2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第三章 第一节 函数的概念及其表示含答案

1版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第三章第一节函数的概念及其表示第三章函数及其应用第一节函数的概念及其表示课程标准1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.考情分析考点考法:高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数及其要素非空性两个__非空实数集__A,B

唯一性对于集合A中的__任意__一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,即f:A→B

记法y=f(x),x∈A定义域自变量x的__取值范围__,即x∈A

值域函数值的集合{f(x)|x∈A},其中与x的值相对应的y值叫做函数值2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法.【微点拨】①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两个函数的值域与对应关系相同,但两个函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.【微点拨】分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 ()A.f(x)=2-x+1B.已知f(x)=a(x∈R),则f(a3)=a3C.y=lnx2与y=2lnx表示同一个函数D.f(x)=x2+1,-1≤x【解析】选ABC.A定义域是空集,不满足函数的概念×Bf(x)是常数函数,f(a3)=a×C两个函数的定义域不同,不是同一个函数×D结合分段函数代入求解√2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,则【解析】由a+3+1a+2=133,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a答案:1或-53.(2022·北京高考)函数f(x)=1x+1-x【解析】由已知x≠0,且1-x≥0,解得x≤1且x≠0.答案:(-∞,0)∪(0,1]4.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=____________.

【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=(2x)设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.答案:x2-x(x>0)【巧记结论·速算】1.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点.2.定义域与对应关系完全一致的两个函数是同一个函数.【即时练】1.(多选题)下列能表示函数图象的有 ()【解析】选ABC.根据函数的定义知,若y是x的函数,x确定一个值,y就随之确定一个值,对于选项D,当x取一个值时,可能有两个y值与之对应.2.(必修第一册P66例3·变条件)下列函数中与函数y=x+1是同一个函数的是 ()A.y=(x+1)2 B.y=3C.y=x2x+1 D.y=【解析】选B.函数y=x+1的定义域为R,而函数y=(x+1)2(x≥-1)与y=x2x+1(x≠0)的定义域不是R,故A,C选项不符合题意;y=x2+1=|x|+1对于选项B,函数y=3x3+1与y=x+1【核心考点·分类突破】考点一函数的定义域[例1](1)函数f(x)=ln(4x-x2)+1x-2的定义域为 (A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】选C.使函数有意义,需满足4x-x2>0,x-2≠0,解得0<(2)已知函数f(x)=ln(ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为________.

【解析】由条件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件,故a>0,Δ<0,即a答案:(14(3)金榜原创·易错对对碰①若函数y=f(x)的定义域是[0,2025],则函数g(x)=f(x②若函数f(x-1)的定义域为[0,2025],则函数g(x)=f(x【解析】①使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2025,解得-1≤x≤2024,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2024],所以函数g(x)有意义的条件是-1≤x≤2024x-1≠0,解得-1≤x<1或1<x≤2024.故函数g(x)的定义域为②由函数f(x-1)的定义域为[0,2025],得函数y=f(x)的定义域为[-1,2024],则-1≤x+1≤2024x-1≠0,解得-2≤x≤2023所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2023].答案:①[-1,1)∪(1,2024]②[-2,1)∪(1,2023]【解题技法】1.由函数解析式求定义域已知函数的解析式,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.2.求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【对点训练】1.如果函数f(x)=ln(-2x+a)的定义域为(-∞,1),那么实数a的值为 ()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由题意得,a-2x>0,解得x<a2,所以a2=1,解得a2.已知函数f(x)的定义域为[211,985],则函数g(x)=f(2022x)+f(2024x)的定义域为________.

【解析】根据抽象函数定义域的求法,列出不等式组211≤2022x≤985,211≤2024x≤985解得211答案:2113.y=lg(2-x)12+x-x【解析】由2-x>0,所以-3<x<2且x≠1,故所求函数的定义域为{x|-3<x<2,且x≠1}.答案:{x|-3<x<2,且x≠1}考点二函数的解析式[例2](1)(一题多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=______________.

【解析】方法一(换元法)令2x+1=t(t∈R),则x=t-12,所以f(t)=4(t-12)2-6·t-12+5=t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x方法二(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以4a=4,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).答案:x2-5x+9(x∈R)(2)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)=________.

