2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章 第三节 平面向量的数量积含答案

12版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章第三节平面向量的数量积第三节平面向量的数量积【课程标准】1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.【考情分析】考点考法:平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.核心素养:数学抽象、直观想象、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.向量的夹角定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b的夹角范围设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π共线与垂直θ=0或θ=π⇔a∥b,θ=π2⇔a⊥【微点拨】确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.2.平面向量的数量积条件两个非零向量a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为03.投影向量条件设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,AB=a,CD=b作图过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A结论我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos4.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)【微点拨】(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量数量积的坐标运算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|=a|a|=x夹角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)(2023·齐齐哈尔模拟)下列命题正确的是 ()A.若向量a,b满足a·b=0,则a=0或b=0B.若向量a,b的夹角为钝角,则a·b<0C.已知a=(3,4),b=(0,1),则向量a在向量b方向上的投影向量的长度为4D.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,若a=2e1+e2,b=e1-e2,则a,b可作为该平面的一个基底【解析】选BCD.A选项,当非零向量a,b满足a⊥b时,a·b=0,故A错误;B选项,当向量a,b的夹角为钝角时,cos<a,b><0,故a·b=|a||b|cos<a,b><0,故B正确;C选项,向量a在向量b方向上的投影向量的长度为|a·bD选项,e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,设a=λb,则2e1+e2=λ(e1-e2),故2=λ1=-λ,无解,所以a,b不共线,故a2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,则t=()A.2 B.3 C.±2 D.±2【解析】选C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因为2a可得12+(2t)2=3,解得3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=__________.

【解析】因为向量a=(-2,3),b=(1,2),所以a·b=-2×1+3×2=4.答案:44.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=________.

【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=6×5×(-12)=-15答案:-15【核心考点·分类突破】考点一平面向量的数量积的运算[例1](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】选B.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,则EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.(2)(2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形,AB=6,AD=3.若点M,N满足BM=2MC,DN=NC,则AM·NM= ()A.20 B.16 C.9 D.6【解析】选B.因为BM=2MC,DN=NC,所以AM=AB+BM=AB+23NM=CM-CN=-13AD+12AB,所以AM·NM=(AB+23AD)·=12AB2-29AD2(3)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=__________【解析】由题意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11答案:11【解题技法】解决向量数量积的运算问题的三种方法(1)当已知向量的长度和夹角时,直接利用定义法求解;若不知长度和夹角,选择知道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;(3)利用向量数量积的几何意义求解.【对点训练】1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b= ()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选C.因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=__________.

【解析】由题意,有a·b=0,则a⊥b,设<a,c>=θ,a·c则②①得,tanθ=12,由同角三角函数的基本关系得cosθ=则a·c=|a||c|cosθ=λ·λ·255=2,λ2=5,则λ=答案:4【加练备选】已知点O是△ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,AC=3,AC·AB=-1,则AC·BO的值为 ()A.53 B.32 C.2 【解析】选A.记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由题意OA+OB+OC=0,OA+OC=-OB=BO,设D是线段AC的中点,则2OD=BO,所以B,O,D三点共线,且O为△ABC的重心,所以BO=23BD=23×12(=13(BA+BC),所以AC·BO=(BC-BA)·13(BA+BC)=13(a2-c2),又由AC·AB=bc可得bc·b2+c2-a22bc=-1⇒a2-考点二平面向量数量积的应用【考情提示】高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直等角度出发,常以选择题、填空题的形式出现.角度1求平面向量的模[例2](1)(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ()A.2 B.3 C.4 D.5【命题意图】考查向量的模、向量坐标形式的运算.【解析】选D.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(2)已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,a=2,c=1,a·c=1,则b= ()A.2 B.7 C.2 D.7【解析】选D.由a+b与c互为相反向量,得c=-(a+b),两边平方得,c2=a2+b2+2a·b=1,即b2+2a又由a·c=1,在c=-(a+b)两边同时点乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,联立①②,解得b2=7,所以b=7(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=__________.

