高考数学一轮复习40空间中的平行关系教学案文

专题40空间中的平行关系

考情解读

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的

有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；

2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题.

,重点知识梳理，

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a---------b--------a---------

图形口^=/口

a〃Q,ac0,

条件aCla=0aca,bQa,a〃balla

aA0=b

结论a〃ab〃aaCla=0a〃b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

图形4

zCZZA©,a7

auB,buB,aOba〃B,aAy=

条件anp=0a〃B,acP

=P,a〃Q,b//aa,0AY=b

结论a〃Ba〃Ba〃ba〃a

1.平行直线

(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

(2)基本性质4(空间平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角

相等.

(4)空间四边形：顺次连接不共面的四点4B,C,。所构成的图形，叫做空间四边形.

2.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线，与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

不在一个平面内的二

<1______

条直线和平面内的一#a,Zxza,

判定定理

条直线平行,则该直线a//b=^a//a

平行于此平面

一条直线和一个平面

平行，经过这条直线的

a//a,auB,

性质定理平面和这个平面相交，

anB=ga"b

则这条直线就和两平

面的交线平行

3.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

aca,Zxza,aCb

判定一个平面内有两条相交直线平行于另

=P,a//B,b//£=

定理一个平面，则这两个平面平行

A/4〃£

两个平面平行，则其中一个平面内的4〃£,au4na〃

直线平行于另一个平面8

性质A/

定理如果两个平行平面同时与第三个平面aHB、4ny=a,

相交，那么它们的交线平行8Cly=b=>a//b

4.与垂直相关的平行的判定

(1)a±a,bl.a=>a//b.

(2)a,a_L£=a〃£.

高频考点突破

高频考点一直线与平面平行的判定与性质

例1、如图，四棱锥—一485中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,〃分别为线段/APC,徵的

中点，4C与比'交于。点，G是线段冰上一点.

(1)求证：AP〃平面BEF；

(2)求证：6W平面用〃

证明(1)连接

'：AD//BC,BC=^AD,

二.四边形"CE是平行四边形，

.二。为NC的中点.

又二.尸是尸。的中点，，尸

产OU平面力加平面AEF,

：.APII平面BEF.

(2)连接/7/,011,

,:F,〃分别是AC,5的中点，

：.FH//PD,:.FHH平面PAD.

又丁。是应的中点，〃是切的中点，

J.OII//AD,〃平面为〃

又FHC0H="平面OHF〃平面PAD.

又G!k:平面OHF,：.0/〃平面PAD.

【举一反三】如图，四棱锥产一/腼的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2g点G,

E,F,〃分别是棱阳，AB,CD,上共面的四点，平面627汉L平面四缪，BC〃平说GEFH.

(1)证明：GH//EF-,

⑵若旗=2,求四边形侬7/的面积.

证明因为BCII平面GEFH,3CU平面PBC,

目平面P3Cn平面GEFH=GH,

所以GHIIBC.

同理可证副心。，因此GH"即.

⑵解如图，连接4C,皿交于点5BD交所于点M连接OP,GK

因为必=和，。是4。的中点，所以夕

同理可得尸O_LEZ

又BDCAC=O,且初都在底面内，

所以PO_L底面ABCD.

又因为平面6E%比平面ABCD,

且放平面GEFH,所以尸。〃平面GEFH.

因为平面PEOn平面GEFH-GK,

所以POUGK,且GK1底面N8CD,

从而GKVEF.

所以GK是梯形GEFH的高.

由EB=2得EB：AB=KB：DB=\\4,

从而©5=》=：Q3,即K为成的中点.

再由尸O4GK得GK=：P。,

即G是尸6的中点，且GH=^BC=4.

由已知可得06=4*,

PgRp"0E768—32-6,

所以GK=3.

GH+FF

故四边形弼/的面积S=一下一•GK

4+8.

——g-X3-18.

【变式探究】⑴如图所示，在四棱锥夕一被力中，N"C=/45=90°,/为。=NG4〃=60°,

£为阳的中点，AB=T,

求证：四〃平面均6；

(2)如图所示，CD,也均与平面跖阳平行，E,F,G,〃分别在弧BC,AC,ADk,且切，仍

求证：四边形切必是矩形.

