向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算

(用时45分钟)

【选题明细表】

知识点、方法题号

线性表示1,2,5,7,8

向量共线3,4,6,9

综合应用10,11,12

基础巩固

1.下列各式计算正确的个数是()

①(一7>5“=—35”；②a—2b+2(a+b)=3a；@a+h—(a+h)—O.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个

向量，而不是实数.

2.如图所示，。是A/BC的边上的中点，则向量8=()

A.BC-2BA

B.-BC+2BA

-L

C.-BC-2BA

-L

D.BC+2BA

【答案】B

一「

【解析】•・•。是Z8的中点，BD—BA,

—►—>—>―>]—►

:.CD=CB+BD=-BC+iBA.

―►

3.已知向量”，b,且Z8=a+26,BC^-5a+6b,CD=1a—2b,则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

—>—>—>—>—>―>

【解析】AD=AC+CD=AB+BC+CD

=(a+2b)+(-5a+6b)+(7a-2b)

―►

=3a+6h=3AB,

：.A,B,。三点共线.故选A.

—>—>—>—►

4.若Z8=3e”CD=-5e\,且|4D|=|8C|,则四边形488是()

A.平行四边形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

【答案】C

->3—^~►­►―►

【解析】因为48=一所以/8〃C£),且|/8用C0.而|/口=|3。，所以四边形N8CQ为等腰梯形.

5.在平行四边形/8CD中，/C与8。交于点O,E是线段。。的中点，/E的延长线与CO交于点尸.若/C

­►—>

=*BD=b,则4尸等于（）

1121

A.4〃+为B.京+0

1112

C.2a+4〃D.30+36

【答案】B

T1一，

【解析】如图所示，:七是。。的中点，，。后二酒八二".

~~¥-3~>

:・AE=3EF,：.AE=4AF,

在中，AE=AO-¥OE=2a-\-^b,

421

.•・4尸=5%£>=3优+5〃.故选B.

6.设ei,62是两个不共线的向量，若向量履1+2«2与8约+船2方向相反，则攵=.

【答案】-4

【解析】•・—%与8d+小共线,

*.ke\+2e2=A(8^i+te)=8zei+kkei.

，1

左=82,

解得］JA=2,

2=乂,［k=4

1

,.•履】+2«2与8ci+上《2反向，•*•2=—2»k=-4.

7.若优=—4+3«2,〃=4d+2&,c=-3ei+12&,则向量级写为九方+石。的形式是.

17

【答案】一改十方c

【解析】若。=九。+九2。，则一约+3e2=/i(4ci+2c2)+12(—3ei+l2c2),"*•-ei+3«2=(42i—322)d+(2九+

12A2>2.

f4Ai-322=-h|"=一/，

♦42九+⑵2=3,解之，得［7

U2=27.

―>—>—>—>―►—>—>—>

8.如图所示，向量04OB,OC的终点4B,C在一条直线上，且ZC=-3C8.设。4=p,OB=q,OC=r,

那么r用p,夕怎么表示？

13

【答案】r=一力+为.

—►―►—►—>—>—►

【解析】'：OC=OB+BC,AC=-3CB=3BC,

一1-

：.BC^AC.

--»-->I-->-->I--►-->

：.OC=OB+^C=OB+3(OC-OA).

・・・r=g+Q(r_p).

13

r=-2p+2^.

能力提升

9.已知向量a,6是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a,b共线的是（）

①2a—36=4e且a+2b——2e；

②存在相异实数，，〃，使/la—=0；

③xa+）>6=0（其中实数x,y满足x+y=0）；

④已知梯形ABCD,其中福«.CDb.

A.①②B.①③

C.②D.③④

【答案】A

【解析】由2a—38=—2（。+2〃）得到B=—4a,故①可以；Za—//Z>=0,Xa=/ih,故②可以；x=y=0,有xa

+）力=0,但6与a不一定共线，故③不可以；梯形/8C力中，没有说明哪组对边平行，故④不可以.

­►

10.如图，在A/BC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线48,/C于不同的两点"，N,若4B

—>—►―>

=mAM,AC=nAN,则，”+〃的值为.

A

（）

【答案】2

iJ.—一LL

【解析】在△/8C中，连接力。由于。是8c的中点，因此4O=5(4B+ZC)=》B+54c

—>—►-►—>

由于AC=nAN,

一1一J.t

则4O=2m4M+N.

11

由于"，o,N三点共线，则2机+示=1,

从而m+n=2.

11.如图，在A/8C中，D,尸分别是8C,4C的中点，AE=3AD,AB=a,AC=b.

(1)用。，6分别表示向量BF；

(2)求证：B,E,厂三点共线.

一_[-1

【答案】⑴AE=3(a+b).BF=-a+2b.(2)见解析.

【解析】(l)：NO=5(/8+/C)=5(a+6),

一2一！

?.?l£'=374D=3(a+Z>).

一「J

'：AF=2AC=2b,

：.BF=AF~AB=~a+2b

(2)证明：由(1)知3/=一”十仍,

—>—►

BE=AE-AB=3(«+b)-a=-3a+3b=^-a+2b),:.BE=]BF,:.BE与BF共线.

又BE、8尸有公共点8,所以3,E,尸三点共线.

素养达成

12.设ei,e2是两个不共线的向量，如果N8=3ei—2e2,BC=4ei+e2,CD=^-9e2.

(1)求证4,B,。三点共线；

(2)试确定2的值，使2zei+e2和ei+猫2共线；

(3)若为+融2与％ei+e2不共线，试求2的取值范围.

【答案】(1)见解析.(2/=±20)当*±1时，ei+妫与&1+速不共线.