x+yW20,

3x—yWO,

答案：4

x22,xGN*>

lyGN*

［题点二］

作差法比较大小

［典例］(1)已知a,b均为正实数.试利用作差法比较大小：

①。3+万3与025+而2；卫生蛙:道二--------

\易如诋a=b俞勺情义

②〃5十65与凉炉十层)3

⑵根据⑴中比较大小的结果，你认为有更一般的结论吗？若有，请证明你的结论.

［解］⑴①〃一(层)+必2)

=(a3—a2b)+(b3—ab2)

=层仅一力)+"()一°)

=(a-b)(a2—b2)—(a-b)2(a+b).

当a=b时，a—5=0,a3+b3=a2b+ab2;

23322

当a^b时，(a—b)>0,a+b>09a+b>ab+ab.

综上所述，a3+ft3a2b+ab1.

②(分+b5)—~(a3b2+a2b3)

=as—a3b2+萨一a2b3

=a3(a2—b2)+b\b2—a2)=(a2—Z>2)(a3—b3)

=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2).

22

Va>0,b>0,，(a—：)220,a+b>09a+ab+b>0.

:.a5+b5^a3b2+a2b3.

⑵一^般性结论为：若a>0,>>0,机>0,〃>0,

贝“am+n+b,n+n^a,nbn+a,lbni.

证明如下：

a,n+n+bm+n—amb"—a,lb,n=a,n(an-bn)+b,n(bH—a11)

n,,nnn

=(a-b)(a-b)9

Va>0,fe>0,//?>0,/z>0,

・"”一a"—b"20,

A(a,n—〃')3"—")20,

即a,n+n+b,n+n^an,bn+anb,n.

［方法技巧］

比较两个实数(代数式)大小的步骤

⑴作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；

⑵变形：对差进行变形；

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

⑷作出结论.

［提醒］上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在

变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分

解法、配方法、有理化法等.

:赢在微“点”：注意分•跖子论目戈竹加用;

［对点训练］'.....7......................

已知xGR且xW-1,试比较不士与1-x的大小.

解：(1—x)=

1+x-1+x'

当X=()时，1匕=1-X；

X21

当l+x<0,即xv—1时，］+1<0,；・x;

当l+x>0且xWO,即一l<x<0或x>0时，］+/0,

［题点三1

不等关系的实际应用

［典例］为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人

文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,

人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中

型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方

案|展在微“点”：注意彳的诲国良案怀意义:

［解］因为组建中型图书角x个，

所以组建小型图书角为(30-x)个，

0<x<30,xGN*,

则，80x+30(30—x)<l900,

、50x+60(30-x)Wl620.

解得18Wx式20,xGN*.

由于x只能取正整数，

.♦.X的取值是18,19,20.

当x=18时，30-x=12;

当x=19时，30-x=ll;

当x=20时，30-x=10.

故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；

方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；

方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.

［方法技巧］

(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号,

然后写出不等号两边的代数式.

(2)根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.

［对点训练］

有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人；如果每间住6人,

那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.

解：设宿舍有x间，则学生有(4x+19)人，

4x+19<6x,1925

依题意，有,解得?

4x+19>6(x—1).

VxGN*,.\x=10,11或12.学生人数分别为59,63,67.

故宿舍间数和学生人数分别为1()间59人，11间63人或12间67人.

［四层］学习内容3・4浸润学科素养和核心价值

一、在典题训练中内化学科素养

不等关系是不等式的基础，具有十分重要的意义，高考对本节内容的考查主要是不等关

系的实际应用、建立不等关系解题，考查数学建模、数学运算的核心素养.

i.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各

不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x,y,z,且三种颜色涂料的粉

刷费用(单位：元/HP)分别为a,b,c,且“〈Me.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)

是()

A.ax^-by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

解析：选B法一：Vx<y<z9且a<b<c9^.ax+by+cz~(az^-by+cx)=a(x—z)+c(z~

x)=(x-z)(a—c)>0,Aax+by+cZ>az+by+ex;同理，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)

+c(x-z)=(z-x)(。-c)〈0,ay+bz^-cx<ay++cz;同理，az~^byi~cx-(ay+bz+cx)=

a(z-y)+5(y—z)=(z—y)(a—5)v0,az+by+cx<ay+fez+ex,，最低费用为(az+刀+cx)

元.故选B.