【解析】方法一:设t=x+1,则x=(t-1)2,t≥1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1.方法二:因为x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,x+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1.答案:x2-1(x≥1)(3)f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x-1,则f(x)=【解析】已知2f(x)+f(1x)=3x-1,以1x代替①中的x(x≠0),得2f(1x)+f(x)=3①×2-②,得3f(x)=6x-3x故f(x)=2x-1x-13(x答案:2x-1x-13(【解题技法】求函数解析式的四种方法提醒:由于函数解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.【对点训练】1.已知f(4x+1)=2x2-3x,则f(2)= (A.-1 B.1 C.2 D.3【解析】选A.令4x+1=2,则所以f(2)=2-3=-1.2.(创新题)已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2x-1,则f(x)的解析式为 ()A.f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0)B.f(x)=2x2+4x(x∈R)C.f(x)=2x-1(-2≤x≤0)D.f(x)=2x-1(x∈R)【解析】选A.函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,设cosx-1=t,则cosx=t+1.由cosx∈[-1,1],得t∈[-2,0],所以原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],则f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).3.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.

【解析】因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+5a+b=2x+17,所以a=2,5所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7.答案:2x+74.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f(1x)·x-1,则f(x)=【解析】在f(x)=2f(1x)·x-1中,将x换成1则得f(1x)=2f(x)·1x由f解得f(x)=23x+答案:23x考点三分段函数及其应用【考情提示】分段函数作为考查函数知识的载体,因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点,重点考查求值、解方程与不等式,涉及函数的零点、图象及性质等.角度1分段函数求值[例3](1)(2023·成都模拟)已知函数f(x)=log2(2-x),x<1,A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.因为f(x)=lo且-2<1,ln4>1,所以f(-2)=log24=2,f(ln4)=eln4=4,所以f(-2)+f(ln4)=2+4=6.(2)已知f(x)=f(x-1),x【解析】因为f(x)=f所以f(2024)=f(2023)=f(2022)=…=f(1),又f(1)=f(1-1)=f(0),f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,所以f(2024)=1.答案:1角度2分段函数与方程、不等式问题[例4](1)设函数f(x)=2x,x≤0,|log2x|,x【解析】由题意知,若x≤0,则2x=12,解得x若x>0,则|log2x|=12,解得x=212=2或x=2故所求x的集合为{-1,2,22}答案:{-1,2,22(2)(一题多法)设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(【解析】方法一:当x>12时,2x+2x-12>1恒成立,当0<x≤12时,2x+x-12+1>1,即2x+x>12恒成立,所以0<x当x≤0时,x+1+x-12+1>1,解得-14<x综上,x的取值范围是(-14,+∞)方法二:将不等式f(x)+f(x-12)>1变形为f(x-12)>1-f(令y1=f(x-12),y2=1-f(x),作出两个函数的图象如图所示由图象可知,f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围是(-14答案:(-14角度3分段函数的值域、最值问题[例5](1)(2023·上海高考)已知函数f(x)=2x,x>01,x≤0,【解析】当x>0时,f(x)=2x>1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[1,+∞).答案:[1,+∞)(2)(2022·浙江高考)已知函数f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是__________.

【解析】因为f(12)=-(12)2+2=所以f(f(12))=f(74)=74+4当x≤1时,由1≤-x2+2≤3,解得-1≤x≤1;当x>1时,由1≤x+1x解得1<x≤2+3.综上所述,1≤f(x)≤3的解集为[-1,2+3].所以[a,b]⊆[-1,2+3],所以(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.答案:37283+【解题技法】1.求分段函数的函数值先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,再代入该段解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.2.解分段函数的方程、不等式当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.提醒:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,要依据不同范围对应的不同解析式分别求解,最后将各段所求结果并起来.3.求函数值域、最值(1)先求每一段的最值、值域,再比较大小;(2)分段函数需分段处理、分类讨论.【对点训练】1.设函数f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1.若f(A.1 B.78 C.34 D【解析】选D.f(56)=3×56-b=52若52-b<1,即b>32则f(f(56))=f(52-b)=3(52-b解得b=78,不合题意舍去若52-b≥1,即b≤32则2(52-b)=4,解得b=12.(多选题)(2023·衡水模拟)已知函数f(x)=x+2,x<1-x2A.f(f(3))=3B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)D.∀x∈R,a>f(x),则a≥3【解析】选BCD.对于A,f(3)=-(3所以f(f(3))=f(0)=2,则A错误.对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,得x=-3;当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,得x2=4,解得x=2或x=-2(舍去).综上得x=2或x=-3,所以B正确.对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,得x<0;当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,得x>1.综上f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正确.对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3).因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,故D正确.3.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a(x【解析】由题意知f(x)=lnx(x≥1)的值域为[0,+∞),要使f(x)的值域为R,则必有f(x)=(1-2a)x+3a(x<1)为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<12答案:[-1,124.(2022·北京高考)设函数f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x≥a【解析】由题意知,函数最值与函数单调性相关,故可考虑以0,2为分界点研究函数f(x)的性质.当a<0时,f(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=1,x<a,该段值域为{1},而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),故此时f(x)的值域为[0,+∞),即存在最小值为0;当0<a≤2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-a2+1,+∞),而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥0,于是可得0<a≤1;当a>2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-a2+1,+∞),而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥(a-2)2,此不等式无解.综上,a的取值范围是[0,1],故a的最大值为1.答案:0(答案不唯一)1第二节二项式定理【课程标准】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【考情分析】考点考法:高考命题常以二项式为载体,考查二项式定理、二项式系数、某一项的系数、二项式系数的性质;二项式定理是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=

Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnnbn__((2)二项展开式的通项:Tk+1=Cnk__an-kbk__,它表示通项为展开式的第__(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn0,Cn1,【微点拨】1.二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cn【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的有 ()A.Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第B.(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关C.通项公式Tk+1=Cnkan-kbk中的D.二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大项是相同的【解析】选BC.由二项展开式的通项公式可知,Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第因为(a+b)n的展开式中各项的二项式系数为Cn0,Cn1,由二项展开式的通项公式可知,通项公式Tk+1=Cnkan-kbk中的由二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数的定义可知,选项D错误.2.(选修第三册P31练习T4)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是 ()A.Cnm BC.Cnm-1 D.【解析】选D.(x-y)n的展开式中,第m项为Tm=Cnm-1xn-m+1·(-y(-1)m-1·Cnm-1xn-m+1·ym-1,所以第m项的系数为(-1)3.(2023·北京高考)(2x-1x)5的展开式中,A.-40 B.40 C.-80 D.80【解析】选D.由二项式定理可知(2x-1x)5展开式的第r+1项Tr+1=C5(-1)r25-rC5rx5-2r(r=0,1,令5-2r=1,可得r=2,即含x的项为第3项,所以T3=80x,故x的系数为80.4.(混淆二项式系数与项的系数)(1-2x)8展开式中x项的二项式系数为 ()A.28 B.-28 C.112 D.-112【解析】选A.(1-2x)8展开式的通项公式为Tk+1=C8k(-2x)k=(-2)k要求x项的二项式系数,只需k2=1,解得k所以x项的二项式系数为C82=8×7【巧记结论·速算】1.Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+C2.Cn+1m=C【即时练】若二项式(x-2x2)n的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为 (A.-1 B.1 C.27 D.-27【解析】选A.由题意,得Cn0+Cn1+…+Cnn=2n=8,即n=3,所以(x-2【核心考点·分类突破】考点一通项公式的应用角度1形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项[例1](1)(1x-x)10的展开式中x2的系数等于 (A.45 B.20 C.-30 D.-90【解析】选A.因为展开式的通项为Tk+1=(-1)kC10kxk2·x令-10+32k=2,得k所以展开式中x2的系数为(-1)8×C108(2)(多选题)若(x2+1ax)6的展开式中的常数项为1516,则实数a的值可能为 (A.2 B.12 C.-2 D.-【解析】选AC.(x2+1ax)6的展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k·(1ax)k=C6k(1令12-3k=0,得k=4,故C64·(1a)4=1516,即(1a)4【解题技法】形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项的求解策略(1)写出并化简通项;(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1;(3)代入通项即可得出结论.【对点训练】1.(2024·扬州模拟)(xlog43+【解析】(xTr+1=C=(log43)4-r·(log32令4-2r=0,解得r=2,则T3=(12log23)2·所以(xlog4答案:32.在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是______;系数为有理数的项的个数是________.

