考点08 直线和平面的平行、垂直问题9种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）

考点08直线和平面的平行、垂直问题9种常见考法归类

M二解题策略

1、证明方法“一找二作三证明”

“一找二作三证明”是笔者在教学实践中总结的一种证明线面平行或线面垂直方法，此证明方法分为三步,

具体的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：(1)根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”

出一条直线与已知直线平行即可.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，要证明线面垂直，就要在此平面内“找”

出两条相交的直线分别与此直线垂直.其次是“一找”的原则：一是要“找”的都是线线平行或线线垂直，二是

要在一个平面图形中“我,,

第二步，就是“二作”:在分析题意之后，若不能直接"找''到所需要证明的线线平行或线线垂直的关系，

则进入“二作”的程序.从三个方面去理解“二作”,第一方面，“作”就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或

复杂的“作”；第二方面，每一次“作”的时候都要围绕证明所需去“作”,要证平行关系就去“作''线线平行，要证

垂直关系就去“作”线线垂直；第三方面，要把线线平行或线线垂直的关系“作”在一个平面图形中。

第三步，就是“三证明”:经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明

命题的整体过程.在“三证明”中要注意三点，

第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时

要严格遵守判定定理的条件.

2、“一找”依据

线线平行的常见找法依据：

(1)构造三角形的中位线证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直

线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一

组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线

在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的

一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三

角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性

质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.

在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的

垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征

寻找中位线。

（2）构造平行四边形我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证

明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平

行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平

行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直

线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定

理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直

线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行

四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平

行，进而得到线面平行。

（3）利用相似比寻找线平行如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长

线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三

角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工

具•题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，

寻找线线平行，进而得到线面平行。

（4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直

线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行

（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定

理，得到线线平行，进而得到线面平行。

（5）构造平行平面面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两

个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于

另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平

面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只

要证明直线/所在的平面a和平面夕平行，那么就可

以根据面面平行的性质，证明直线/和平面夕平行.

当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平

行平面.若要证明///平面a,只需构造一个平面夕〃

平面a,且/e/7,那么根据平行平面的性质，即可

证明///平面a.在构造平行平面夕时，可在平面夕

内作一条直线〃，使其平行于/.也可直接根据正方

体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.

(6)利用线面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

(7)平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线平行.

线线垂直的常见找法依据:

(1)相交直线①等腰三角形(等边三角形)的如图：AB=AC,D为BC中点，则AOL3C

“三线合一”二

②勾股定理的逆定理

如图：如果/+〃=c，2,则

B

K

b

③正方形、菱形的对角线互相垂如图：四边形ABCD是菱形，所以ACL3。

直

C

④直径所对的圆周角是90。如图：AB是圆的直径，NAC8=90°

B

<A0

(2)异面直线①通过证线面垂直证线线垂直

/

<

/1a

}01-Lm

mua

注：若题目3更证1La,已知fnua且是异面

直线，要证1一般是证所在的平面。

注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直

于底面

②平移法通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行

平移

3、“二作”小结

在，，二作，，中，恰当地“作，，出满足题意的辅助线或辅助面对解题带来很大的便捷.对于一些复杂的题型，

常常需要找到准确的切入点，运用“二作”构造辅助线或辅助面，快速地把立体几何问题转化为平面几何问题,

从而打开证明思路."二作''中常用的"作'’法：中位线、对角线、中线、垂线、过特定点“作”平行线或垂线、构

造辅助平面等.前面“一找”小结中所有的“找”法依据都可以运用.

4、“三证明”

在“三证明''中，要注意规范书写证明过程，做到层次分明.

