2020-2021学年辽宁省沈阳市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2。20・2021学年辽宁省沈阳市重点中学高二(下)期末数学试卷

一、华选题《本大以共B小鹿，共40.。分。在由小数列出的选攻中.选出符合题目的一项)

I.ti加维介4={x[y=M-2J,=(y|y=x2-2).Wj<1<>

A.4=6B.Anb=。C.-4U5=4D.ACB=A

2.LliilAjIfeptvxe[-2,0].x24-3x♦2>0,则〉心)

A.3X(,6|-2,0|.北+34+2v0

B.3x0£[-2,0j.X+3X0+2M0

C.Vxe[-2,0J.xz+3x+2S0

D.3X0£C--W.-2)U(0,+00),+3%+2S0

3.设p；■/+2x2+m在R上单调爆增.qteN1,则p上:)

A,充分不必要条件B,必要不充分条力

C.充分必要箫件D.应不充分也不必要条件

4.I!1知函数/"(J：)=/+3nu/+nx+m'/上=-1时fj树坡为0.则m+nN)

A.tlB4则1C.4D.8

5.己妞定义在A上的函数/(x),对仟@实数1力/(*+5)=-/。)+5,若用效/(JT-D的图

象关于H线x=1对称./(-1)=2,则/(2021)=(，

A.5B.-2C.1D.2

6.已如数列[0}的前n项和为义，S„=2a„-2.若"在两项a^.a..H：^am-aB=64.

川金+广的最小(ft邮)

八A.—6DB—SC-2D—3

7.已知点p在曲线丁=$上.6为曲线任由#处的切线的w斜角.则e的取置范楷是()

A.|0.6u洋m)B.(；,2)C.1峥U电尊D.

8.殴函数/(X)是奇函数/coae*)的导函数•当X>oe-jjnx.f(x)<<0-

则使得(r-4)f(x)<。成立的x的取值范围(»

A.(―,-2)U(2.4ao)B.(-2,0)U(2,+«)

C.(-2,0)U(0.2)D.(-00,-2)U(0.2)

二'多选现(本大通共4小翅，共20.0分.在每小题痼多中总合IK目要求)

9,卜列达攻中正确的足()

A.小输Ka+b之21i附口或》

B.存在宴他必使相不等式a或也

C.若a.6为II•实数.则g+

D.若正塞般x.yafifix+y-1.U11og2x+Iog2yi-2

10.江公比q为整数的等比数列［a”｝中，S.是散列｛*｝的mn用和.若为+a.-18,a?+%一

12.则卜列设法正确的是()

A-q=2B.数列｛$,+2］是等比钦列

C.$6=510D.数列｛0.］是公差为2的净差数列

II.已知，(x)=手，卜列说法正确的是()

A.f(x)flx=1处的切及方杆物=x-l

氏呼调jfiMLX间为(e.+8)

C.〃外的楣小值闿

D.方程〃x)=-1flM个不同的解

12.VX6R.恒)表示不嘏过X的最大怦©.I八世纪,y=［r］收“数学工子”高斯来用.因此

同名腐断咕数，人们更习惯称之为”取整而氐”.则下列命麴中正神的是()

A.VX€1-1,0).|x)=-lB."€R,xN|x|+1

c.Vx,y€R.(x］+［y］Sb+刊D.嫉故y=x-［x］(x€砌的值域为［0,1)

三、填空收(本大88共4小题，共2(H)分)

13.己切等差数列｛%｝的前n项和为4,kS〃=SI.an=0,则［%)的通项公式为.

14.关于*的不等式a/+m+c>0的觥蛆为(-1.2)・则关于:rfiJM；等式竽+c>br的鼾

集为______.

15.已加啮数/"(£)=［」*若对住有实效人总件在实数打，使用“打)=0.刚

实Sta的取侑短同是

16.己如，口)=加+<«2+9-4尔<1>0,6>0)0^=1处双件极值，时+；的如Hft为

四、解答现(本大及共6小题，共70.0分,解答应写出文字说明.证:明过程或演同多源〉

17.(4小8S100分)

在①5是国与旬的等等中隔②0］噂与生的等比中隔③数列的附5独蒯为6s这；

个条件中任选一个,朴先在惧战中,并解答下面的H题.