D

证明（1）由已知条件有47=24?=2,4=2/lC=4,CQ2邓.

如图所示，延长AB,设其交于点M连接网4

因为a4C=/D/C=6O°,ACY.CD,

所以C为ND的中点，

又因为E为PD的中点，所以ECUPN,

因为欧与平面PABf/WU平面加8,

所以CE4平面取8.

⑵・「S"平面班GH,

而平面即'GHCI平面BCD=EF,

：.CDIIEF.

同理HG〃CD,且REHAB,：即计HG.

同理磔〃GF,

.•.四边形£7冽/为平行四边形.

/.CD//EF,HE//AB,

...N叱为异面直线5和46所成的角.

又,：CD1AB,：.HELEF.

.平行四边形切物为矩形.

高频考点二平面与平面平行的判定与性质

例2、如图所示，在三棱柱48C—/由G中，E,F,G,〃分别是48,AC,AB,4G的中点，求

证:

(1)6,C,H,G四点共面；

(2)平面£)%〃平面BCHG.

证明(D；G,〃分别是45,4G的中点，

.♦.0/是448£的中位线，

又TBiCMBC,

:.GHHBC,

..B,C,H,G四点、共面.

⑵”,尸分别是AS,/C的中点，

.,.EFIIBC.

二班坪面BCHG,3CU平面BCHG,

.D〃平面BCHG.

触EB,

二四边形4以%是平行四边形，

：.AxE//GB.

因平面6G/，GBC平面8C"G,

二4£〃平面BCHG.

,:A、EC£F=E,

,平面£%〃平面BCHG.

【方法技巧】证明面面平行的方法：

(1)面面平行的定义：

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

【变式探究】如图，在正方体s一486〃中，S是80的中点，£、F、C分别是8C、DC、

SC的中点，求证：

(1)直线比〃平面BD队

(2)平面砸〃平面BDD、B\.

证明(1)如图，连接环,

,:E、G分别是BC、SC的中点，.•.EG"S8.

又二.阳U平面BDDLBI,EGI平面BDDIBI,

二.直线EG"平面BDDiBi.

(2)连接丁尸、G分别是DC、SC的中点,

：.FGHSD.

又「MU平面BDDiBi,尸GI平面8次九51,

：.FG/I平面BDD逮1,

又£优：平面药守,6G已平面雨；，EGCFG=G,

，平面"右〃平面BDIXBx.

高频考点三平行关系的综合应用

例4、如图所示，在四面体48口中，截面“&/平行于对棱和切，试问截面在什么位置时

其截面面积最大？

解平面EFGH,

平面如第与平面/比'和平面力加分别交于尸G、EH.：.AB//FG,AB//EH,

：.FG//EH,同理可证用〃。/,

.•.截面母的是平行四边形.

设46=a,CD=b,2FGH=a(a即为异面直线48和5所成的角或其补角).

又设FG=x,GH—y,则由平面几何知识可得二=/*冬两式相加得'+[=1,即y=-(a

aBCbBCaba

—x),

*•SEFGH=FG•GH,sina

b,、一加ina,、

=x-(fl-JC)sma=——x(<2—x)

'.'JOO,且x+(a—力=a为定值,

^sina,、a^sina

厂.当且仅当时,--x(fl-x)=—^―

此时x=W，尸今

ArAr

即当截面的第的顶点区F、G、H为梭AD、AC,BC、切的中点时截面面积最大.

【感悟提升】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中,

常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.

【变式探究】如图所示，四棱锥0—46切的底面是边长为a的正方形，侧棱2LL底面的切,

在侧面外C内，有BELPC于E,且庞试在4?上找一点凡使原〃平面为〃

在平面板内，过E作EG"CD法PD于G,

连接4G,在"上取点凡使AF=EG,

'：EG//CD//AF,EG=AF,

.•.四边形两为平行四边形，

：.FE//AG.

又出大平面为。，网平面为〃，

.D〃平面PAD.

.••尸即为所求的点.

又*_1_面｛a〃：.PALBC,

又3c1初，面母W

:.P0=B。+PB'2=BC1+AB2+PA2.

设JM=x贝ijPC=72W+",

由PBBC=BEPC得:

：.x=a,即PA-a,：.PC=^a.