法二：特殊值法，取x=l,y=2,Z=3,a=l,b=2,c=3,则ax+勿+CZ=1X1+2X2

+3X3=14,az+勿+CX=1X3+2X2+3X1=10,aj+ftz+cx=lX2+2X3+3X1=11,

aj+ftx+cz=lX2+2X1+3X3=13,故选B.

2.(2019•北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京

白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明

对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付成功后，李明会得到支付款的8()%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的

最大值为.

解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80=140(元)，超过了120元

可以优惠，所以当x=10时，顾客需要支付140-10=130(元).

②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越

少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金

额为(120—%)元，所以(120-x)X80%>120X0.7,解得xW15.即x的最大值为15.

答案：13015

内化素养

数学作差之后的难点是对差式进行恒等变形，一般是化为几个因式积的形式，注

运算意依据题目条件，只有每一个因式的符号确定后，才能确定差式的符号

数学

通过建立不等关系解决实际问题，解题时注意参数的范围

建模

二、在导向训练中品悟核心价值

发展理性思维

1.已知实数a,b,c满足Z>+c=6—4a+3a2,c—Z>=4—4a+a2,则a,b,c的大小关

系是()

A.c》b>aB.a>c，b

C.c>b>aD.a>c>b

解析：选AVc—Z>=4—4a+a2=(2—a)2^0,:・c，b.

已知两式作差得2〃=2+2层，即5=1+层，

•.T+a?—a=(a—

22

:.1+a>a9工)=1+a>a,

：.c及b>a.

2.比较下列各组中两个代数式的大小，写出比较过程.

⑴回+S与也+小；

(2)x2+5x+16与2工2—%—11.

解：(1)：(®+小/=14+2小§,

(V9+V5)2=14+2^45,

(14+2V33)-(14+2A/45)=2(A/33—745)<0,

二而+6)2<(班+让)2.

又4五+也与羽+下均大于零，

；.瓜+导出+港.

(2)V(2x2-x-11)-(/+51+16)

=X2—6x—27=(x+3)(x—9),

:.当xv—3或x>9时，(2x2-X—11)—(x2+5x+16)>0,贝”工2+5工+16<212—x—11；

当一3vx<9时，(2x2—x—11)—(x2+5x+16)<0,则炉+5“+16>2炉一工一U；

当x=-3或x=9时，(2x2-X—11)—(x2+5x+16)=0,则x2+5x+16=2x2-x_11.

注重实践应用

3.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒;厘米，人跑开的速度是每秒4米，

为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该

满足的不等式为()

A.4X2x^100B.4X2x^100

C.4X2x>100D.4X2x<100

解析：选C当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4X2x

米，为了保证安全，有4X2x>100.

4.有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商场都推出了促销

政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……

依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾.某单位欲为每位员工购买一

件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？

解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元.依题意，

有

(80-4x)x(l&W10,xSZ),

J-l40x(x>10,xGZ).

z=80X70%x=56x(x^l,xGZ).

①若iWxWlO,xGZ,则y—z=(80—4x)x—56x=4x(6—x).

当l《xW5,xGZ时，6-x>0,.*.j-z>0,即y>z.

当x=6时，j—z=O,即^=%.

当7W*W10,xEZ时，6—x<0,.".j—z<0,即y<z.

②若x>10,xWZ,则y—z=40x—56x=-16x.

V—16x<0,

综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商

场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算.

[“四翼"检测评价]

(一)基础落实

1.某高速公路要求行驶车辆的速度0的最大值为120km/h,同一车道上的车间距d不

得小于10m,用不等式表示为()

A.。・1201401/11且</21001

B.。・1201<111/11或4/，1001

C.120km/h

D.心10m

解析：选A。的最大值为120km/h,即依120km/h,车间距d不得小于10m,即

m.二者需同时满足.

2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有

工人工资预算20()()元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是()

A.5x+4j<200B.5x+4y2200

C.5x+4j=200D.5x+4y/200

解析：选D依题意，得50x+40yW2000,即5x+4yW200.

3.(x—3产与(x—2)(x—4)的大小关系为()

A.无法比较大小

B.(x-3)2>(x-2)(x-4)

C.(x-3)2=(x-2)(x-4)

D.(x—3)2<(x—2)(x—4)

解析：选B(x—3)2—(x—2)(x—4)=x2—6x+9—^+6^—8=l>0,所以(x—3)2>(x—2)(x

—4),故选B.