已知｛aj足公差为2的等?上数列.其前n须和为.

⑴求心：

⑶她,=©)”•%；是否存在"€义•使得%:*争后存在•求出*的如若不存在•谟明

理由.

18.(木小翅12。分)

某学校实行自主招生.宏加fi主招生的学生从8个试牌中做机挑选出4个进行住答,至少各时

3个才能通过初试已如甲、乙两人参加初试,在这8小试型中甲健拚对6个,乙倭杵对蜂个试

应的微率为J,R甲、乙两人足否答时加个试起互不蛇响.

(1)试通过概率计算，分析甲，乙两人谛通过自主招生初试的可能性更大；

(2)若各时一题,s分.将皓或不容招。分，汜乙答题的均分为匕求丫的分年列及欷学期望和

ZfS.

19.(本小遨12。分)

在热列｛%｝中.已知4=1.旦。/1%,=2""。”-2・%4一

(1)证即数则｛?｝为等培数列，并求由8』的通顶公式：

(2)片％=后。“，求救列｛坛｝的曲n闻和

20.(本小IS120分)

已知南数"')=ox—1-ln*(a€町.

(I)讨论函数f(x)注定义域内的极值点的个数；

(II)已知曲W(x)£=1处取得极值、U时V*€(0,+»),/(x)Nbx-2恒成立，求父Sib的

取(ft豆阳.

21.(本小鹿12。分)

在创建“全田文明£生地"过"中,某城市“创城办”为1•调育市K对以城工作的「新情况.

进行了一次创地加以和崔阳仔(一位巾K只能畲加一次)，通过版机抽样.得到参加问卷调直

的100人的得分统计结果加去所示：.

[30,40)[40,50)(50.60)160,70)[70,80)|80,90)|90,100)

fflft212202524134

(1)由疆数分布表司以J：效戾为.此次同也■查的卅分ZA'a.198),〃仙以为这100A1M分的

平均值(内组中的效据用该纲区间的中点值作代表),利用逾11态分布.求H38.2VZM

80.2)；

的条flF，“@1城办”为此次忿加材春调声的市民：•!定如卜黄丽方Ki

①得分小低的可以获蜡2次随机话费.得分低卜“的可以疾电1次随机话费：

②每次茯喈的随机活也和对应的概率为，

的送话费的金融(单位；元)2050

31

魁率

44

现有市民甲多加此次问卷时段，iU(冷位：兀)为谟市民参加何找调套莪取的话比,求X的分

布列与数学期望.

附।蔡巧致蜘ij公式，14.若*-N“qd)，WJP(^-o<X<p+«J)=06826：P(ji-

2,<X4〃+2")=0.9544,P(p-3<T<KSp+3(r)=0.9974.

22.(本小《£12。分)

已知函8kf(x)=axe*-，nx+/>在x=1处的切段。程为y=(2e-1)x-e.

⑴求a.b值：

(2)柠/1(x〉>mx恒成立•求实8tm的取电范惜.

答案和解析

I.1答案1C

【肝析】W：「人工乩

■.A<JB=A.Ac\B=B.

故选iC.

可求出款分爪B.然JG交堀物井里的在的叩nJ.

本18考住了：次前数的定义域和姐域,交诙和井实的运算,考吉了计就能力,B；下练此题.

2.【怦案】B

【解析】

【分析】

自接利用含有斜祠的命(《的否定进行求前即可.

本也考自了自育ft诃的命题的否定.费学提英否定方法，先改变量利・然点再否定结论.国于联

第8.

【解答】

解：因为命&p：Vx€[-2.0).x2+3x♦2>0.

则？：3xaG1-2,0].X+3x©+2SO.

故选：B.

3.【笄案】A

【诉机】解，•••/口)在(-0+8)内单词递增.

Af(x)N0恒成年.即3/+4x+mN。恒成况.

^△=16-12m<0.，m孑g.

