2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 平面解析几何含答案

1版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章平面解析几何第九章平面解析几何【高考研究·备考导航】【三年考情】角度考查内容课程标准高考真题平面解析几何直线与圆1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.4.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直.5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.6.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.7.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2023年:新高考Ⅰ卷·T62023年:新高考Ⅱ卷·T152022年:新高考Ⅰ卷·T142022年:新高考Ⅱ卷·T152021年:新高考Ⅰ卷·T112021年:新高考Ⅱ卷·T11圆锥曲线与方程1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质.4.通过对圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.5.了解椭圆、抛物线的简单应用.2023年:新高考Ⅰ卷·T5,T16,T222023年:新高考Ⅱ卷·T5,T10,T212022年:新高考Ⅰ卷·T11,T16,T212022年:新高考Ⅱ卷·T10,T16,T212021年:新高考Ⅰ卷·T5,T14,T212021年:新高考Ⅱ卷·T3,T13,T20命题趋势1.题型设置:各种题型均有涉及.2.内容考查:主要考查直线和圆的位置关系及圆锥曲线的方程与性质.3.能力考查:注重运算求解能力与逻辑推理能力的考查.【备考策略】根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:1.全面系统复习,深刻理解知识本质(1)概念:直线的倾斜角、斜率,直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,两直线、直线与圆、圆与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.(2)公式或方程:斜率公式,直线方程,两直线平行、垂直满足的条件,距离公式(两点、点到直线、两条平行线),圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.(3)性质:圆锥曲线的几何性质.(4)轨迹:依据已知条件探究点的轨迹,会求轨迹方程.2.熟练掌握解决以下问题的方法(1)由两个独立的条件确定一条直线方程.(2)由三个独立的条件确定圆的方程.(3)直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法.(4)求动点的轨迹方程.(5)求圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的标准方程,利用圆锥曲线的定义、几何性质求解未知量及未知量的范围.(6)直线与椭圆、抛物线的位置关系.(7)利用直线与圆锥曲线的知识探究定值、定点、最值问题.3.重视数学思想方法的应用(1)解析法:用代数方法研究几何问题是本章的基本方法,一是依据条件求曲线的方程;二是由曲线的方程,研究曲线的几何性质.(2)数形结合思想:在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、对称问题,与参数有关的问题,与弦的中点有关问题时,往往用到数形结合思想.(3)函数与方程思想:在求解直线、圆、椭圆、抛物线等的方程,解决参数问题、最值问题时,经常利用函数与方程思想.(4)分类与整合思想:在解决与参数有关的问题时,往往依据解析式特点、函数取最值的条件,或题设条件对参数进行分类讨论.(5)转化与化归思想:通过构造函数,将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离问题或方程(组)解的问题,将直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程(组)解的问题,将定点、定值问题转化为方程问题,将最值(范围)问题转化为不等式问题或函数的值域问题.第二节平面向量的基本定理及坐标表示【课程标准】1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.【考情分析】考点考法:高考在本节以考查基础题为主,考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底【微点拨】基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x1(2)两点间的向量坐标公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x(3)单位向量a=(x,y),同向单位向量为(xx2+y反向单位向量为(-xx2+3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔x1y2=x2y1.【微点拨】只有x2y2≠0时,a∥b才与x1x2=【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.向量a=(-1,2),b=(5,7)能作为所在平面内的一组基底B.已知向量a=(1,3),则向量(-1,-3)是与a共线的向量C.若{e1,e2}是平面内的一组基底,则{e1+2e2,e1-2e2}也是平面内的一组基底D.若向量a=(-2,3),b=(1,-2),则a+b是单位向量【解析】选ABC.设a=λb,则-1=5λ,2=7λ向量(-1,-3)=-(1,3)=-a,所以向量(-1,-3)是与a共线的向量,故B正确;e1与e2不共线,且11≠2-2,则e1+2e2与e1-2e2也不共线,故可作为平面内的一组基底,选项C正确;由题意a+b=(-1,1),|a+b|=2.(必修第二册P31例7·变条件)已知a=(4,2),b=(3,y),且a∥b,则y的值为 ()A.12 B.32 C.6 【解析】选B.因为a∥b,所以4y=2×3,所以y=323.(2023·上海高考)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则a-2b=____________.

【解析】因为向量a=(3,4),b=(1,2),所以a-2b=(3-2×1,4-2×2)=(1,0).答案:(1,0)4.(忽视共线包括两种情况致误)已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,则点P的坐标为__________.

