2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第四章 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算含答案

19版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第四章第一节导数的概念及其意义、导数的运算第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算【课程标准】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.【考情分析】考点考法:高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x(2)函数y=f(x)的导函数2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).【微点拨】求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxf(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.导数的运算法则若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'[cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【微点拨】在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率B.函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cosxC.求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的【解析】选BCD.Bf(x)=sin(-x)=-sinx,则f'(x)=-cosx.×C求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误.×D“在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条.×2.(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,eA.y=e4x B.y=eC.y=e4x+e4 D.y=e2【解析】选C.设曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y-e2因为y=ex所以y'=ex(x所以k=e4所以y-e2=e4(所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y=e3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'(π4)cosx-sinx,则f'(π4)=1-【解析】f'(x)=-f'(π4)sinx-cosx令x=π4,得f'(π4)=-22f'(π解得f'(π4)=1-24.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为1e;b的值为-1【解析】y'=aex+lnx+1,所以ae+1=2,【巧记结论·速算】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【即时练】1.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[-2,-1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)=-x2+1(答案不唯一).

【解析】由条件①知f(x)为偶函数,可设f(x)=ax2+c,因为f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,所以a<0,因此满足条件的一个解析式为f(x)=-x2+1.2.(多选题)已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)-f(2)>f'(3) D.f(3)-f(2)<f'(2)【解析】选BCD.由题图可知,f'(2)>f'(3)>0,故A错误,B正确.设A(2,f(2)),B(3,f(3)),则f(3)-f(2)=f(3)-f由题图知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2),故C,D正确.【核心考点·分类突破】考点一导数的概念[例1](1)已知函数f(x)可导,则f(2+2ΔxA.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)【解析】选B.因为函数f(x)可导,所以f'(x)=f(x所以f(2+2Δx)-f(2)函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为3,在x=2处的导数为4.

【解析】函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为22-122-1=3;因为f'(x)=2x,所以(3)(多选题)环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a下列四个结论正确的是()A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强【解析】选ABC.-f(b)-f(a)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,D错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,C正确.【解题技法】求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率ΔyΔx(3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限.【对点训练】1.(多选题)某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.下列四个结论正确的是()A.在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大B.在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大C.在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢D.甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大【解析】选BC.对于A,在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,说法错误.对于B,在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,说法正确.对于C,在t2时刻,乙的图象比甲的图象陡,瞬时增长率大,说法正确.对于D,甲的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,说法错误.2.如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1+Δx【解析】由题图可得在x∈[0,2]上,函数图象上每一点处的斜率都是4-00-2=-2.考点二导数的运算[例2](1)(多选题)下列求导正确的是()A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2C.(2sinxx2)D.(2x+cosx)'=2xln2-sinx【解析】选ABD.对于A,[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正确;对于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'=3x2lnx+x2,故B正确;对于C,(2sinxx2)'=(对于D,(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx,故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,则f'(2)=()A.1 B.-9 C.-6 D.4【解析】选C.因为f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2,把x=1代入f'(x),得f'(1)=3×12+2f'(1)+2,解得f'(1)=-5,所以f'(x)=3x2-10x+2,所以f'(2)=-6.(3)求下列函数的导数:①y=(3x3-4x)(2x+1);②y=lnx③y=11-2x2;④y=cos(3x【解析】①方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.②y'=(lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(=1-③设y=u-12,u=1-2则y'x=y'u·u'x=(u-12)'·(1-2x=-12u-=-12(1-2x2)-3=2x(1-2x2)-④y'=-sin(3x2-π6)(3x2-π6=-6xsin(3x2-π6)【解题技法】导数的运算技巧(1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.【对点训练】1.(多选题)下列求导运算正确的是()A.若f(x)=sin(2x+3),则f'(x)=2cos(2x+3)B.若f(x)=e-2x+1,则f'(x)=e-2x+1C.若f(x)=xex,则f'(xD.若f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1【解析】选ACD.f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正确;f(x)=e-2x+1,则f'(x)=-2e-2x+1,故B错误;f(x)=xex,f'(x)=exf(x)=xlnx,f'(x)=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1,故D正确.2.已知f(x)=x(2022+lnx),若f'(x0)=2023,则x0=()A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】选B.f'(x)=2022+lnx+x·1x=2023+lnx,故由f'(x0)=2023,得2023+lnx02023,则lnx0=0,解得x0=1.3.函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=x2+f'(π3)sinx,则f(π6)=π【解析】因为f'(x)=2x+f'(π3)cosx所以f'(π3)=2π3+12f'所以f'(π3)=4π所以f(x)=x2+4π3sinx所以f(π6)=π2364.求下列函数的导数:(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=x2(3)y=x2x;(4)y=ln【解析】(1)因为y=x3+1x所以y'=3x2-2x(2)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(3)因为y=x2x=2所以y'=(2x32)'(4)y'=(=1x(x考点三导数的几何意义角度1求切线方程[例3](1)金榜原创·易错对对碰已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4.①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为x-y-4=0;