5、垂直、平行关系的相互转化

第二次

害高频考点

考点一线面平行、垂直基本概念的判断

考点二线面平行关系的证明

考点三面面平行关系的证明

考点四线面平行、面面平行关系的应用

考点五线面垂直关系的证明

考点六线面垂直关系的应用（证线线垂直）

考点七面面垂直关系的证明

考点八面面垂直性质的应用

考点九线面平行与垂直关系的探索性问题

第三看

考点精析

考点一线面平行、垂直基本概念的判断

1.（2023春•福建•高一校联考期中）«,B是两个平面，m,n是两条直线，下列四个命题中正确的是（）

A.若加//〃，nila,则B.若m//a,aH0,则初/月

C.若a//£,mua,nu[3,则加〃/D.若a〃£,m^a,则〃?//户

【答案】D

【分析】根据空间中，直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A：若m/ln,nila,则m//a或故A不正确；

对于B：若m//a,allp,则m〃万或相u4,故B不正确；

对于C：若a〃力，mua,则加〃"或m与"异面，故c错误；

对于D：若a〃6，机u”，根据面面平行的性质定理可得〃?〃户，故D正确.

故选：D.

2.【多选】（2023春•吉林・高一长春吉大附中实验学校校考期中）设有两条不同的直线机、〃和两个不同的

平面a、P,下列命题中错误的命题是（）

A.若m//a,nl/a,贝!|巾//〃

B.若，"ua,〃ua,mlIp,nllp,则a〃/

C.若血/〃，机ua,则〃//a

D.若a〃4，〃zua,则m//£

【答案】ABC

【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判

断C；根据面面平行的性质定理判断D.

【详解】对于A,若m//a,ntla,则加,“可能平行、异面或相交，A错误；

对于B,若〃?ua,〃ua,ml1/3,“〃夕，也〃不一定为相交直线，

只有当八〃为相交直线时，才可得到£///，故B错误；

对于C,当成/〃，“ua时，可能是“ua,推不出一定是〃〃ar,C错误；

对于D,若a〃月，机ua,根据面面平行的性质可知机///，D正确，

故选：ABC

3.（2023春•吉林长春・高一长春市第二中学校考期中）已知白,仅是两个不同的平面，/,“是两条不同

的直线，则下列说法错误的是（）

A.若/_La,mVa,则/〃

B.若〃/a,allp,则/〃〃

C.若〃/a,lu0,a/3=m,则/〃加

D.若/与"，异面，lea,I//P,m<^p,mlla,则a〃夕

【答案】B

【分析】根据直线与平面的位置关系可判断ABC；利用反证法可判断D.

【详解】对于A,根据垂直于同一平面的两条直线平行可知A正确；

对于B,若〃/a,a〃2，则/〃/或/u〃，故B错误；

对于C,根据直线与平面平行的性质定理可知C正确；

对于D,假设aP=n,因为/ua,/〃£,aJ3=n,所以〃/〃，

同理可得相〃”，所以/〃加，这与/与m异面相矛盾，故假设不成立，

则a//〃，故D正确.

n

故选：B

4.（2023春・浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期中）已知不重合的直线I,，“和不重合的平面a,夕，

下列命题正确的是（）

A.若/〃夕，U/p,贝ija〃/?B.若/_La,I,则加〃a

C.若/_La,I.\-P,则a〃尸D.若lua,mca,IH/3,m!!p,则a〃6

【答案】C

【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.

【详解】对于A：若///a,〃/夕，则平面a,尸的位置关系有：平行、相交，故A错误；

对于B：若/_La,Um,则犯。的位置关系有：m//a或机ua,故B错误；

对于C：若/_La,夕，根据线面垂直的性质可知：al1/3,故C正确；

对于D：根据面面平行的判定定理可得：若/，机相交，则a〃一，否则不成立，故D错误.

故选：C.

5.（2023春•浙江宁波•高一余姚中学校考期中）已知“，b为两条不同的直线，a,4为两个不同的平面,

则：

①若a_La,bL（3,且a〃/，则ab.②若4_La,b//p,且a〃/，则。J；

③若a〃£,aua,bu0,则④若a_L（z,bVp,且c_L〃，则。j_1；

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即

可得出结论.

【详解】由且a〃尸，可得匕，a,

而垂直同一个平面的两条直线相互平行，即6,故①正确；

由于a〃夕，a±a,所以aJ■人又因为匕〃夕，所以"力，故②正确;

若a〃夕，aua,bup,则直线a与6平行或异面，故③错误；

设a£=/,在平面/内作直线c」/,

因为a_L£,则c_Lc,又q_L（z,所以aPc,

又因为b，〃,cu/7,所以从而有故④正确；

因此，真命题的个数是3,

故选：B.