【解析】由点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,可得AP=2PB或AP=-2PB.当AP=2PB时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-53,b=83,此时点P的坐标为(-53,当AP=-2PB时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).综上,点P的坐标为(-53,83)答案:(-53,83【巧记结论·速算】1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(x1+x2△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为(x1+x22.如果对于一个基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=【即时练】1.已知坐标平面上三个点A(1,1),B(4,2),C(-2,-6),则△ABC的重心坐标是________.

【解析】(1+4+(-2)3,答案:(1,-1)2.在△ABC中,点D在边BC上,若BD=2DC,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ-μ=__________.

【解析】由已知得BD=2DC,则BD=23BC=23(AC所以AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.因为AD=λAB+μAC(λ所以λ=13,μ=23,所以λ-μ=13-2答案:-1【核心考点·分类突破】考点一平面向量基本定理及其应用[例1](1)(多选题)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若BM=λBE+μBD,则λ+μ的值可以是 ()A.32 B.12 C.1 【解析】选ACD.因为M在线段AD上,设AM=kAD,其中0≤k≤1,则BM-BA=k(BD-BA),所以BM=(1-k)BA+kBD,因为E为BA的中点,则BA=2BE,所以BM=2(1-k)BE+kBD,又因为BM=λBE+μBD,且BE,BD不共线,则λ=2(1-k)μ=k,所以λ+μ(2)如图,以向量OA=a,OB=b为邻边作平行四边形OADB,BM=13BC,CN=13CD,则MN=________.(用【解析】因为BA=OA-OB=a-b,BM=16BA=16a-16b,所以OM=b+(16a-16b)=16a+56b.因为OD=a+b,所以ON=OC+13CD=12OD+16所以MN=ON-OM=23a+23b-16a-56b=12答案:12a-1【解题技法】应用平面向量基本定理的关键(1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量.(2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形),利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来.(3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.提醒:同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.【对点训练】1.(多选题)如图,在△ABC中,AD=DB,E是线段BC上的点,且满足BE=2EC,线段CD与线段AE交于点F,则下列结论正确的是 ()A.AE=13AB+23AC C.AF=14AB+12AC 【解析】选ACD.由题意,AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,故选项A正确;由AF与AE共线,可得AF=λAE=λ(13由C,F,D三点共线,得AF=tAD+(1-t)AC=t2AB+(1-t)由平面向量基本定理,可得λ3=t22λ3=1-t,解得λ=4AF=3AE,故选项C,D正确;由C,F,D三点共线,得CF=kDF,即AF-AC=k(AF-AD),化简为(1-k)AF=AC-kAD,由选项C可得,(1-k)(14AB+12AC)=由平面向量基本定理得,1-k4=-k21-k2故选项B错误.2.(2023·北京模拟)已知三角形ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,若ED=λAB+3λAC(0<λ<1),那么AEAB=____________【解析】设AE=μAB(0≤μ≤1),因为D为BC的中点,所以AD=12(AB+AC所以ED=AD-AE=12(AB+AC)-μAB=(12-μ)AB+12AC.因为ED=λAB+3λ所以12-μ=λ12=3λ,解得λ=16μ答案:1【加练备选】1.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ()A.若AM=12AB+12AC,则点B.若AM=2AB-AC,则点M是边BC的三等分点C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=13,则△MBC的面积是△ABC面积的【解析】选ACD.