又一回2=冬,

.PE_2.GE_PE_2

,PC~y,CD~PC~3f

22?

即GE=]CD=斜「"二严.

2

即AF^-AB.

故点厂是力6上靠近8点的一个三等分点.

真题感悟

1.【高考山东理数】在如图所示的圆台中，4C是下底面圆。的直径，成是上底面圆。的直径,

所是圆台的一条母线.

(I)已知G”分别为£，，用的中点，求证：〃平面48C；

(II)已知上科,月0264户兆求二面角F-8C-A的余弦值.

2，

A

【答案】(I)见解析；(II)——

7

【解析】

(D证明：设户匕的中点为九连接国；却，

在△CEF,因为G是CE的中点，所以Q7/EF,

又E尸〃0B,所以G27/0B,

在Z^C阳中，因为H是用的中点，所以牙〃BC,

又用c仪=/,所以平面Gffl■〃平面45C,

因为GHu平面G田，所以GH"平面45C.

(ID解法一：

连接。。'，则。。'J•平面ABC,

又AB=BC,且AC是圆。的直径，所以8。，AC

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-初z,

由题意得8(0,26,0)，C(-25/3,0,0)，过点尸作垂直OB于点M,

所以FM=\IFB2-BM2=3,

可得尸(0,6,3)

故3C=(-273,-273,0),BF=(0,-Q,3).

设相=(%,y是平面BCF的一个法向蚩一

mBC=Q

由，

mBF=0

可——2后=0

3y+3z=0

.一J3

可得平面用CF的一个法向量而=(—LL^)：

因为平面ABC的一个法向量〃=((),(),1),

而zmn近

所以cos<m.n>=------=——・

|m||n|7

所以二面角F-BC-A的余弦值为也.

解法二：

连接0。'，过点尸作bM_L08于点M,

则有nw//oo',

又0。'，平面ABC,

所以勾入平面ABC,

可得FM=^FB--BM1=3,

过点M作MN垂直于点N,连接FW,

可得FN1BC,

从而ZFW为二面角F-BC-A的平面角.

又加=BC,4C是圆。的直径，

所以胸=sin450=在：

从而*=当，可得8s/RW=g

所以二面角F-BC-A的余弦值为斗.

2.【高考江苏卷】

如图，在直三棱柱ABC-A^a中，。"分别为AB,8C的中点，点尸在侧棱B山上,且B.DVA.F,

4cl_LA4.

求证：（1）直线龙〃平面4GE

（2）平面台龙LL平面

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】证明：（1）在直三棱柱ABC—A4G中，AC//4G

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.

所以。E//AC,于是。E//4G

又因为DEg平面AGRAGu平面AGF

所以直线DE//平面AGF

(2)在直三棱柱ABC—A旦G中，A4,J_平面A|B£

因为AGu平面44G，所以A4t_LA£

又因为/QiJL44,AAXu平面如44,u平面HKB14Mlzr[f]AA1=A1

所以4G■»•平面

因为%。U平面ABB]A,所以4G，用Q

又因为4Z>,4Gu平面4GE4Fu平面通GE&G=4

所以与D_L平面4C]F

因为直线4普<=平面与2M,所以平面叫ZM_L平面4G"

3.【高考天津理数】

如图，正方形4?缪的中心为。，四边形。鹿尸为矩形，平面第%]平面点G为46的中

点,A田BE=2.

(I)求证：1力〃平面A9A

(II)求二面角。册C的正弦值；

2

(III)设〃为线段/尸上的点，RAIk—HF,求直线药/和平面面所成角的正弦值.

3

【答案】(I)详见解析(II)—(III)—

321

【解析】依题意，。尸1■平面4BCD,如图，以。为点，分别以尸的方向为x轴，

y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得。(0,0,0),

1,—1,0),C(l,—1,0),0(1,1,0),E(—l,T2),F(0,0,2),G(—1,0,0).

(I)证明：依题意，4D=(2,(),0),AR=(l,—1,2).设勺=(x,y,z)为平面4OF的法向量,

n.AD=02x=0

则4，即《X)，+2z_0.不妨设z=l，可得％=(0,2,1),又EG=((),1,—2),

niAF=0

可得反;飞=0,又因为直线EG«平面所以EG//平面ADF.