【解析】因为|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3【解题技法】求平面向量模的两种方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度2求平面向量的夹角[例3](1)(2023·全国甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>= ()A.-15 B.-C.25 D.【解析】选D.因为向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos<a,b>,解得cos<a,b>=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=|b-c|=4a2+4a·所以cos<a-c,b-c>=(a-c)·(b(2)已知向量a与a+b的夹角为60°,且a=8,b=7,则a与b夹角的余弦值为__________.

【解析】设向量a与b的夹角为θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cosθ=64+56cosθ,且a+b=a2+b又因为向量a与a+b的夹角为60°,可得cos60°=a·(a+即64+56cosθ8×113+112cosθ=12解得cosθ=-1314或cosθ=-1114,即a与b夹角的余弦值为-1314答案:-1314或-(3)金榜原创·易错对对碰①设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是________.

②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则k的取值范围为________.

【解析】①由a与b的夹角是钝角,则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,解得m<4,又a与b的夹角不等于180°,则a与b不平行,即-9≠4m,解得m≠-94所以实数m的取值范围是m<4且m≠-94答案:(-∞,-94)∪(-94②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,解得k>-92且k≠1所以k的取值范围是(-92,12)∪(12答案:(-92,12)∪(1【解题技法】求平面向量夹角的两种方法定义法由cosθ=a·b|a坐标法若a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos<a,b>=x1<a,b>∈[0,π]角度3平面向量的垂直问题[例4](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 ()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.(2)(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=__________.

【解析】因为向量a=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=0,则m=-34答案:-3【解题技法】平面向量垂直问题的解法(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.【对点训练】1.(2023·济南模拟)若向量a,b满足a=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则b= ()A.2 B.2 C.1 D.2【解析】选B.因为(a+b)⊥a,a=1,故(a+b)·a=0,即a2+a·b=0,a·b=-a2=-a2=-1又(2a+b)⊥b,故(2a+b)·b=2a·b+b2=-2+b2=0,故b2=2,故b=2.2.已知平面向量a,b的夹角为120°,且|a|=3,|b|=2.(1)求(2a+b)·(a-2b);(2)若a+b与a-kb垂直,求实数k的值.【解析】(1)由a,b的夹角为120°,|a|=3,|b|=2,则a·b=|a||b|cos120°=3×2×(-12)=-3,故(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2(2)由a+b与a-kb垂直,则(a+b)·(a-kb)=0,故a2-kb2+(1-k)a·b=0,可得9-4k-3(1-k)=0,解得k=6.3.(2023·芜湖模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠DAB=π3,点E是AB的中点,连接DE,AC,记它们的交点为点G,设AB=a,AD=b(1)用a,b表示AG;(2)求<AG,AB>的余弦值.【解析】(1)不难得出△AGE,△DGC是一对相似三角形,且AECD=12,故AGGC=12,即AG根据向量的加法法则,得AG=13AC=13(a(2)由a·b=4×2×12=4,a=4,b=2,于是AC2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+8=28,所以AC=27.又AC·AB=a2+a·b=20,所以cos<AG,AB>=cos<AC,AB=2027×4考点三投影向量[例5](2023·常州模拟)已知平面向量a,b,满足a=2,b=(1,1),a+b=10,则a在b方向上的投影向量的坐标为【解析】由a=2,b=2,且a+b=10,平方得a2+2a·b+b2=4+2a·b+2=10,解得a·b=2,所以a在b方向上的投影向量为a·bb·bb=a·b答案:(1,1)【解题技法】a在b方向上的投影向量公式:|a|cos<a,b>·bb=a·b【对点训练】(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),b=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角,则b在向量(1,0)上的投影向量为 ()A.(-3,0) B.(-4,0)C.(0,3) D.(0,-4)【解析】选B.设b=(x,y),因为a=(6,-8),a⊥b,所以6x-8y=0,即3x=4y①.又b=5,所以x2+y2=25②,由①②解得x=4y=3设c=(1,0),因为b与向量c的夹角是钝角,所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3),则b在向量c上的投影向量为b·cc·【加练备选】已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a【解析】因为b是单位向量,所以b=1.因为a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a-2b)2,化简得2a·b=b2=1,即a·b=12,所以a在b方向上的投影向量是a答案:12第四节平面向量的应用【核心考点·分类突破】考点一平面向量与几何问题的综合[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,则△ABC的面积等于 ()A.43 B.83 C.42 D.82【解析】选D.因为PB=PC=3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,所以AB⊥BC,DP=1,如图所示,所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=1(2)如图所示,已知在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点,AF与DE交于点M.①设AB=a,AD=b,用a,b表示AF,DE;②猜想AF与DE的位置关系,并用向量法证明你的猜想.【解析】①AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12AD=a+12b,DE=AE-AD=12②AF⊥DE,证明如下:由①知AF=a+12b,DE=12所以AF·DE=(a+12b)·(12a-b)=12a2-12b2-3设a=b=t,则AF·DE=12a2-12b2-34a·b=12t2-12t2-34×0=0,所以AF⊥DE【解题技法】平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.【对点训练】1.P为△ABC内一点,满足PA+PB+2PC=0,则△PAB和△ABC的面积比为________.