对于A中,根据向量的平行四边形法则,若AM=12AB+12AC=12(AB+AC对于B中,由AM=2AB-AC,则AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则B为CM的中点,所以B错误;对于C中,如图所示,由AM=-BM-CM,可得AM+BM+CM=0,取BC的中点D,可得MA=-2MD,则点M为△ABC的重心,所以C正确;对于D中,由AM=xAB+yAC,且x+y=13,所以3AM=3xAB+3yAC,且3x+3y设AN=3AM,可得AN=3xAB+3yAC,且3x+3y=1,所以N,B,C三点共线,因为AN=3AM,所以M为AN的一个三等分点(靠近A),如图所示,所以S△MBC=23S△ABC,则△MBC的面积是△ABC面积的232.(多选题)(2023·景德镇模拟)在平行四边形ABCD中,点E为边CD的中点,点F为边BC上靠近点B的三等分点,连接AF,BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的三等分点,记AB=a,AD=b,则下列说法正确的是 ()A.点M,N,E三点共线B.若AM=λa+μb,则λ+μ=9C.BN=7D.S△ABM=17S,S为平行四边形ABCD【解析】选ACD.如图所示:平行四边形ABCD中,因为点N为AC上靠近点C的三等分点,所以AN=23AC=23AB+23AD,AE=12AB+AD,所以EN=设EM=mEB=m(12AB-AD)=3mEN,m≠0,所以EM∥EN,又有公共点E,所以点M,N,E三点共线,故A选项正确;设MA=cAF,AE=ME-MA=-m(12AB-AD)(-12m-c)AB+(m-13c)AD=12AB+AD,故所以AM=67AF=67AB+27AD,λ+μ=87,故B选项错误;BN=AN因为EM=57EB,所以BM=27BE=-17AB+因为AM=67AF,所以S△ABM=67S△ABF=27S△ABC=考点二平面向量的坐标运算[例2](1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c= ()A.(133,83) B.(-133C.(133,43) D.(-133【解析】选D.因为a-2b+3c=0,所以c=-13(a-2b)=-13(5+4×2,-2+2×3)=(-133,-(2)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ= ()A.-1 B.0 C.1 D.25【解析】选B.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),所以2x1-x2=02y1-y所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),则λ+2μ=故λ+μ=0.(3)如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点B,C,D的坐标分别是(-1,3),(3,4),(2,2),则向量BC=________;顶点A的坐标为________.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,且顶点B,C的坐标分别是(-1,3),(3,4),所以BC=(3,4)-(-1,3)=(4,1);设A(x,y),又D(2,2),所以AD=(2-x,2-y),又AD=BC,所以(2-x,2-y)=(4,1),即2-x=4所以顶点A的坐标为(-2,1).答案:(4,1)(-2,1)【解题技法】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【对点训练】1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量AC=(2,1),则向量BC= ()A.(-2,2) B.(-1,0)C.(3,-1) D.(4,-1)【解析】选A.设C(x,y),则AC=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故x+1=2y-所以C(1,3).又因为B(3,1),所以BC=(1,3)-(3,1)=(-2,2).2.(2023·黄冈模拟)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=a2+b2,则m=【解析】由a=(m,1),b=(1,2)得,a+b=(m+1,3),根据|a+b|2=a2+得,(m+1)2+9=m2+12+5,解得m=-2.答案:-23.平面内三个向量a=(7,5),b=(-3,4),c=(1,2).(1)求a+2(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.【解析】(1)因为a+2b-3c=(7,5)+2×(-3,4)-3×(1,2)=(-2,7),所以a+2b-3c(2)由a=mb+nc,得(7,5)=(-3m+n,4m+2n),所以-3m+n=74m+2n考点三平面向量共线的坐标表示【考情提示】向量共线的坐标表示在向量部分是一个非常重要的知识点,它为解决向量共线或三点共线问题提供了一种便捷的方法.可单独考查,也常与数量积、三角函数等结合考查.角度1利用向量共线求向量或点的坐标[例3](1)已知点A(1,2),B(-2,6),则与向量AB方向相反的单位向量为 ()A.(-35,45) B.(35C.(-45,35) D.(45【解析】选B.由点A(1,2),B(-2,6),可得AB=(-3,4),则AB=5,所以与向量AB方向相反的单位向量为-ABAB=-15×(-3,4)=(35,-(2)已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且AP=12AB,则点________.