考点二线面平行关系的证明

6.（2023春・北京•高一汇文中学校考期中）（1）如图，在三棱柱ABC-AB©中，。是AG的中点.求证:

8G〃平面ABQ：

C

（2）如图，在三棱锥P-A8C中，E为PC的中点，M为AB的中点，点下在E4上，且AF=2fP.求证:

CM//平面应厂.

A

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【分析】（1）运用线线平行证明线面平行即可.

（2）运用面面平行判定定理证得面〃面3EF,再运用面面平行性质可证得结果.

【详解】（1）如图所示，

证明：连接AB交4用于一点G,连接DG,

则G为AB的中点，

乂因为。为AG的中点，

所以。G//8G，

乂因为OGu面ABQ,面ABQ,

所以BG〃面ABQ.

（2）如图所示，

证明：取AF的中点H,连接C”、MH,

又因为E为PC的中点，AF^2PF,M为A8的中点，

所以EF//CH,MH//BF,

又因为EFu面5EF,CHU间BEF,BFu面BEF,MHB面BEF,

所以C”〃面3所，MH〃面BEF,

又因为C”MH=H,CH、面CM”,

所以面CWH〃面BEF，

又因为CMu面CM”,

所以C0〃面8EF.

7.(2023春・吉林・高一校联考期中)如图，四棱柱ABC。-A4GA的底面ABC。是菱形，，平面ABCD,

AB=\,M=2,N84£)=60。，点尸为。2的中点.

(1)求证：直线8R〃平面PAC；

(2)求二面角4-AC-P的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵返

85

【分析】(1)连接交AC于点0,连接P。，根据线面平行的判定定理求解；

(2)连接B7，B0,可证明NBQP为二面角耳-AC-P的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.

【详解】(1)连接BO交AC于点。，连接PO,如图，

则。为3。的中点，

由于P是。2的中点，故PO1/BD,,

POu平面PAC,u平面PAC,

所以〃平面PAC：

(2)连接8/，4。，

因为尸A=PC,。是AC的中点，所以PO1AC,

因为AAJL平面A8CD,所以8耳1平面A3C。，

又ACu平面A8C。，所以B四，AC,

由底面ABC。是菱形，得AC上8D,

又BBqBD=B,BBy,BQu平面8。£(田，所以ACJL平面BDD、B、,

又4。u平面BOQ百，所以B0_LAC,

则NBQP为二面角B.-AC-P的平面角,

时小+出=耍即=卜+(£|=4,4P=VFTF=0，

517.

PQ-+OB;-PB；彳+1［底

由余弦定理可知cos/B0P=

2POOB、.亚历一~^~

2x——x—

22

8.（2022春・广东•高一校联考期中）如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面A8C。为平行四边形，E为棱PC的

中点，平面4/与棱P£）交于点F.

⑴求证：24〃平面5£>E；

（2）求证：尸为阳的中点；

【答案】（1）详见解析；

（2）详见解析；

【分析】（1）连接AC交8。于点G,连接GE,根据A8CD为平行四边形，得到G为AC的中点，再由E

为PC的中点，得到GE//Q4,再利用线面平行的判定定理证明；

（2）先由4?〃8,利用线面平行的判定定理得到C。//平面48EF,再利用线面平行的性质定理得到

CD//EF求解.

【详解】（1）证明：如图所示:

连接AC交B£）于点G,连接GE,

因为A8C。为平行四边形，

所以G为4c的中点，又E为PC的中点，

所以GE〃24,又PA仁平面BDE,GEI平面BDE,

所以PA〃平面也汨；

（2）因为底面ABC。为平行四边形，

所以AB//C。，

又ABu平面A3E尸，CDU平面ABEF,

所以8〃平面又平面ABEFc平面PDC=EF,

所以C。//砂，

又因为E为PC的中点，

所以尸为PE>的中点.