②曲线过点(2,f(2))的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.

【解析】①因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.②设切点坐标为(x0,x03-4x02因为f'(x0)=3x02-8x所以切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(又切线过点(x0,x03-4x02所以x03-4x02+5x0-2=(3x02-8整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,所以经过点(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.(2)(2023·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为2x-y+e=0.

【解析】易得切点为(-e,-e),f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2,所以切线方程为y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为y=1ex,y=-1e【解析】因为y=ln|x|,当x>0时y=lnx,设切点为(x0,lnx0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切线方程为y-lnx0=又切线过坐标原点,所以-lnx0=1x0(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=1e(x-e),即y=当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切线方程为y-ln(-x1)=又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=1x1(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=1-e(x+e),即【解题技法】求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.角度2求切点坐标[例4](1)已知曲线y=x22-3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(A.3 B.2 C.1 D.1【解析】选A.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-3x,得切线斜率k=x0-3x0=2,所以x(2)(2023·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0).

【解析】因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切点P(x0,f(x0【解题技法】求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.角度3求参数的值(范围)[例5](1)(2023·重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a=e.

【解析】设切点坐标为(t,aln(t+1)),对函数y=aln(x+1)求导得y'=ax所以at+1=1,aln(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).

【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)ex0,切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为:y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)e所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0整理得x02+ax0-因为切线有两条,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).【解题技法】利用导数的几何意义求参数的方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.【对点训练】1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2lnx+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为()A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0【解析】选B.因为f(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.2.(2023·泸州模拟)已知曲线y=acosxx在点(π,-aπ)处的切线方程为y=2π2x+A.4π B.-2 C.-4π D【解析】选D.令y=f(x)=acos则f'(x)=-a曲线在点(π,-aπ)处的切线的斜率为f'(π)=aπ2=2π3.设a∈R,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32【解析】由f(x)为偶函数,易得a=1.所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.设切点为(x0,y0),则f'(x0)=ex0-e-x0=3【重难突破】两曲线的公切线问题的求法解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.(2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=f(类型一求两曲线的公切线[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=lnx+1的公共切线,则l的方程为y=ex-1或y=x.

【解析】直线l与曲线y=ex-1相切,设切点为(a,ea-1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直线l与y=lnx+1相切,设切点为(b,lnb+1),y'=1x,切线的斜率为1b,切线方程为y-lnb-1=1b(x-b),即y=1bx+lnb.直线l是曲线y=ex-1与y解得a=1,所以l的方程为y=ex-1或y=x.类型二切点相同的公切线问题[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=lnx的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为12e【解析】设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则ax02=lnx由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=lnx,得g'(x)=1x因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=所以12x02·x即lnx0=12,得x0=e所以a=12x02=类型三切点不同的公切线问题[例3]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=1-ln2.

【解析】y=lnx+2的切线为y=1x1·x+lnx1+1(设切点横坐标为xy=ln(x+1)的切线为y=1x2+1x+ln(x2+1)-x2所以1解得x1=12,x2=-1所以b=lnx1+1=1-ln2.【对点训练】1.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.依题意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b,解得b=0.又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1.2.(一题多法)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=8.