【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,则PA+PB=2PD,又由题意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,故C,D,P三点共线,且满足CP=12CD,所以P为从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.答案:1∶22.(一题多法)(2023·东莞模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点,CE⊥AB,AD与CE交于点(1)求CE和AD的长度;(2)求cos∠CFD.【解析】(1)因为CE是高,所以∠AEC=π2,在Rt△AEC中,AC=2,∠EAC=π所以CE=ACsin∠EAC=2sinπ3=3.因为AD是中线,所以AD=12(AB+所以AD2=[12(AB+AC)]2=14(AB2+2AB·AC+AC2所以AD=192(2)方法一:因为AE=AC·cosπ3=1=13AB,所以AE=所以EC=AC-AE=AC-13AB,所以AD·EC=12(AB+AC)·(AC=12(AC2+23AB·AC-13AB2)=12(22+23×3×2cos所以cos∠CFD=cos<AD,EC>=AD·ECADEC=方法二:过D作DG∥CE交BE于G,因为D是BC的中点,所以G是BE的中点,所以AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位线,DG是△BCE的中位线,所以EF=12GD=14CE=34,AF=12cos∠CFD=cos∠AFE=EFAF=3419考点二平面向量在物理中的应用[例2](1)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=1N,F3=2N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为 (A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F3即F12+2F1F3即12+2×1×2×12+22=7=F22,解得F2(2)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于()A.25 B.5 C.-5 D.-25【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.【解题技法】平面向量对物理背景问题主要研究下面三类1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cosθ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.3.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.【对点训练】1.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且F1=F2,F1与F2的夹角为①θ越大越费力,θ越小越省力;②θ的范围为[0,π];③当θ=π2时,F1=G;④当θ=2π3时,F其中正确结论的序号是 ()A.①③ B.①④C.②③ D.②④【解析】选B.对于②,当θ=π时,F1+F2=0,故无法提动行李包,故②错误;对于①,根据题意,得G=F1所以G2=F12+F22+2F1F解得F12=G22(1+cosθ),因为θ∈(0,π)时,y=cos对于③,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=π2时,F对于④,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=2π3时,F12.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为v1=8km/h,水流速度的大小为v2=4km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cosθ=(A.32 B.-32 C.12 【解析】选D.设游船的实际速度为v,则v=v1+v2,北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处,则v⊥v2,所以v·v2=0,即(v1+v2)·v2=v1v2cosθ32cosθ+16=0,解得cosθ=-12考点三平面向量与三角函数的综合[例3](1)(2023·芜湖模拟)向量a=(2cosx,2sinx),b=(cosx,3cosx),x∈R,若存在整数m使得方程m=a·b在[0,π2]上有两个不同的实数根,则m= (A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.a·b=2cos2x+3sin2x=cos2x+3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1若m=a·b在[0,π2]上有两个不同的实数根,则sin(2x+π6)=0≤x≤π2,π6≤2x+π6≤7π6,有sinπ6=12,sin7π6=-12.令t=2要使得sin(2x+π6)=m-12有两个不同的实数根,12≤m所以m=2.