即p,mN?.

vq：m21，

••,口是9的先分不必要条件.

故选，A.

利用函敷他调性和导效之㈣的关系•求出m的*能越用,网用充分条料和S娈条件的定义即可用

到结金，

4JB匕台允分条件和电要陶H的刘新，利用分数和单调忖之间的关系求Nip的泠价条件是解决

本胭的关愧.

-A

1解析】

【分析】

本摩否皆7&教求极值时的应用,注意函数隹产生烯城区M才可以.

求导.由观名列方程出及小等式.从而解出m.n的值.

【解答】

解：//(x)=3*z+6mx+n

EllfiSfi,[-IfSm-n+m^O

13-6m+n=0

H(6m)2-4x3xn>0.

解ft),m■2.n■9：

故选A.

5.【答案】D

(WWiJ髀：由困数，=，(*一1)的图象矢1出伐*=1时的.

所以南故，(x)的图望关于y触对称.

故/(*)为信函敷.

乂fix+5)--/-(x)+5.则f(x+5+5)=-f(x+5)+5-g

故〃x)是冏期为1。的偶苗数・

所以f(2021)=/(I+202X10)=/(I)=/(-I)=Z.

故选।D.

利川南数图象的变检.得到的故“幻的图象关于y相对将.从而存到函数为翎的利用恒马式.

可口/"(¥)是月期为10的偶属5ft,di此求斛即可.

本出与i5广抽象函数的质用.函数奇儡忤、对秣性以及冏期性的稗川.>5支J•逻辑推理能力。转

化化力傥力，属于中档超.

6.(tJS

［解析］W；S„—2an—2>可用如=Si=2fli—2>即如*2>

n22件I♦S.-i=2un-i2•=2aH2•

用减可知a”=54-5n_i=2an-2a,.,,即%=2%_「

{4»}是有项为2.公比为2的等比殷利.

所以％■2*.

=64.即2m-2"=64.

得m+n-6.

所以!+；=:(刖+n)(1+?)=:(17+曰+^)5!(17+2<16)=^,

当口仅当占■警时取*号，即为m屋，n・鲁.

因为m、n取整%所以均值不等式等号条+1取不到，则5+

岫证可用,当m=l,n=5lt・)+占取日最小值为用.

故选:B.

运用数列的递推式刖等比数列的定R、通璐公式可得%=2"求得m+n=6.工+史==(rn+

eat1

可«+T)=*(17+3+詈)，运用幕本不等式.检验等号成y的条(1•即可得到所求最小位•

本18学G数列的通项公式的求法，注意运用敷列的递推式和等比数列的定义、通项公式,考自旎

本不等式的运用.注息检蛤等号成立的条件，号行化油运H能力，属F中档逋.

7.【答案】D

【解析】解：Ihy=岛.将y'=湍7=看捻i=帚^・

-e*>0....e*+±+2之2」”,士+2=4-

当11仅当e*=^・即x=O时等号成也•

网外点+皿

即iun"e［T,0),又9e【0,R)・

&，的取值范出是4E).

故地।D.

求出5!呐敏的0脸敢•冉曲扁本不等或求最值,可得y'的范围,进一,求螂切而佩斜角的取出吊

Ifl.

本胞号直分数的几何意义及应用.训博广利用基本不等式求©酒.号杳后算求出使力.是中右近，

8」界率〕B

(怕析】解：根树的也.&ff(x)-inx/(x).(x>0)

或G=a，M'，3+Inif(x)="⑴+Inx-f(x),

因为当x>Qil-r.Inxf(x)<-i/(x).

所以当%>Q时，g'GOcO.g(ar)取得逢她.

又g(l)=fnl〃D=。.

所以馆*fHl(O,l)E,u(x)=lax/(x))0.

由于此时Inx<0.W!/(x)<0.

在区脚(I+8)上.g(x)=inxf(x)<0.

由了此时mx>0.W1/(x)<0.

所以/(X)在(0,1),(1.+8)上，/(X)<0.

因为“X)为奇南教.

所以许(-1,0)，(-8,-1)上，fix)>0.