(H)解：易证，瓦5=(-LL。)为平面。班的一个法向量依题意，砺=(LL。),而=(—LL2).设

—,、_EF=0x4-y=0

巧=(xj,z)为平面CEF的法向量，贝"二_,，即，1+y+2z=。.不妨设A1,可得

巧-CP=0

巧=(L-U).因此有8S<丽a>=i^^=-坐，于是sin<04%>=孚,所以，二面角

|叫㈣33

。一石尸一。的正弦值为亚

3

22

(III)解：由得4”=二4尸.因为AF=(1,—1,2),所以

2—(224)、*丁匕334、,「284、

AH=-4/=|一,一一，进而有“I--,从而5Dr"=|一,一,一|,因此Ll

51555){555){555)

.所以，直线和平面所成角的正弦值为—

cos<BH,n2>-产了=BHCEF

\BH\-\n2\2121

L【高考新课标2,理19］（本题满分12分）

如图，长方体—中，A3=16,5C=10,A4,=8,点E,尸分别在其耳，

CQi上,/=4.过点E,尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）;

（II）求直线AF与平面。所成角的正弦值.

【答案】（I）详见解析；（n）上.

15

【解析】（I）交线围成的正方形E"G尸如图：

（II）作垂足为M,则，A/=4E=4,琢/=必=8,因为EffGF为正方形，所以

EH=EF=BC=IQ.于是MH=而理与尸=6,所以团=10.以。为坐标原点，刀的方向为

x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一型，则410，°，0）,"（10,109）,后（10,48）,

尸（0,4,8）,^£=（10,0,0）,郎=（0.为8）.设〃=（x,yz）是平面EHG尸的法向量，贝R_一即

nHE=Q,

所以可取G=（°43）・又万=（TQ4,g）,故即藐善＞|=占备=¥.所以直

线AF与平面a所成角的正弦值为述.

15

2.【江苏高考，16］（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—44G中，已知AC_L5C,

BC=CC「设Ag的中点为。，BCn8C；=E.求证：（1）DE〃平面4AG。；

(2)BQ±ABt.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】（D由题意知,E为B】C的中点,

又D为叫的中点，因此DE//AC.

又因为DEU平面AAiGC,ACu平面AAiGC,

所以DE//平面AAGC.

（2）因为棱柱ABC—是直三棱柱，

所以CG，平面ABC.

因为ACu平面ABC,所以AC_LCC「

又因为AC_LBC,CJu平面BCJB|，BCu平面BCJB「BC,=C,

所以AC_L平面BCGB1.

又因为BQu平面BCGB1,所以BJLAC.

因为BC=CC「所以矩形BCGB1是正方形，因此BG，B|C.

因为AC,BQu平面B|AC,ACB£=C,所以BQ，平面B|AC.

又因为AB|u平面B|AC,所以BC|_LAB].

3.【高考安徽，理19】如图所示，在多面体442改为4,四边形ADD^,ABCD

均为正方形，E为乌鼻的中点，过4，。,£：的平面交eq于F.

(I)证明：EF//BC；

(II)求二面角E—a。-5余弦值.

【答案】(I)EFHB,C-,(II)—.

3

【解析】

(I)证明：由正方形的性质可知4与〃2〃。＜7,且44=Z5=DC,所以四边形44co为平行四

边形，从而〃4。，又40U面4DE，玛Ca面A.DE，于是31c7/面ADE，又4Cu面4cP,

而面4DECI面4。5=即，所以EF〃4c.

r

(II)因为四边形AA.B.B,ADDH,如CD均为正方形，所以441_L必，⑷Z&_L45,且

NX1=疑=/D,以N为原点，分别以万，万，房为x轴，T轴，z轴单位正向量建立，如图所示的空

间直角坐标系，可得点的坐标X0.0.0),B(L0,0),.0(0,L0),4(0,0,1),A(lo.D.乌(。,LD一而E点为孙

的中点，所以七点的坐标为350.5,1).