4.设了=层一”，y=a-2,则x与y的大小关系为（）

A.x>yB.x=y

C.x<jD.与a有关

解析：选A因为x—>=（。2—a）一（“-2）=出—2a+2=（a—l）2+l>0,所以x>y,故选

A.

5.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、

杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余

酒的高度从左到右依次为出，h2,心，鱼，则它们的大小关系正确的是（）

A./i2>/ii>/i4B.h\>hi>h3

C.hi>hi>h4D.It2>h4>hi

解析：选A根据四个杯的形状分析易知心>必>自或比>心>自.

6.一个两位数，个位数字为丫，十位数字为y,且这个两位数大于70,用不等式表示为

解析：：该两位数可表示为10y+x,A10j+x>70.

答案：10y+x>70

7.不等式“2+4、4a中，等号成立的条件为.

解析：令层+4=4°,则a?—4a+4=0,*.a=2.

答案：a—2

8.已知a,6GR,且abWO,则岫一<?填

解析：两式作差得，ab—a2—b2=—（a—^2—^b2<0,所以a。-a2<b2.

答案：<

9.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的

一半，至多是红球个数的小白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式（组）将题中的不

等关系表示出来.

修金.

解：据题意可得，23a,y,zGN*）.

10.设X,J,z£R,比较5x2+V+z2与2盯+4%+2z-2的大小.

解：9：5x2+y2+e-（2xy+4x+2z-2）

=4x2-4x+l+x2-2XJ+J2+Z2-2z+l

=(2x-l)2+(x-j)2+(z-l)2^0,

：.5x2+y2+z1^2xy+4x+2z-2,

当且仅当x=y=；且z=l时取等号.

(二)综合应用

1.已知尸="2+26+3,Q=~b2+4a-2,则P,。的大小关系是()

A.P>QB.P<Q

C.P^QD.PWQ

解析：选C由题意可得：P—Q=a2+2b+3—(—b2+4a—2)=a2—4a+b2-]-2b+5=(a

-2)2+(b+l)2,因为3—2)220,(b+l)220,所以「一。20,即

2.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A,

8两个出租车队，A队比5队少3辆车.若全部安排乘4队的车，每辆车坐5人，车不够，

每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘5队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐

5人，有的车未坐满.则A队有出租车()

A.11辆B.10辆

C.9辆D.8辆

解析：选B设A队有出租车x辆，则8队有出租车(x+3)辆，由题意，得

r5x<56,

6x>56,

<4(x+3)<56,二9铲x<ll.而x为正整数，故x=10.

5(x+3)>56,

、xWN",

3.已知。=6+而，b=4,。=小+小，则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

解析：选D因为〃2=(g+加)2=8+21。。2=(小+下)2=8+2币瓦所以

又c与a均大于零，所以c>a;因为52­°2=16—(8+2，1©=8—话>0,所以从〉/,又力

与c均大于零，所以。,c,所以方>c>a,故选D.

4.已知由£(0,1),。2£(0,1),记M=aia29N=ax+ai~l,则M与N的大小关系是()

A.M<NB.M>N

C.M=ND.M^N

解析：选B«2e(0,l),，用一%=〃]〃2-31+。2-1)=(。1-1)(。2-1)>0,:・M>N.

5.设。12地,42=1+]+“].

（1）证明：也介于“I与"2之间；

（2）判断a”Z哪个更接近于加，并说明理由.

解：（1）证明：：（加一ai）（g-a2）

=（6一心-1一*）（1一啦）（也一0）2

1+。1

工也介于01,02之间.

|告》|=君詈＞1''⑶一—gI,'az更接近于g.

(2)V

第二课时等式性质与不等式性质

明学习目标知结构体系

1.了解等式的性质.

课标

2.掌握不等式的基本性质，并能运用这等式的性质

要求

—推导

些性质解决有关问题.不等式的性质

重点重点：不等式的基本性质.应用

难点难点：不等式基本性质的应用.

[四层]学习内容1落实必备知识

1.等式的基本性质

性质性质内容

1如果a=b,那么b=a

2如果〃=乩b=c9那么a=c

3如果a=b9那么a±c=b±c

4如果a=b,那么ac=bc

如果〃=〃，cWO,那么?=!

