2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第八章 第五节 空间向量的运算及其坐标表示含答案

11版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第八章第五节空间向量的运算及其坐标表示第五节空间向量的运算及其坐标表示课程标准1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.考情分析考点考法:常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.空间向量有关概念(1)单位向量:模为1的向量.(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.【微点拨】(1)零向量与任意向量平行;(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.2.空间向量有关定理(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空间向量有关运算设a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.【微点拨】向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空间向量有关公式(1)空间两点间距离公式已知P1x1,y1,z1,P(2)空间两点的中点公式设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=(3)空间向量共线与垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空间向量模与夹角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=cosa,b=a·b|a||【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.若A,B,C,D是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.空间中任意两非零向量a,b共面D.对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角【解析】选AC.A中由向量的运算可知正确;B中若|a|-|b|=|a+b|,则两向量反向共线,若两向量同向共线时不成立,错误;C正确;D中若a·b<0,则a与b可能反向,夹角等于180°.2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是(A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】选A.BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则()A.m,n,p共线 B.m与p共线C.n与p共线 D.m,n,p共面【解析】选D.因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m与n不共线,所以m,n,p4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为______.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.答案:2【巧记结论·速算】1.对空间任意一点O,若三点P,A,B满足PA=λPB⇔OP=xOA+yOB(x+y=1)⇔P,A,B三点共线.2.证明空间四点共面的方法对空间任意一点O,若四点P,M,A,B满足MP=mMA+nMB⇔OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)⇔P,M,A,B四点共面.【即时练】O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四点共面,则实数【解析】因为P,A,B,C四点共面,所以34+18+t=1,所以t=答案:1【核心考点·分类突破】考点一空间向量的线性运算[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=13OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列向量与AN相等的向量是(A.-a+13b+13c B.a+13bC.-a+16b+16c D.a+16b【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=13OM,所以AN=ON-OA=23OM-OA=23×12(=13OB+13OC-OA=-a+13(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1A.12a+12b+B.12a-12b+C.12a+12b-D.-12a+12b+【解析】选D.A1D=A1A=-AA1+AB+12(B=-AA1+AB+12AA1+=-12AA1+12AB+12AC=-1【解题技法】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【对点训练】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,(1)AP;(2)A1(3)MP+NC【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)因为N是BC的中点,所以A1N=A1A+AB+BN=-a=-a+b+12AD=-a+b+1(3)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP=12A=-12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考点二共线、共面向量的应用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()A.2,12 B.-13C.-3,2 D.2,2【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以x(λ+1)=6(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上__________的点.

【解析】因为点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.答案:线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)(3)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k①向量MN是否与向量AB,AA②直线MN是否与平面ABB1A1平行?【解析】①因为AM=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+=k(C1A+BC)+AB=k(C1A=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(=(1-k)AB-kAA所以由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内.当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由①知MN与AB,AA所以MN∥平面ABB1A1.【解题技法】1.共线、共面向量定理的应用(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线;(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面;(3)根据向量共线和向量共面求参数取值;(4)与a同向的单位向量为aa,反向的单位向量为-aa,共线的单位向量为±2.证明四点P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;(3)对空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.【对点训练】1.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若BD=6PA-4PB+λPC,则λ等于()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】选B.BD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λPC,整理得PD=6PA-3PB+λPC,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0【解析】选A.因为A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以x-1=-2μy-1=考点三空间向量的数量积及应用[例3](1)在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则PO·PA等于 ()A.59 B.63 C.423 【解析】选D.因为P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2-|AO|2=4-43=8(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;②求AC在AB上的投影向量.【解析】(2)①因为A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,-2,0).因为AB·BC=0×2+3×(-2)+3×0=-6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||BC|=-63②因为AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因为|AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||AB|=1214×32=277,所以AC在AB上的投影向量为|AC|cos<AC,AB【解题技法】空间向量数量积的应用【对点训练】1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为()A.±66 B.66 C.-66 【解析】选C.由于OA+λOB=(1,-λ,λ),OB=(0,-1,1),则cos120°=λ+λ1+2λ2·2=-12,解得λ=±66.2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)证明:AA1⊥BD.【解析】(1)如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=-1.因为AC1=AB+BC+CC1=a+所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22所以|AC1|=2.即线段AC1的长为(2)因为AC1=a+b+c,A1D=所以AC1·A1D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12又|A1D|2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以|A1所以cos<AC1,A1D>=AC所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147(3)因为AA1=c,BD=b-所以AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c·a所以AA1⊥BD,即AA1第一节基本立体图形及几何体的表面积与体积课程标准1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图.考情分析考点考法:高考命题常以空间几何体及其组合体为载体,考查表面积、体积的求法.与球相关的问题是高考的热点.常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形【微点拨】(1)棱柱概念中的“侧棱平行且相等”要特别关注;(2)棱台概念中的“上下两底相似”要特别关注.2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点-轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环-3.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r'+r)l【微点拨】(1)S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高).(2)S正棱锥侧=12ch'(c为底面周长,h'为斜高)(3)S正棱台侧=12(c'+c)h'(c',c分别为上、下底面周长,h'为斜高)(4)圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r')lS圆锥侧=πrl.V圆柱=S底·hV圆台=13h(S上+S下+S上V圆锥=13S底·h.【基础小题·自测】类型辨析改编高考题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差B.锥体的体积等于底面积与高之积C.已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R=32D.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS【解析】选AC.台体是由锥体截得,故A正确;锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一,故B错误;球的内接正方体的体对角线等于球的直径,故C正确;由题意这个圆柱的侧面积为4πS,故D错误.2.(必修第二册P120T3·变形式)现有一个封闭的棱长为2的正方体容器,当按如图所示水平放置时,水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器中水面的最大高度为()A.1 B.2 C.3 D.22【解析】选B.因为正方体的面对角线的长为22,故将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半,所以容器里水面的最大高度是面对角线长度的一半,即容器中水面的最大高度为2.3.(必修第二册P119例4·变形式)如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为________.