设面ADE的法向量q=(4,$]4).而该面上向量4石=(0.5,0.5,0),4。=(0,1,—1)，由

0.54+05s[=0

勺_14瓦〃1，4。得彳，4，％应满足的方程组｛__'，(T,Li)为其一组解，所以

.4一4=0

可取“=(—1,1,1).设面448的法向量%=(公$2,切，而该面上向量

A4=(i,o,o),4。=(0」,一1)，由此同理可得%=(0,1,1).所以结合图形知二面角

E-A.D-B的余弦值为=2=逅

I々H〃21<3x723

1.(•安徽卷)如图1-5,四棱柱/比。-4笈G"中，底面/版，四边形4?必为梯形，

AD//BC,且4)=2%过4,C,〃三点的平面记为能与a的交点为。

图1-5

(1)证明：0为防的中点；

(2)求此四棱柱被平面。所分成上下两部分的体积之比；

(3)若44=4,切=2,梯形4%力的面积为6,求平面。与底面4%®所成二面角的大小.

解：⑴证明：因为成〃44,BC//AD,

BCC\BQ=B,ADnAAx=A,

所以平面Q6C〃平面AxAD,

从而平面4切与这两个平面的交线相互平行，

即QC//A.D.

故△物与△449的对应边相互平行,

于是△/8△4/〃,

g*BQBQBC1

所以前一就一而一亍即0为期的中点.

(2)如图1所示，连接3,QD.设AA、=h,梯形四点的高为d,四棱柱被平面。所分成上下

两部分的体积分别为/上和"，BC=a,则Afa.

图1

/三棱锥QJ•2a•方•d=〈ahd,

OLtO

_1a+2a

y四棱维Q-J/O=2丁•小

7

所以嗫=/三棱锥Q-A.AD+/四梭锥。.皿=7?劭4

3

又1/四棱柱-ABCI)=-ahd,

3711故£=?

所以V上=V四棱柱AiBiCWi・ABCD—V下=5ahd—Rahd=wahd,

(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作⑷?LDC,垂足为E,连接出艮

又且/74irL4E=4,

所以DE1平面值1,所以DE1N@

所以N®i为平面a与底面HSCD所成二面角的平面角.

因为AD-2BC,所以

又因为梯形ABCD的面积为6,00=2,

所以Skioc=4>AE=4-.

于是tanAAEAi=44r=l,ZAEAi=今

故平面a与底面46（力所成二面角的大小为亍.

方法二：如图2所示，以〃为原点，DA,而分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.

设ZCDA=8,BC=a,贝lj4Z?=2a.

a+2d

因为S四边形.皿>=~•2sin。=6,

图2

从而可得以2cos0,2sin夕，0),方,0,j，

所以仇7=(2cos0,2sin*0),而尸(一^,0,4

Vsin"

设平面N1DC的法向量刘=Q,”1）,

由忸4

r?i—~》+4=0>

sm8

n=2xcosJ+2gle=0,

jr=­sin0,

得」

y=cos8f

所以n=(-sin仇cos0,1).

又因为平面儿的法向量求二｛0,0,1）,

所以cos〈力冽）=僦=冬

故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为去

2.（•北京卷）如图1-3,正方形4。1的边长为2,B,。分别为417,肌?的中点.在五棱锥。

-ABCDE中,尸为棱阳的中点，平面/如与棱加，A7分别交于点G,〃

(1)求证：AB//FGx

⑵若用，底面/山阳且月=4反求直线a1与平面/“所成角的大小，并求线段方的长.

图1-3

解：(D证明：在正方形AMDE中，因为B是•的中点，所以ABIIDE.

又因为功C平面PDEf

所以ABII平面PDE.

因为HBu平面ABFf且平面叩平面PDE^FG,

所以AB"尸G

⑵因为以1底面ABCDE,

所以我145,PAVAE.

建立空间直角坐标系4ryz,如图所示，则4(0,0,0),6(1,0,0),<7(2,1,0),一(0,0,

〃•。(4比sup6(f))=0,[x-Q,

-即

〃•淳=0,〔y+z=0.

令z=l,则P=-1.所以〃=(0,—1,1).

设直线式与平面力断所成角为a,则

sina=|cos",BC)\=\f(n.|/?|\~BC\)\=1.

,,JI

因此直线园与平面曲•所成角的大小为百

设点H的坐标为(小v,w).

因为点耳在棱尸C上，所以可设昨屁卬4<1).