若…叫点：那片二°,

解得-2VX<0或2Vx.

所以x的取值范阳内(-2,0)U(2,+8),

故送,B.

\lg(x)-Inx/(x).(x>□).转台电总分Rrg(Y)的单•调性，Z^(l)=/nl-/(I)=0.进而可附

〃幻>0.〃幻<0的解集.若(小-4)/)>0.叫;高累”｛位2即用得出答案.

本港考杳导致的综合科用，不等大的蟀法.就西中高嘤一定的措理能力.利于中科践.

9.(各案】BCD

【耳柘】解：A.a>0，b>。冏，不等JH♦b>2Gs恒:成立，二4钳俣：

a存在实数a=-l.使得不等式a+±M2成立，。正如

C?：Q.6为ill更故，根MMA不可格由电+・22.M•止魂：

Di；正交皎x,y病壮r+y=1,则得小注4%当H仅当a=b=轲取等%

Alog£x+iog£y=/。。式xy)W2也：=-2.；・〃，配

故送：BCD.

■W探塞本不等式成立的条件即可判断选项4的洪1nia=-1.UJ可他出成宜,从而到断

0

造夜8止瑜；根据基本不等式可列断C正硼：根据暴本不等式得出叶m.aPnJHJBiD正确.

本港考馁「基本小等式应用的明提条件和基本小等式的拔用,对数的运算性质.考直J■升口费力.

猛于耳毗国.

10.【咎案】ABC

【用&】曲:。1+/=18.az+«3=12.ai(l+/)=[&/(.+1)=12.公比q为髡歌.

解得知=q=2.

n+1

•­a«=2.jn=«£Z2>»2"-2-

・••$,+2=2”",.••敷列(S.+2｝龙公比为2的等比数列.

国-Zfl-2-510.

/g%=n©2.数网"gaj是公差为®2的等单.数列.

综上可科；只有ABC正确.

故选：ABC.

由4+a.=18,a?+%=12.0,(1+q3)=18.(ii(q+qN)=12.公比q为整数.醉褥a「q.可

得Q“.Sa.进而判断出结论.

本JB考件了等系数列与等比数列的划攻公式求和公代及其性政.考查了推埋健力与计算傕力.H

于中档廊.

”.【答案】4B

【解析】

【分析】

本眼主委考在*数的煤介/用，以及函散的单调性，ttffl.IfldS.中档也.

对〃幻求导,悻合导致的几何名义，即可得到的线的斜牢.冉利阳代戊的由斜K，即可判18M处

用.报烟已扣余竹・利用导敛分析的被〃幻的单调性,fit(ft.即可判图".C选项.将方程”的个

故传化为两个的数留保上点的个故，结介南品的单调W,即可求解.

【解答】

解：“CO-竽

,了,=竽

mi)-1./(i)«o,

：,〃x)的图像在点(1,0)处的切理方程为y-0=f(x)(x-1).即y=X-1.故A选项正磅，

生E(O.ejflf.f(x)>0,“幻单调遽增.0rC(e.2)时.f(x)<0,〃幻单调递减,即〃幻的

极大值世是最大值为/"(e)=竽=%故8域项正确,顶福误.

方程/"(1)=一1有网个不同的於.即为，nx=-x.域改y=l心•与>=-》图像交jfi的个数，

「圉故y=Inx在(0,+8)敢恻递增，且与丫&_『止0时.y的近十-8.ILys-x4LHIttM(

二函致y=Inx勺y=-x用肉交点的个池为1个，故1)选项借误.

故选：A8.

12.t答案】e

【解析】

1分析】

本医考自的知识嘤直：取整句题的应用，主要考e学生的运兜能力和转换能力及里跳健力・k广

中档翦,

宜按利用取整何理的应用判断A、B,C、D的玷论.

【解答】

解：VxeR・["表示不姆也的最大整数.

对于小0£[-1.0].|0|*-1,故A错误：

对于8：由于x-[»l<1,所氏r<|打+1帆成立.域8错误；

对TCiVx,ye/?.0<x-(x]<1,0<y-[y]<1,

所以0Sx-[x]+y-Lyjv2.