9.（2023春•陕西咸阳•高一统考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCO是矩形，附为点P到平

PM

面ABCQ的距离，AB=4,">=3,科=3,点£、M分别在线段A8、PC上，其中£是A8中点，y=4,

MC

⑴当2=1时，证明：直线用E//平面B4D：

⑵当；1=2时，求三棱锥M-BCD的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.

（2）根据塔PM=2,求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.

MC

【详解】（1）取中点N,连接MN、AN,

.MN是PCD的中位线，；.MNHCD,且MN=；CO,

又AEMCD,且AE=；C£>,.•.四边形AEMN为平行四边形，

：.ME//AN

乂平面出。，47匚平面以力，二%。/平面隙。.

PM

（2）v—=2,尸到平面4BCD的距离为3,.••点M到平面A3。的距离为1,

MC

•,VM-BCD=—x—x4x3xl=2.

32

10.（2023春・天津南开・高一南开中学校考期中）已知点尸为正方形A3CO所在平面外一点,

PMBN5

吁吁PC5-3,M、N分别为抬、上的点，且加=而下

⑴求证：MN//平面PBC；

（2）求线段的长.

【答案】（1）证明见解析

(2)AW=7

【分析】（1）过M作AB的平行线交PB于E,过N作CO的平行线交BCTF,连接EF，证明出四边形MEFN

是平行四边形，可得出ME//NF,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立;

（2）过E作PC的平行线交BC于G,计算出EG、FG的长以及/或近的值，利用余弦定理可求得EF,

即可得出MN的长.

【详解】（1）证明：过M作A8的平行线交PB于E,过N作CD的平行线交BC于F,连接EF,

因为PM:M4=BN:N£>=5:8,所以，ME:AB=NF:CD=5:T3,

因为四边形ABCD是正方形，则45=8,所以，ME=NF,

因为ME〃A8,NF//CD.AB//CD,所以，ME/INF.

所以，四边形ME/W是平行四边形，则MN//£F,

因为MNu平面PBC,EFu平面PBC,所以，MN〃平面PBC.

（2）解：过E作PC的平行线交3C于G,

因为PM:MA=BN:ND=5:8,PB=BC=13,旦ME//AB,NF//CD,

PEPM5

所以，出=等="，则PE=5,同理可得BF=5,

PBrA13

因为EG//PC,所以，器=《|=磊，则CG=5,

所以，BG=8C-CG=13—5=8,则EG=BG—BF=3,

由黑=黑=2且PC=13可得EG=8，

因为尸3=PC=3C=13,则.PBC为等边三角形，贝1"反/=/尸。3=60,

由余弦定理得EF?=EG?+FG2—2EG-FG-COSNEGF=8?+3?-2x8x3x4=49,

2

所以，EF=1,故MN=EF=1.

H.（2023春・浙江•高一期中）三棱柱ABC-A4G的棱长都为2,。和E分别是和AG的中点.

⑴求证：直线DE〃平面ABG；

⑵若ZAAC=60。，点B到平面4CGA的距离为6,求三棱锥。-4BC；的体积.

【答案】（1）证明见解析

【分析X1）法一,根据中位线可得线线平行,证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明DE//HG,

即可得证；

（2）根据线面平行可得力=，由等体积法求解.

【详解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，AB//A4,取B,G中点尸，连接。REF,

v。和E分别是BB、和AG的中点,

;.DF//BC、,EFUA、B\,.-.EF//AB,

又。尸＜2面ABC-BRU面ABC-且砂（Z面A8G，43u面ABC一

OF〃面ABCt,EF〃面ABC,,又DFEF=F,DE,EFu面DEF,

：.面O£F//平面ABC-而DEu面DEF,故直线QE〃平面ABC,.

法二，连接CE交AG于点G,连接CO交Bq于点H,连接"G,如图,

在三棱柱A8C-ABC中，\CJ!AC,BB.//CC,,

.EGEC,1DH8)=1

•'GC=AC=2'~HC~~CC~V

，粤=埋，则DE//"G，又OE(Z面ABC-"GU面48G，

GCHC

，直线OE〃平面ABC一

（2）如图，

•••直线QE//平面ABC-

VD-ABG=又AC=60°,

所以平行四边形ACC/边AC上的高厅=2sin60。=百，

由8到面ACCM的高％=6，则%-Ag=%一入田=gs烟4=gx；xlx6x6=；.