5

2.不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b^b<a台

2传递性a>b,b>c=^a>c不可逆

3可加性a>b^a+c>b+c可逆

a>b9c>0=^ac>bc

4可乘性c的符号

a>b,c<0=^ac<bc

5同向可加性a>bfc>d=a+c>=+d同向

6同向同正可乘性a>b>Q,c>d>0=^ac>hd同向，同正

a>b>0=^an>bn

7可乘方性同正

(〃£N,〃22)

微点注解、帮你学通/

对不等式性质的理解

(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.性质3

是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.

(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成

的.一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反.性质4中的a,b

可以是实数，也可以是式子.

(3)性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>6,c>d,可以得出a+c>b+d,

但不能得出a—c>h—d.

(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相

乘，即若。1>历>0,。2>历>0,,,,,斯>瓦>(),"GN*,则4102…诙>加岳…瓦>.

(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向

的，即符号“O”表示等价关系，可以互相推出，而符号“今”只能从左边推右边，该性质

不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要注意是否可逆.

［即时小练］

1.判断正误

⑴若表1,则〃>5.()

(2)a与b的差是非负实数，可表示为a—加>0.()

(3)Vx£R,都有x2>x—1.()

(4)a,b,c为实数，在等式中，若a=b,则ac=5c；在不等式中，若a>b,则ac>Ac.()

(5)a,b,c为实数，若ac2>加2,则烈》.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)7

2.与。»等价的不等式是()

A.\a\>\b\B.a2>fe2

C.7b>1D.

解析：选D可利用赋值法.令a=l,b=~2,满足a>5,但a2<b2,^=—^<1,

故A、B、C都不正确.

3.已知a<0幼，则下列不等式恒成立的是（）

A.a+h<QB.T<1

答案：B

［四层］学习内容2强化关键能力

［题点一］

利用不等式的性质判断命题的真假

［典例（1）（多选）制4<0,则下面四个不等式成立的有（）

____________

：赢在微“点”：由

［可仔b<a〈O：

A.\a\>\b\B.a<b

C.a+b<abD.

⑵对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是（）

A.若a>b则ac2>bc2

9赢在微“点”

；或用A中蚀1方0;

若a>b>0,贝„

B.j泡唳C中，用a<b,

:当ab>0E于，孑7《

yp

C.若avb,cvO,则::当ab<0,-^―<~7~

:ab

D.若a>b,%*,则a>0,b<0

［解析］（l）由5点。可得b<a<0,

从而|a|v|b|,A、B均不正确；

a+b<Ofab>0,贝Ia+bv。》成立，C正确；

D正确.

（2）法一：Vc2^0,，c=0时，

22

有ac=bcf故A为假命题；

由a>b>Of

故B为假命题;

当ab<0时，冠，故C为假命题.

a>b=^b­a<09

1111b-a,、^ab<0.

小丁丁声°"力->°

'：a>b,.♦.@>0且b<0,故D为真命题.

法二：特殊值排除法.

取C=0,则双2=加2,故A错；

取a=2,b=l,则;=3，1=1,

有另，故B错；

取a=-2,b=~l,则f=2,

有故C错.

［答案］(1)CD(2)D

［方法技巧］

利用不等式性质判断命题真假的注意点

(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭

想当然随意捏造性质.

(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原

则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

［对点训练］

1.若小>〃，下列不等式正确的是()赢在微“点”

覆葺万百百

A.X-m>y-nB.xm>yn殊值港求解

C.nx>myD.m-y>n-x

解析：选D取zn=l,〃=—2,x=2,y=l,则有x一机vy一凡故A错；取m=0,n

=-1,x=—1,y=-2,则有故B错；取6=1,〃=—2,x=2,y=l,则有〃xv/ny,

故C错；x>y,故一xv—y,故n—x<m—y9故D对.

2.已知。+)v0,且a>0,贝！J()

A.a2<-ab<b2B.b2<-ab<a2

C.a2<b2<—abD.—ab<b2<a2

2

解析：选A法一:令a=l,b=—2,则层=1,-ab=29b=49仄而dv—abvbz,

选A.