【解析】由A(3,-4),B(-9,2),可得AB=(-12,6),设P(x,y),因为AP=(x-3,y+4),AP=12AB,所以(x-3,y+4)=(-6,3),得x-3=-6答案:(-3,-1)角度2利用向量共线求参数[例4](1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=__________.

【解析】AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以AB,AC共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-23答案:-2(2)(一题多法)已知向量a=(1,-2),b=(3,4),若(3a-b)∥(a+kb),则k=__________.

【解析】方法一:3a-b=(3,-6)-(3,4)=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),所以0+10(1+3k)=0,解得k=-13方法二:因为1×4≠(-2)×3,所以a与b不平行,由(3a-b)∥(a+kb)得31=-1k,解得k答案:-1【解题技法】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数时,如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标,一般地,求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.【对点训练】1.(2023·曲靖模拟)已知向量a=(2,2),b=(1,x),若b∥(a+2b),则b= ()A.2 B.2 C.22 D.4【解析】选A.a+2b=(4,2+2x),则1×(2x+2)=4×x,得x=1,b=(1,1),b=2.2.已知两个非零向量a与b不共线.(1)若ka+b与a+kb平行,求实数k的值;(2)若a=(1,3),b=(x,1),c=a+2b且c=52,求x.【解析】(1)因为ka+b与a+kb平行,且a与b不共线,所以ka+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以k=λ1=λk(2)因为c=a+2b=(1,3)+2(x,1)=(1+2x,5),所以c=(1+2x)2+25=5经检验,均满足a与b不共线,故x=2或-3.第六节复数【课程标准】1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.【考情分析】考点考法:高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.核心素养:数学运算、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b【微点拨】(1)虚数不能比较大小;(2)复数集包含实数集与虚数集.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).【微点拨】(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1(2)复数减法的几何意义:复数z1-z2是OZ1-OZ23.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(【微点拨】复数的运算律:任何z1,z2,z3∈C①复数加法交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).②复数乘法交换律:z1·z2=z2·z1,结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3),乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.若|z|=1,则z=±1或z=±iB.若z∈C,则|z2|=|z|2C.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为3D.若a+bi=1+i(a,b∈C),则a=b=1【解析】选BC.对于A,若z=12+32i,满足|对于B,设z=a+bi,a,b∈R,则|z2|=|a2-b2+2abi|=(=a4+b4+2a2b2=(a2+b2)2=a2+b2,|z|2=(a故B正确;对于C,设z=a+bi,a,b∈R,因为|z|=1,则复数z对应的点P在以原点O为圆心,1为半径的圆上,|z+2i|的几何意义为点P(a,b)到(0,-2)的距离,其最大值为(0,-2)与圆心(0,0)的距离加1,即2+1=3,故C正确;对于D,若a=1+2i,b=-1,则a+bi=1+i(a,b∈C),此时a≠b≠1,故D错误.2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=13+4i的虚部是 (A.-325 B.-325i C.-425 【解析】选C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3-4i)=3-3.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则()A.a≠2且a≠-1 B.a=0C.a=2 D.a=0或a=2【解析】选B.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则a2-2a4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ()A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1【解析】选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.【巧记结论·速算】1.in(n∈N)的周期性:(1)i4n=1,i4n+1(2)i4n+i4n+12.复数模的性质:(1)|z|2=|z|2=z·z;(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;(3)|z1z2|=|z1||z2|(【即时练】1.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a+i2024A.1 B.0 C.1+i D.1-i【解析】选B.若复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0a+i202412.(多选题)已知i为虚数单位,则以下四个说法错误的是 ()A.i+i2+i3+i4=0B.复数-2-i的虚部为-iC.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2D.若z1,z2为复数,则|z1·z2|=|z1||z2|【解析】选BC.对于A,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,A正确;对于B,复数-2-i的虚部为-1,B错误;对于C,若z=i,则z2=-1,|z|2=1,C错误;对于D,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),于是z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a2c2+b2d2+a2d【核心考点·分类突破】考点一复数的有关概念[例1](1)(2023·保定模拟)已知复数z满足z(1-i)=i,则z的虚部为 ()A.-12 B.12 C.-12i 【解析】选A.复数z满足z(1-i)=i,则z=i1-i=i(1+i所以z=-12-12i,z的虚部为-(2)(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=21-(3)i是虚数单位,若(1+mi)(3-i)为纯虚数,则实数m的值为 ()A.3 B.4 C.-3 D.-4【解析】选C.依题意,(1+mi)(3-i)=(3+m)+(3m-1)i,而m为实数,因此3+m=03m-1≠0【解题技法】解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则z【对点训练】1.(2023·菏泽模拟)设z=i(2-i),则z= ()A.1+2i B.-1+2iC.1-2i D.-1-2i【解析】选C.因为z=i(2-i)=1+2i,所以z=1-2i.2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则 ()A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2【解析】选A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,由z+az+b=0,得1+a+b考点二复数的四则运算[例2](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2-i)= ()A.3-i B.3+iC.1-3i D.1+3i【解析】选C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.(2)(2023·全国乙卷)设z=2+i1+i2+i5,则A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i【解析】选B.由题意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1-(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则z-z= A.-i B.i C.0 D.1【解析】选A.因为z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|= ()A.1 B.2 C.5 D.5【解析】选C.由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|=12+(-(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= ()A.1 B.5 C.7 D.25【解析】选B.由已知,得z=3-4ii=-4-3i,所以|【解题技法】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=-1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.【对点训练】1.(2022·全国甲卷)若z=-1+3i,则zzz-1=A.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13【解析】选C.因为z=-1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2则zzz-1=-1+32.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z= ()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由题设有1-z=1i=ii2=-i,故z=1+i,故z+3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|= ()A.25 B.42 C.20 D.32【解析】选A.方法一:由题意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,则|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|a-bi|=()A.2 B.3 C.10 D.4【解析】选C.因为a+i与3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=10.【加练备选】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= ()A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i【解析】选D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3z|=()A.45 B.42 C.25 D.22【解析】选D.因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-所以iz+3z=4+4考点三复数的几何意义[例3](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.复数z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,复数z的共轭复数为z=-1-2i,z对应的点为(-1,-2),在第三象限.(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=a+i1-i对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.由z=a+i1-i=(a+i)(1+i)(1-i)(1+