12.（2023春•广东深圳•高一红岭中学校考期中）如图，在三棱锥P-ABC中，ABC是正三角形，PAL平

PFPFAD

面ABC,D,E,F分别为PAP8,PC上的点，且兰=芸=黑=：1.已知AB=6,AP=9.

PBPCAP3

P

（1）设平面OEFc平面A8C=/,证明：/，平面PBC；

（2）求五面体DEF-ABC的体积.

【答案】（1）见解析；

（2）2573.

【分析】（1）首先证明跖〃3C,则有EF〃平面ABC,再根据线面平行的性质定理得到班7〃，则得到线

面平行；

12

（2）根据相似得S阳=§S.，则%一阳=为3则%树=27®

PEPF

【详解】（1）因为工=大，所以£F〃BC,

因为8Cu平面ABC,EF<£平面ABC,

所以E尸〃平面48C,

又平面DEFC平面ABC=/,EFu平面DEF,所以EFUL

又EFu平面PBC,/《平面PBC,所以III平面PBC,

，八h4PEPFAD1.1

(2)因为证=/=”=Q，所rrH1以c=^Scme

222

所以七-PEF=§^A-PEF=^A-PBC=^P-ABC

25

所以五面体DEF-ABC的体积V=VP_ABC-VD_PEF=—VP.ABC

因为％-板=9,6~**9=276,所以丫=256

考点三面面平行关系的证明

13.(2023春•山东临沂•高一校考期中)如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是A8,

PC的中点.

(1)求证：MN〃平面PA。；

(2)若尸8中点为。，求证：平面MVQ〃平面PAO.

(3)若B4_L平面ABC。，AB=PA=2,求直线尸8与面PAD所成的角.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)45°

【分析】(1)取PZ)的中点E,连接AE,NE,即可证明四边形AMNE为平行四边形，所以MW/A£,从

而得证；

(2)依题意可得MQ〃AP即可得到MQ〃平面PAD,再结合(1)的结论，即可得证；

(3)依题意可得平面R4D_L平面ABC。，由面面垂直的性质得到AB上平面R4Z),则NBR4即为直线PB与

面PAD所成的角，再根据边长的关系得解.

【详解】(1)取PD的中点E,连接AE,NE,

因为N是PC的中点，所以NE〃DCdNE=[DC,

2

乂〃是A8的中点，ABC。是正方形，所以AM〃0C且AM='A8=,£>C,

22

所以NE//AM且NE=AM,

所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AE,

又MNU平面PAD，AEu平面丛。，所以MN〃平面PAD.

（2）因为。为尸8的中点，M是AB的中点

所以MQ//AP,又MQ<Z平面外£>,APu平面E4D,所以〃。〃平面R4D,

又MN〃平面PAD,MQcMN=M,MQ,MNu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面玄。.

（3）因为PA_L平面ABC。，R4u平面PAD,所以平面24£>"L平面ABC。，

又ABC。为正方形，所以AB_LAD,A8u平面ABC。，平面P4Z）c平面ABCO=AD,

所以AB2平面PAD，

所以N8孙即为直线P8与面尸A£>所成的角，又相=%=2,所以人为等腰宜角三角形,

所以N8"=45°,

即直线PB与面PAD所成的角为45。.

14.（2022秋•陕西渭南•高一统考期末）如图，在三棱柱ABC-A^G中，D,E,F分别为BC,AC，AG的中

⑴44//平面。田；

⑵平面45尸//平面。EC；.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得4片〃平面DEC1；

（2）根据面面平行的判定定理证得平面4BF〃平面DEG.

【详解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，RE分别为BC,AC的中点，

DEI/AB,AB"AB',;.DEHA.B,,

DEu平面DEC,,Ag①平面DEC,,

.•.4与〃平面。石。.

（2）.AB//DE,AB平面DEC、,DE0平面DEC、,

：.A3〃平面。Eq.

F,E分别为AG，AC的中点，AG〃AC，

:.FCt//AE,且FC|=AE.

四边形FCEA是平行四边形.