法二：由。+力vO,且〃>0可得力vO,且。<一反

22

因为a—(—ai)==o(a+ft)<0>所以0<a<—ab9

2

又0<a<—b9所以0<—ab<(—b),

所以力v>2,选A.

［题点二］

利用不等式的性质证明简单的不等式

［典例］若a>b>09cvdvO,evO,

厂一［麻在微"点”］----------

；克/匕妆马(b

求证：(a-c)2>(*-<02,:的大皿，再如为证明

［证明］Vc<J<0,c>—d>0.

又丁〃〉)〉。,，Q—c>》—d>0.

••(a—c)2>(b—d)2>0.

两边同乘以(a-c)；。一疗，得日为

又e<0,'(a-cy%一斤•

［方法技巧］

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础

上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条

件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

［对点训练］

已知a>A>0,c<dvO,|》|>|c|,求证：

\惠在微“点”：泳推b，G的符令4

；但恒7Iclt的％对值方升：

⑴5+c>0；

—ba

(2)^ZZ7<KZZ?

证明：⑴\,网>|c|且历>0,cvO,

:・b>—c,即b+c>0.

(2)Vc<d<Q,:.—c>—d>0,

又a>b>09/.«-c>6—J>0,

,°b-/a-

.b_b_a

'"a-c<b-d<b-d'

［题点三】

利用不等式的性质求范围

［典例］已知一1＜2。+》＜2,3＜。一八4,

「……［而在微"点'').................

：注意锚嵌解沌为：为求a,b：

；的询困，再求5a+卜的邪值—!

：黑，的辽桂不灵筹咐更的，对:

I«,b的为京匹啜,当3安化!

求5a+5的取值范围.

［解］令5a+b=i(2a+b)+f/(a—b)=(2A+fj)a+U—fi)b.

'22+〃=5,

=1,

5a+》=2(2a+5)+(a—b).

V—1<2«+Z><2,—2<2(2a+/>)<4.

又3<a一方<4,：A<2(2a+b)+(a~b)<8.

故5a+)的取值范围为l<5a+fe<8.

［方法技巧］

利用不等式的性质求取值范围的策略

(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运

算，求得待求的范围.

(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程

中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

［提醒］求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求

其他不等式的范围.

［对点训练］

1.已知一lWaW3,2WbW4,则2a—Z＞的取值范围是()

赢在微"点”

;同何不等式用书可加性」

：不能相减，同何同正不等;

♦式县再可乘性，人袋加除：

A.—642a—bW4

B.0W2a-6W10

C.一4/2。一〃42

D.—5W2。一

解析：选A因为一l《aW3,2W〃W4,

可得一2<2aW6,—4W—2,

所以一2一4/2〃一X6—2,

即一6W2a—.故选A.

2.已知Ov〃+b<29—l<b—a<l,则2a—b的取值范围是

..........................................................

朴J-a多件一个整体，利用其花用求解:

解析：因为0v〃+）v2,—l<—a+b<l9

13

且2a-〃=孑（〃+6）一不（一。+5），

结合不等式的性质可得，一|<2°一辰|.

答案：一3声2“一端5

1四层］学习内容3・4浸润学科素养和核心价值

一、在典题训练中内化学科素养

不等式的性质与应用仍是今后高考考查的热点，它主要用于比较两个数或代数式的大

小，以及证明一些不等式或与函数等知识综合命题，主要考查数学运算及逻辑推理核心素养.

1.若4>。>0,c«/<0,则一定有（）

解析：选B因为c<d<0,所以［<!<（），

所以一%一：>0,与”>b>0对应相乘得一,一g>0,所以，盗.故选B.

2.（2018•北京高考）能说明“若a>b,贝4为假命题的一组a,b的值依次为

解析：只要保证a为正分为负即可满足要求.

当a>0>Z>时，^>0>p

答案：1,一1（答案不唯一）

内化素养

数学博算运算时应注意严格按照不等式的相关性质进行

逻辑推理应用不等式性质中的倒数法则应注意各数的符号

二、在导向训练中品悟核心价值

发展理性思维

1.已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项中一定能成立的是()

A.ab>acB.c(b—d)>Q

C.ab(a-c)>()D.cb2>ca2

解析：选C取。=—1,b=—2,c=-3,

贝VQ力=2VQC=3,cb2=—12<ca2=