【解析】设圆锥的底面半径为r,由题意圆锥的轴截面是一个正三角形,可知圆锥的侧面积为πr·2r=2πr2,圆柱的侧面积为2πr·3r=23πr2,所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为23πr答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为________.

【命题意图】本题主要考查台体体积的运算公式,突出考查学生的空间想象能力及运用数学公式、原理解决实际问题的能力.【解析】方法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1∶2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形,下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=13×3×(22+42+22方法二:由题意易求正四棱锥高为6,V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=13×4×4×6-13答案:28【核心考点·分类突破】考点一基本立体图形【考情提示】基本立体图形作为考查空间想象能力的载体,因特殊几何体的概念贯穿于立体几何的考查中,成为高考题热点,涉及相关的概念及性质.角度1直观图[例1]在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为 ()A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】选D.如图,画出直观图,过点A'作A'D⊥O'C',垂足为D.因为O'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',则A'D=B'C'=2,故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2侧面展开图[例2]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3,弧长为2π的扇形,则该圆锥的体积等于(A.423π B.2C.223π D.【解析】选C.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r=1,所以圆锥的高为h=l2-r2=22,所以圆锥的体积是V=13×πr2【解题技法】空间几何体结构特征判断技巧(1)说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可;(2)斜二测画法中,平行于x轴、z轴的线段平行性不变,长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时,一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略.【对点训练】1.如图所示,在四边形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为()A.52 B.5 C.52 D.【解析】选C.如图所示,O'A'B'C'为OABC的直观图,根据斜二测画法的规则可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'轴,所以该图形的面积为S=12×3+22×22=52.已知圆锥的表面积为12πm2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为()A.62πm3 B.833C.233πm3 D.4【解析】选B.设圆锥的底面半径为r,侧面展开图半圆的半径为R,则2πr=12×2πR,即R=2故圆锥的表面积为S=πr2+12πR2=3πr2=12π(m2解得r=2,圆锥的高为h=R2-r2故圆锥的体积为V=13πr2·h=13×4π×23=833【加练备选】如图,正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,则截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线的周长的最小值为()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】选D.把正三棱锥A-BCD的侧面展开,两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周长的最小值是22.考点二空间几何体的表面积与侧面积[例3](1)如图,位于西安的大雁塔,是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥,其侧棱与底面所成的角为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A.32 B.22 C.33 【解析】选D.塔顶是正四棱锥P-ABCD,如图,PO是正四棱锥的高,设底面边长为a,则底面积为S1=a2,AO=22a,又因为∠PAO=45°,所以PA=2×22a=a,则△PAB是正三角形,面积为S2=34a2,所以S(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,且a=1,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.5π B.π C.113π D.7【解析】选D.由三棱柱所有棱的长a=1,可知底面为正三角形,底面三角形的外接圆直径2r=1sin60°=233,所以r=则有R2=r2+(a2)2=13+14所以该球的表面积S=4πR2=73π【解题技法】空间几何体表面积的求解策略1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长、与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.【对点训练】1.如图,已知正方体的棱长为a,沿图1中对角面将它分割成两个部分,拼成如图2的四棱柱,则该四棱柱的表面积为()A.8+22a2 B.2+42C.4+22a2 D.6-【解析】选C.由题意,拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面,减少了原来两个正方形面,由于截面为矩形,长为2a,宽为a,所以面积为2a2,所以拼成的几何体的表面积为4a2+22a2=(4+22)a2.2.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的12(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】选D.细沙在上部圆锥内时的体积V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为h1,则13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圆锥形沙堆的母线长l=82+22=217,故此沙堆的侧面积考点三空间几何体的体积[例4](1)六氟化硫,化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电气工业方面具有广泛的用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子之间的距离为233,则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是(氟原子的大小可以忽略不计)(A.423 B.823 C.42 【解析】选D.如图,连接AC,BD,设AC,BD交于点O,连接OE,因为AE=CE,BE=DE,O为AC的中点,也是BD的中点,所以OE⊥AC,OE⊥BD,因为AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD,令相邻两个氟原子之间的距离为2a,则2a=233,a=3因为AB=BC=AE=2a,所以AC=22a,因为四边形ABCD为正方形,所以AO=12AC=2a所以OE=AE2-A所以该正八面体的体积是13×2a2×2a×2=823a3=8(2)某种药物呈胶囊形状,该胶囊中间部分为圆柱,左右两端均为半径为1的半球.已知该胶囊的表面积为10π,则它的体积为()A.356π B.103π C.133π D【解析】选C.设圆柱的高为h,所以4π·12+2π·1·h=10π,所以h=3;所以V=43π·13+π·12·3=13π(3)某校高一年级学生进行创客活动,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4cm,为增强其观赏性和耐用性,现对该模型表面镀上一层金属膜,每平方厘米需要金属膜2mg,不考虑损耗,所需金属膜的质量为________mg.

【解析】由题意,长方体侧面4个面的面积和为4×4×6=96(cm2),底面积为6×6=36(cm2),正方形EFGH的面积为3×3=9(cm2).因为梯形ABFE的高为BF2-故正四棱台的侧面积为4×123+6×332=27故该模型的表面积为96+36+9+273=141+273cm2故所需金属膜的质量为2×141+273=282+543答案:282+543【解题技法】求空间几何体体积的常