即Q,v,w-2)=Z(2,1,一2),所以u=2A,V=2,W=2-2A.

因为«是平面ABF的一个法向量，

所以n-Ah=Qf

即(0,-b1)-("，32-2x)=0,

解得九号所以点H的坐标为修jf|).

4'4'

所以勿=

3.(•湖北卷)如图1-4,在棱长为2的正方体力6CD4AG"中，E,F,M,N分别是棱46,

AD,46,4。的中点，点只0分别在棱加，阳上移动，且"占加=2(0〈/〈2).

(1)当儿=1时，证明：直线附〃平面的Q

⑵是否存在4,使面分附与面图断所成的二面角为直二面角？若存在，求出4的值；若

不存在，说明理由.

N/

图1-4

解：方法一(几何方法):

⑴证明：如图①，连接加，由/吃4844是正方体，知

当儿=1时，?是9的中点，又尸是4〃的中点，所以严〃A",所以BQ〃FP.

而⑸上平面阴密,且阳(I平面故直线66〃平面厅7双

图①

(2)如图②，连接劭.因为其尸分别是46,力〃的中点，所以即〃BD,且斯

又DP=BQ,DPUBQ,

所以四边形PQ3D是平行四边形，板PQNBD,且也=6。，从而回叫也，旦或七步。

在RiAEBO和RiAFDP中，因为BQ=DP=A.,BE=DF=l,

于是EO=FP=y{i+^＞所以四边形EFPO也是等腰梯形.

同理可证四边形PQAW也是等股梯形.

分别取町，P。,的中点为H,O,G,连接QH,0G,

贝ijGO]_PQfHO]_PQ,而GOf\HO=O,

故/GO〃是面价附与面PQ%V,所成的二面角的平面角.

若存在2,使面即空与面。。肺所成的二面角为直二面角，则/以/=90°.

连接£必，FN,则由原〃拗；且"二』加知四边形原的是平行四边形.

连接的因为〃，G是匹砌¥的中点，

所以G4ME=2.

在丛GOH中,弱=4,就=1+儿2-=r4

21

公=1+(2—A)2=(2一尸+宗

由"?+笳=曲，得(2—4”+,+1+；=4,解得儿=1

故存在=1±2'使面EFPQ与面03处所成的二面角为直二面角.

方法二(向量方法)：

以〃为原点，射线的，如分别为X,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由

已知得8(2,2,0),6(0,2,2),E(2,1,0),尸(1,0,0),下(0,0,A).

图③

的=(一2,0,2),FP={~\,0,A),FE=(\,1,0).

(1)证明：当4=1时，FH0,1),

因为拓=(-2,0,2),

所以反;=2旗即/〃用

而尸Pu平面町PQ,且SC1评面故直线BC1〃平面期

Fk-n=O,,='x+y=O,

(2)设平面昉P。的一个法向量为n=Qc,y,z),则由可得，

再n二O—X+A^=O.

于是可取n=G，-k,1).

同理可得平面乂诙。的一个法向量为洲=日-2,2-31).

若存在3使面UPQ与面也AW所成的二面角为直二面角,

贝ij冽4二口-2,2-A,1＞口,-A.,1)=0,

即如―2)—A(2—©+1=0,解得丸=1上半一

故存在a=1土半，使面分制与面户QMV所成的二面角为直二面角.

4.(•新课标全国卷H)如图1-3,四棱锥门力故?中，底面/腼为矩形，阳，平面4颇，E

为阳的中点.

⑴证明：阳〃平面4£C；

⑵设二面角246C为60°,AP=\,折木,求三棱锥£4切的体积.

18.解：⑴证明：连接被交/C于点。，连接£0.

因为ABCD为矩形，所以。为BD的中点.

又3为PD的中点，所以即“PA

因为次尢平面皿C,尸曲X平面HEC,

所以PSII平面AEC.

(2)因为以1平面建CD,疑⑵为矩形，

所以3，AD,/P两两垂直.

如图，以力为坐标原点，靠,AD,月夕的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|崩|为单位长，建

立空间直角坐标系4xyz,则〃(0,0),《0,坐，；)，4£=(0,坐，

设出血0,0)(卬＞0),则以加，4，0),血=5,小，0).