【解析】方法一:因为y=x+lnx,所以y'=1+1x,y'|x=1所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).由y消去y,得ax2+ax+2=0.由Δ=a2-8a=0,解得a=8.方法二:同方法一得切线方程为y=2x-1.设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax02+(a+2)x0因为y'=2ax+a+2,所以y'|x=x0=2ax0由2解得x3.若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为[e24【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax,由y=ex得y'=ex.设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点(x2,ex2),则2ax1=ex2=ex2-ax因为a>0,所以x1>0,记f(x)=ex2+1则f'(x)=ex当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=2时,f(x)min=e2所以a的取值范围为[e24第二节三角函数的同角关系、诱导公式【课程标准】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα2.掌握诱导公式,并会简单应用.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:__sin2α+cos2α=1__.

(2)商数关系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,k2.三角函数的诱导公式(k∈Z)公式角正弦余弦正切一2kπ+αsinαcosαtanα二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五π2-cosαsinα六π2+cosα-sinα【微点拨】诱导公式的记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的有()A.使sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角B.若α∈R,则sin(π2-α)=sinC.若α∈R,则sin2α+cos2α=1D.若α∈R,则tanα=sinα【解析】选ABD.因为α∈R,sin(π+α)=-sinα成立,所以选项A错误;因为α∈R,sin(π2-α)=cosα,所以选项B错误;由同角三角函数间的关系可知,选项C正确;因为tanα=sinαcosα在α≠π2+kπ(2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sinα=-12,则cosα=3【解析】已知α是第四象限角,且sinα=-12所以cosα=1-sin3.(必修第一册P186T15变结论)已知tanα=-2,则2sinα+cosαA.-4 B.-12 C.-1 D.-【解析】选C.2sinα+cosαcosα-4.(记错公式)下列等式恒成立的是()A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sinαC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】选D.因为cos(-α)=cosα;sin(360°-α)=-sinα;tan(2π-α)=-tanα,tan(π+α)=tanα;cos(π+α)=-cosα,cos(π-α)=-cosα.【巧记结论·速算】sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.【即时练】若sinα+cosα=22,则sinαcosα等于(A.-12 B.-14 C.2【解析】选B.因为sinα+cosα=22所以(sinα+cosα)2=12即sin2α+cos2α+2sinαcosα=12即1+2sinαcosα=12所以sinαcosα=-14【核心考点·分类突破】考点一同角三角函数间的关系[例1](1)已知sinα+cosα=-713,α∈(π2,π),则sinα-cosα=(A.1213 B.-1213 C.1713 D【解析】选C.因为sinα+cosα=-713所以(sinα+cosα)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=(-713)2,2sinαcosα=-所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=289169即(sinα-cosα)2=289169因为α∈(π2,π),所以sinα-cosα>0,sinα-cosα=17(2)已知sinθ+cosθ=15,θ∈(π2,π),则tanθ=-【解析】因为θ∈(π2,π),且sinθ+cosθ=1平方可得sinθcosθ=-1225,且sinθ>0,cosθ结合sin2θ+cos2θ=1,可得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=sinθcosθ(3)已知tanα=2,则3sinα-2cos【解析】因为tanα=2,所以3sinα-2cosαsinα+cos【解题技法】应用同角三角函数间的关系的两点注意(1)注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【对点训练】1.若cosα=13,α∈(-π2,0),则tanα等于(A.-24 B.24 C.-22 D.【解析】选C.由已知得,sinα=-1-cos2α=-1-19=-2.已知sinαcosα=-16,π4<α<3π4,则sinα-cosα【解析】由于sinαcosα=-16,π4<α<所以sinα>0,cosα<0,故sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=(sin1-2sinαcosα【加练备选】设sin23°=m,则tan67°=()A.-m1-m2 C.1m2-m 【解析】选D.因为sin23°=m,所以cos67°=m,所以sin67°=1-所以tan67°=1-因为sin23°=m>0,所以tan67°=1-m2考点二诱导公式及其应用[例2]已知f(x)=cos((1)化简f(x);(2)若x是第三象限角,且cos(x-3π2)=15,求f((3)求f(-31π3)【解析】(1)f(x)=cos(π+x)cos((2)x为第三象限角,cos(x-3π2)=cos(3π2-x)=-sinx=所以sinx=-15,cosx=-1-sin2x=-265,f((3)f(-31π3)=-tan(-31π3)=tan31π3=tan(10π+π3)=tan【解题技法】1.诱导公式用法的一般思路(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.(2)角中含有加减π2的整数倍时,用诱导公式去掉π22.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π43.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.提醒:利用诱导公式求解含