(2)(2023·天水模拟)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,-sinβ),a-b=①求cos(α+β)的值;②若0<α<π2,-π2<β<0,且sinβ=-513,求sin【解析】①根据题意可知a=cos2α+sin2且a·b=cosαcosβ-sinαsinβ;由a-b=255可得a2-2a·b即2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=45,可得cos(α+β)=3②由-π2<β<0,且sinβ=-513,可得cosβ=1213,又cosβ=1213>32=cos(-π6因此-π6<α+β<π2,由①得cos(α+β)=35,所以0<α+β因此sin(α+β)=45,所以sinα=sin(α+β)-β=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=(-513)=63【解题技法】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误.【对点训练】已知向量m=(cosx,-1),n=(3sinx,-12),设函数f(x)=(m+n)·m(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,c=3,且f(A)恰是函数f(x)在[0,π2]上的最大值,求三角形ABC的面积【解析】(1)由题意可得,f(x)=(m+n)·m=m2+m·n=cos2x+1+3sinxcosx+12=1+cos2x2+1+32sin2x+12=12cos2x+32sin2x+2=sin所以函数f(x)的最小正周期T=2π2由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,得-π3+kπ≤x≤π6+k所以f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)+2,又f(A)恰是函数f(x)在[0,π2]上的最大值,可得A=π6,由余弦定理可得12=b2+3-2b×3×32,解得b=1或当b=1时,三角形ABC的面积S=12bcsinA=34,当b=2时,三角形ABC的面积S=12bcsinA考点四和向量有关的最值、范围问题【考情提示】平面向量主要解决与平面向量基本定理有关的最值、范围问题,数量积的最值、范围问题,模的最值、范围问题.高考题中选择题、填空题、解答题都有考查.角度1与平面向量基本定理有关的最值、范围问题[例4](1)已知△ABC内一点O是其外心,sinA=223(0<A<π2),且AO=mAB+nAC,则m+n【解析】如图所示,延长AO交BC于D,令AO=λAD⇒AD=AOλ=mλAB+nλAC,因为B,C,D三点共线,所以mλ+nλ=1所以λ取最大值时,m+n取最大值,则λ=AOAD,因为AO所以当AD取得最小值时,λ取得最大值,此时AD⊥BC,所以△ABC为等腰三角形,且sin∠BAC=223(0<∠BAC<π所以cos∠BAC=13,则sin∠BAC2=33,cos∠BAC2=设∠BAC对的边为a,则AO=a2sin∠BAC=3a42,AD所以(m+n)max=λmax=3a42答案:3(2)如图,在△ABC中,BO=2OC,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则1m+1n的最小值为【解析】因为BO=2OC,所以BO=23BC,所以AO=AB+BO=AB=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,又AB=mAM,AC=nAN,所以AO因为M,O,N三点共线,所以m3+2n3=1,由图可知m所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=13(3+mn+2n当且仅当mn=2nm,即n=6-322,m=32答案:3+2角度2与数量积有关的最值、范围问题[例5](1)(2022·北京高考)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是 ()A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]【解析】选D.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图:则A(3,0),B(0,4),C(0,0),设P(x,y),因为PC=1,所以x2+y2=1,又PA=(3-x,-y),PB=(-x,4-y),所以PA·PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1.设x=cosθ,y=sinθ,所以PA·PB=-(3cosθ+4sinθ)+1=-5sin(θ+φ)+1,其中tanφ=34当sin(θ+φ)=1时,PA·PB有最小值,为-4,当sin(θ+φ)=-1时,PA·PB有最大值,为6,所以PA·PB∈[-4,6].(2)(2023·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(3,2),P(1,2),点M是直线OP上的一个动点.①若M为OP的中点,求|MA+MB|的值;②求MA·MB的最小值.【解析】①因为M为OP的中点,所以M(12,1),因为A(1,1),B(3,2),MA=(12,0MB=(52,1),所以MB+MA=(3,1),所以MB+MA=3②由题意可得OP=(1,2),因为点M是直线OP上的一个动点,所以OM=λOP,λ∈R,所以M(λ,2λ),MA=(1-λ,1-2λ),MB=(3-λ,2-2λ),MA·MB=(1-λ,1-2λ)·(3-λ,2-2