雪lSx-[x]+y-»]<2时•pr]+[y]+l=卜+y],此时[x]+[训<□+田,

*j0<x-[x]+y-[y]<1时・[x]+[y]■[x+y].此时[44-[y]-[r+y].

所以Vx,yWR,1刈+|/]$白+刃，故C正喊；

rfitty-x-lxj(re故。正事.

故选；CD.

13.【容案】-1

(阴析】

【分析】

利用等第数列通项公式、前n项和公式列方理，能求出结81.

本卷与fit等差数列的基本运算.与At的帙心索并是逻辑推理、数学运算.%«««.

【解答】

解：依题总.Sir=17a,=S1,解帆,=3,

val2=。・

故数的｛/｝的公弟d=-l.

故谷案为；-1.

14.(―8.0)

(解析】此•.关『X的不等式a/+从+c>0的解集为(一1,2).

(a<0

-1+2=-*,b=-a,c=-2a.

-1*2=：

不等式竿+c>bx可化为：?-2a>-«x.

又。v0,-----2<-x.,-.y2~Z1,~1<o.

Xx

解得：x<0.

故若案为(-8,0).

根据不骅式a/+8*+c>0的M玻内(-L2).推出avo,b=-a.c=-2a,代入后面不等式

可解得.

本虺考杳了一元.一次不等式的解法，码中档题.

15.(-r)1-5.4J

【神桁】W：①Bawl时，

•••对任意失数儿总存在*故使用〃x°)=b.

•'•a♦4>I-2•

解得，a2:-5；

(2)l'\a>111J.«+4&a2-2a.

解用，-1<a<4,

综上所述，失散a的取值范恨足【-5.41，

故答案为，［-5,4］.

叔期二次函数--2x的最小短分类讨论，从而*与.

本遨考台广分段阐致的应用及.次由故的性暖的应用.

⑹【答案】号

(1W：lh/(x)=tnx+at1+(fe-4)r.(a>0,h>0).

阳八幻=£+2ax+b-4，

由芭-L+2a+6-4-0.则2a+b•3,

所%+AC+沁竽

=*+/ag(-2jp百吗

当且仪第=£2a+6=3.即a=Jb=|llf.等号成汇，

flo4，

吗♦:的最小值崂

故答案为:|.

求出函数的B敢.视到2a+b=3,根据丛木不葬式的性域求出代数式的0小值即M.

本电考杳了导致的应用•考用产本不等式的性质以及转化建想,是中档题.

17.t郭太］蚱,"){4}是公并d为2的等法数列.

后造是a20a21的等差中项.可得2s.=a?+—•

即有2(43+6d)=2a,+21d,即为6ai=9d=18,解得%=3；

是3与外2的等1匕'也电可再同^(<>1+6X2)1=(3«,+3X2)(ai+21x

2)，

即(ttj♦12>>(5♦2)•(at+42).

解将%=3：

心送③数列［%“｝的*5项和为65.可旬%+a.+…+5。=65.

即5%+(I+3+5+7♦9)d=孙+2Sd=5%+50=65.

W得知=3；

^h»rft?flB=<3+2(ri-l)=2w+l.ti€/V»i

(2期=(护%=知+1)(护

由4+1_%=(2n+3),C尸“一(2n+1)(尸一手.(?)".

当n=1・2HJ.可格%.i-%>0.即。3>b2>bti

On23,n£N•时，可存入.［一&<(),即b,>①>%>…，

塔瓦的最大里为人=粤.

峭4

可笈不存在kEN,使用母〉乡.

Q

【冰桁】(1)可设公差为乩运用等港钛列和若比皎列的中项性质，以及等并数列的通项公式刖求

和公式，解方程可存仃项.迸而M到所求通项公K；

(2)求得6=(2n+1)(；尸，计Wd+i-b”，可行兀的大小关系.求捋仇的出大项，。弓比较，

即可判断存在性.

本卷号置答卷数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查故列的单调性的利断和匕用.