AF//EQ.

乂EC,G平面DEC,,AF<z平面DEC,,

AF〃平面DEC.

又AB,AFu平面ABF,ABcAF=A,

平面4BF〃平面。E£.

15.（2023春•江苏盐城・高一江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱ABC-的所有棱长都等于2,

E,F,G分别为BC，同与，AB的中点.

（1）求证：平面AGG〃平面BEF；

（2）求CQ与平面BCC百所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵叵

14

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面AGG〃平面8EF；

（2）先依据线面角定义作出£G与平面BCC出所成角，进而求得其正弦值.

【详解】（1）,E,尸分别为耳£,44的中点，；.EF〃AG，

AGu平面AGG,即《平面466,；.所〃平面4。。，

又尸,G分别为分用,AB的中点，・•.A尸=BG,

又A尸〃8G,.•.四边形AG8F为平行四边形，则8尸〃AG,

A,Gu平面ARG,8尸＜z平面ARG,

8尸〃平面AGG,

又EFBF=F,EF,BFu平面BEF,

二平面AGG〃平面BEF.

（2）在平面ABC内，过点G作GH，BC,垂足为“，连接G”.

•.•正三棱柱ABC-姬£,

;.CG_L平面48c.乂G"i平面ABC,，CG_LG”.

又BCcCC、=C,BC,CGu平面BCC4，.•.G〃J_平面BCGA.

NGC\H即为GG与平面BCCtBt所成的角.

•.正三棱柱ABC-48IG的所有棱长为2,G为A3中点，

;.BG=1,NGBH=60°,

又NBHG=9Q°,：.BH=[GH=—.

22

3

xCC,±BC,CH=j,CC,=2

2

:.C}H=yjCH+CC；

又GHLQH,

22

:.Cfi=4GH+C,H==y/1，

B

GH为亚,

sinNGC[H=

故GG与平面BCG4所成角的正弦值为叵.

14

16.（2023春•河南洛阳•高一统考期中）如图所示，在三棱柱ABC-A8G中，E,F,G,H分别是AB,AC,

AG，4耳的中点，求证:

B

(l)BCJ/平面AEF；

(2)平面\EFII平面BCGH.

【答案】⑴证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）先证明EF〃平面BCGH,再证明4尸〃平面8CG”,根据面面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】（1）证明：♦..瓦尸分别是AB,AC的中点，

•*.EF//BC.

又在三棱柱ABC-A4G中，BC〃B\G,

所以B£〃EF.

又用Ga平面AEF,EFu平面AEF,

所以6G〃平面AEE

（2）证明：由（1）知EF〃BC,平面BCGH,BCu平面BCGH,

，砂〃平面BCG”,

又•:EG分别为AC,4G中点，

故尸C=；AC,AG=；AG，

又AC//AG，AC=FC//AG,FC=\G,

四边形FCGA］为平行四边形，

Z.\F//GC,

又AF<Z平面BCGH,GCu平面BCGH,

A/〃平面BCG”，

又AFp收=F,AF,EFu平面&EF,

平面AW”平面8CG”.

考点四线面平行、面面平行关系的应用

17.（2023春・北京•高一北京市第一六六中学校考期中）如图，在正方体AB8-AAG。中，E为BB，中

点，4G与平面ARE交于点尸.

（1）求证：BCJ/面A*；

（2）求证：F为8c的中点.

【答案】（1）证明见解析.

（2）证明见解析.

【分析】（1）证明A〃//BG，然后由线面平行的判定定理得证；

（2）由线面平行的性质定理得线线平行，从而可证得结论成立.

【详解】（1）因为A3与GR平行且相等，所以ABG"是平行四边形，所以AR//8C，

乂4〃u平面ARE,8^0平面AQE,

所以BG〃平面ARE；

（2）由（1）8CJ/平面ARE,BGu平面BCG4，平面1平面BCCg=",

所以BCJ/EF，又E是中点,

所以F是qG中点.

18.（2023春♦福建•高一校联考期中）如图，在三棱台£＞七万一ABC中，AB=BC=CA=2DF=2,FC=\,

NACF=NBCF=90,G为线段AC中点，，为线段5c上的点，BD"平面FGH.