设m=(x,y,z)为平面/龙的法向量，

n\•s切6—))=0,/zz%+^3y=0,

则<一叫镉1

/+Z=0,

、n-4£=0,2-j2

可取〃i=0^,—1,4).

又〃2=(1,0,0)为平面刃£的法向量，

由题设易知Icos</?i,rh)|=1,即

解得片★

因为£为心的中点，所以三棱锥反"》的高为:三棱锥氏/缪的体积K=|x|x^/3x|x1=

也

8,

5.(•山东卷)如图1-3所示，在四棱柱力6(力-46G4中，底面"以力是等腰梯形，/DAB=

60°,/8=2切=2,M是线段49的中点.

图1-3

(1)求证：G"〃平面4力加；

(2)若磔垂直于平面ABCDa3=/,求平面GZU/和平面/腼所成的角(锐角)的余弦值.

17.解：(I)证明：因为四边形98是等腰梯形，

^AB-2CD,所以A5〃DC,

又M是建的中点,

所以COMMA且CD=MA.

连接44.因为在四棱柱4崎-4844中，

CD//CM,CD=C\D\,

所以G〃〃,物，CxDy=MA,

所以四边形AMGD^为平行四边形，

因此,QM//DxA.

又平面AiADDi,D/u平面AiADDi,

所以C1AZ〃平面41ADD1.

(2)方法一：连接幺C,MC.

由(1)知，CD"AM且CD二月M,

所以四边形AMCD为平行四边形，

所以BC^AD-MC.

由题意乙隹。=0」"=6小，

所以△MBC为正三角形，

因此AB=25C=2,CA=®

因此CAVCB.

设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

所以4(4,0,0),6(0,1,0),4(0,0,小).

因此J(芈，0),

所以该=[乎，-1,/)，虎=砺=「坐/0)

设平面的一个法向量〃=(x,y,z),

n,o(D]C\su/?6(f))=0,卜历一y=0,

由<一f得

、n•MK=0,2镉z=0,

可得平面的一个法向量〃=(1,^3,1).

又备=(0,0,/)为平面/版的一个法向量.

「，，.—,supBlir*),n市

因止匕cos(CD\,n)—-----------------=~~

\CDx\\n\5f

所以平面G4"和平面1腼所成的角(锐角)的余弦值为

5

方法二：由⑴知，平面〃GJ/n平面力比》=用点过C向四引垂线交朋于点儿连接几M

MN

由CDil平面"8,可得DWJUB,

因此/DWC为二面角Ci-AB-C的平面角.

在RtASNC中，BC=1,NABC=&）\

可得即申，

所以Mh=4E丽丽=挛.

鱼厂

cv?Ms

在RtADiW中，esQWH捻产忘二号,

~T~

所以平面四〃和平面颉所成的角（锐角）的余弦值为当

押题专练

1.有下列命题：

①若直线，平行于平面。内的无数条直线，则直线1//a.

②若直线a在平面a外，则a〃a；

③若直线a〃4b//a,贝ija〃。；

④若直线a〃6,b//a,则a平行于平面a内的无数条直线.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

解析命题①/可以在平面a内，不正确；命题②直线a与平面。可以是相交关系，不正确;

命题③a可以在平面a内，不正确；命题④正确.

答案A

2.设0，〃是不同的直线，a,£是不同的平面，且必，nua,则“a〃£”是“卬〃£且"

〃产”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析若孙"U。，。"S,则加#乃旦""产；反之若次，HU。，冽4S且刘#/，贝|Ja与，相交或平行,

即“山，是,llfiS.nl!k的充分不必要条件-

答案A

3.如图所示的三棱柱/员7-4区G中，过4区的平面与平面ABC交于DE,则DE与46的位置关

系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.以上均有可能

解析在三棱柱4a'-4夕G中，AB〃AB,

•."Su平面/6G4AQ平面48C,

〃平面ABC,

过48的平面与平面AEC交于DE.

:.DE"AB,：.DE//AB.

答案B

4.下列四个正方体图形中，A,8为正方体的两个顶点，材，N,尸分别为其所在棱的中点，能

得出胆〃平面仞怀的图形的序号是（）

A.①③B.①④