同时考我化简运算隆力和推理能力,wr>i«riffi.

18.1答至】解：。)丁甲在8个中甲舵答对6个,

.•,平通过口主招牛初试的梅屏M=警+》=9

又•.•乙能拧时每个试区的段率为:.

八乙通过自主招牛初贰的微率玛=*《，>：+《)，=笠，

•.片>p2.

W通过门)招4/忒的可能件史大.

(2)山也曲可知.乙答对的的个故X的可他收侨为0.1,2.3.4.X-

P(X=k)=段=0.123,4)RY=SX.

故y的分布列为।

Y05101520

13Z72781

P

2S61MM256

.-.F(y)=E(5X)=5E(r)=5x4x1=15.

D(Y)=D(5X)=52D(X)=25x4x1x(1-1)=^.

【册疥】(1)根据已知条件•分别利用照儿利松P初二项分布计翼甲.乙通过自主招生巧试的楫事，

即可求解.

(2)由数@u|■知.乙？？对必的个数X的可能取值为0,1.2.3.4.XS(4.^).分刈求出对应的格

率.乂y=5x.即可行y的分布列.再结合期望和方与公式,即可求斛.

本摩主要考在点散型的机变僦分G列的求薪，以及益要学生执饰靠握期里和方差公式.m于中林

愿.

19.【芬生】(I)证明：：/7小=

两通同除以5.［。…?!------=1--=7=2'

/♦1<*»。1।

二物列｛5)为等差数列.苜项为2.公空为1.

2+n-l=n+l-

.

解制”方

L曲

⑵CM愀*%=才”=^"^2"^=2="*-’初2"’

；,•&列｛4｝的前拒阴和又=—-2+—--+......4理--

《243lt-1

「I

7+7

［解析］⑴帆“%=2"“询―2”/“,两边同除即可证明结也.再利fllifl通公式

即可出田―

(2巩.3%.鬲冷T瞿-三’利用裂藕求和方法即可辨机

小理与百了等站数列的定义，通顶公式、裂须求和力法.专轰了推理能力与计月优力.WF'PH

鹿

2(1.【咛案】W：(I)v/(x)=ax-l-lnx.

“'(x)Ha-［w^^，(I分)

当aS。时.f(r)S。阳。,+8)上恒成立,懈数"X)在(。,48)华邮玄俄.

j.f(外在(。,+8)上没书极值点：(3分)

%>0时，f(x)<OfiJO<x<\f(x)>0Wx>\

“8在(0。上逆也在&+s)上通熠，即〃外在*■兴Hi极小值.(S分)

:.当a40时，Cr)C(0,+8)卜没仃毓仇卢」当a>。时.〃口似0.+8)14•个机位点.

(II)：函数"X)在，=1处取得模侑，

■,•a=1•

•••/(x)Nbx-201+；-牛2b•(8分)

令g(x)=1+}-竽则。'㈤=一1-甘^=一,(2-£nx),

由g'(x)±o得.xNe?.由g'(x)40?］.0<x<eJ.

•••g(x汪(0,日上避减.在［M+8)匕电用.(105b)

••献工)i=S(e2)=1T，即人《1-小。2m

【摒析】(I)由/(x)=axT-Mx可求用「GO=亨’对。分aS0与a>。讨论广⑺的符号.

从前确定，(*)在其定义城(0.+8)羊喟忤。极值•可科芬案：

(II)函数;•(*)在x=1处取阳微值.可求得a=l.于是有/CONbx-Zo1+：-等之瓦构君

由软g(x)=1+：-竽.g(x)皿“即为所求的b的(ft.

本理¥住利用导致研究函数的板的.韦在恒或立何虺.甘史考，£分类讨论思STJ构过函数思想明

应用,体现保合分析何的。机决M题能力，H

21.(：r.：］帐：(1)从=35x0.02♦45x0.12+S5x020+65x0.25♦7Sx0.24+85X0.13+

95x0.04=66.2.

枚Z、N(662198>奶切。=<198=14.

1-06826

・•・P(ZM802)=1」3：—.⑶=0.8413.

k(2<38.2)