【解析】由题意得,(2+x)9的通项为Tk+1=C9k(2)9-k·xk(k=0,1,2,…,9).当k=0时,可得常数项为T1=C90(2)9=162.若展开式的系数为有理数,则k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T答案:1625【加练备选】(x2-2x)5的展开式中x4的系数为 (A.10 B.20 C.40 D.80【解析】选C.由题意可得Tk+1=C5k·(x2)5-k·(-2x)k=(-1)kC5k·2k·x所以所求系数为(-1)2C52·22角度2形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题[例2](2022·新高考Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为__________(用数字作答)【解析】因为1-yx(x+y)8=(x+y)8-yx(x+所以1-yx(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6,故(1-yx)(x+答案:-28【解题技法】形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题的求解策略(1)若m,n中有一个比较小,可先考虑将其展开,再结合题设要求逐项求出,求其代数和即可得出结论;(2)观察(a+b)(c+d)是否可以化成两项或三项代数和,进而求解.【对点训练】在(x-12x)6(x+3)的展开式中,常数项为 (A.-152 B.152 C.-52 【解析】选A.原式=x(x-12x)6+3(x-12x)而(x-12x)6的通项为Tk+1=(-12)k当6-2k=-1时,k=72∉Z,故①式中的前一项不会出现常数项;当6-2k=0,即k=3时,可得①此时原式常数项为3×(-12)3×C63角度3形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题[例3](x2-x+1)10的展开式中x3的系数为 ()A.-210 B.210 C.30 D.-30【解析】选A.方法一:(x2-x+1)10的展开式中含x3项的构成有以下几种可能:①1个x2,1个(-x),8个1,所得项为C101x2·C91(-x)·C88②3个(-x),7个1,所得项为C103(-x)3·C7717=-120x3.所以方法二:(x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10,展开式的通项为Tk+1=C10k(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),要使(x2-x+1)10的展开式中含x3,则需要(x2-x)k的展开式中出现x3,而(x2-x)k展开式的通项为Tr+1=Ckrx2(k-r)(-x)r=(-1)rCkrx2k-r(r=0,1,2,3,…,k),令2k-r=3可知当k=2,r=1或k=3,r=3【解题技法】求形如(a+b+c)n展开式中特定项的方法【对点训练】(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是 ()A.120 B.-120 C.60 D.30【解析】选A.由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第k+1项为C5k(x+y)5-k(-2z)令k=2,可得第3项为(-2)2C52(x+y)3z(x+y)3的展开式的第m+1项为C3mx令m=2,可得第3项为C32xy2,所以(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(-2)2C【加练备选】(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60【解析】选C.方法一:由二项展开式通项易知Tk+1=C5k(x2+x)5-kyk,令k=2,则T3=C52(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,展开式的通项为Tt+1=C3t(x2)3-txt=方法二:因为(x2+x+y)5=(x2+x+y)(x2+x+y)·…·(x2+x+y),即共有5个括号相乘,所以展开式中要得到含x5y2的项,只需5个括号中有2个括号里出y,同时剩余的3个括号中2个括号里出x2,另一个括号里出x便可,故含x5y2的项为C52y2C32(x2)2x=C52C32x5y2考点二二项式系数与项的系数问题角度1二项式系数和与系数和[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=________;a1+2a2+3a3+…+10a10=________.

【解析】由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=C10kxk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数,故a2+a6+a8=C102对原式两边求导得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5120.答案:3005120【解题技法】赋值法的应用(1)对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1).(2)(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)](3)(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)-g(-1)]【对点训练】在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ()A.-960 B.960 C.1120 D.1680【解析】选C.根据题意,奇数项的二项式系数之和也为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,得n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=C84(-2)4x4=1120x4【加练备选】若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a1=________,a1+a2+…+a5=________.

【解析】因为x5=[2+(x-2)]5,则a1=C51·24令x=3,得a0+a1+a2+…+a5=35=243;令x=2,得a0=25=32,故a1+a2+…+a5=243-32=211.答案:80211角度2系数与二项式系数的最值问题[例5](多选题)(2023·唐山模拟)下列关于(1x-2x)6是 ()A.常数项为-160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1【解析】选ACD.(1x-2x)6Tk+1=C6k·(1x)6-k·(-2x)k=(-2)kC6对于A,令2k-6=0,解得k=3,所以常数项为(-2)3C6对于B,由通项公式知,若要系数最大,k所有可能的取值为0,2,4,6,所以T1=x-6,T3=4C62x-2=60xT5=(-2)4C64x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x所以展开式第5项的系数最大,B错误;对于C,展开式共有7项,得第4项的二项式系数最大,C正确;对于D,令x=1,则所有项的系数和为(1-2)6=1,D正确.【解题技法】1.二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数,那么中间一项(第n2+1项)(2)如果n是奇数,那么中间两项(第n+12与第n+122.展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散的,因此求最大值可通过不等式组ak≥(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看作关于n的数列,通过判断数列单调性从而判断系数的增减性,并根据系数的单调性求出系数的最值.【对点训练】(2024·厦门模拟)已知(x-2【解析】因为(x-2x)n的二项展开式为所以它的第二项的系数为T2=Cn1(-2),该二项式的展开式中第二项的二项式系数为由(x所以Cn1-Cn1(-2)=18⇒展开式通项为Tr+1=C6r(x)6-r(-2x所以展开式中的常数项为T3=C62·(-2)2答案:60【加练备选】设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1