D

（1）求证：点”为线段8c的中点；

（2）求三棱台DEF-ABC的表面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵述+迈+3

44

【分析】（1）连接CO,设C£＞cFG=O,由比＞//平面FG",证得BD//HO,结合。是以»的中点，得

到点”是BC的中点；

（2）根据题意，先求得上下底面正三角形的面积分别5°砂=3和5板=6,再结合侧面4DFC和侧面

3

"TB均为直角梯形，求得面积为51=万，由侧面AOEB为等腰梯形，过点E作区求得的长，

得到侧面ABED的面积为52=空，即可求解.

4

【详解】（1）连接CO,设CDcFG=O,连接H。、DG,

因为8。〃平面FG",比＞u平面CB。，且平面C3。c平面尸G”="O,

所以BD//HO,

又因为四边形QFCG是正方形，且。是CD的中点，所以点，是3c的中点.

（2）:.棱台DEF—ABC中，

因为AB=BC=C4,所以“WC为等边三角形，

所以所也为等边三角形，且EF=DE=DF=1,

&

上底面防为等边三角形，其边长为1,可得面积为S4-XDE2=—,

4

亘

卜底面A3c为等边三角形，其边长为2,可得面枳为S4XAB2=J3,

又因为NAC尸=N8CF=90，所以侧面4OFC和侧面EFCB均为直角梯形，且FC=1,

13

其面积均为S,=「xa+2）xl=W，

22

侧面43EB为等腰梯形，其中。E=1,AB=2,且AD=BE=。BH?+EH?=五,

_V7

过点E作垂足为M,可得EM=1BE2-BM?=

-2

所以侧面他££＞的面积为&=gx（l+2）x#=乎,

33775百3百

—I----=----1----

2444

19.（2023春・浙江•高一台州市书生中学校联考期中）如图所求，四棱锥P-ABC。，底面A3CD为平行四

⑵已知”点在加上满足EC〃平面求证的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）连结AC交80于。，连结OF,通过证明PC〃。凡可证PC//平面BFD：

（2）如图连结交AD延长线于G,连结BG交CD于N,连结£尸，FN,PG,EN.

山EC//平面屏”，可得N为CD中点，后通过证明EN//FD//BG,可得GMP,继而可得答案.

【详解】（1）证明：连结AC交5。于。，连结。尸，

因在△R4C中，E为以中点，。为AC中点，则尸C//尸。.

又PCs平面8尸£）,FOu平面3皿，故PC//平面B/D；

p

M

3D

8匕

(2)如图连结尸/W交AO延长线于G,连结BG交CDTN,

连结EF,FN,PG,EN.

因EF//CN,则E,忆N,C四点共面.

又EC//平面3RW,平面BFMc平面EFNC=FN,

则EC〃/W,四边形EFNC为平行四边形，可得EF=CN=gcDnN为CO中点.

则.BCN三GDN,N为BG中点.

即EN为△PBG中位线，则ENIIPG,EN=-PG.

2

又EF=DN,EFUDN,则四边形EFDN为平行四边形，EN//FD.

从而FD//PG,FMDGMP=珠喟喟八

20.(2023春・陕西西安•高一交大附中校考期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB=\,CD=3,

AP=2,DP=2^3,ZPAD=60,ABI平面PAD,点M是棱PC上的动点.

c

(1)证明：AP_LDM；

PM

(2)设正=2,求当AP//平面8ZW时；l的值.

【答案】(1)证明见解析

吟

【分析】(1)根据AB1平面PAQ和A8〃C£>推出CDL4P,根据余弦定理计算推出赫，PD,根据线面

垂直的判定定理得到AP1平面PCD,从而可得API.DM.

(2)连AC,BD交于点N,连MN,根据线面平行的性质定理推出"〃MN,再根据三角形相似可求出

结果.

【详解】(1)证明：由于A3J,平面R4D且A3〃C£),

所以C£)_L平面PAO,乂APu平面PAD,所以C£>_LAP.

由PD2=AP2+AD'-2AP-ADcosZPAD，

得12=4+AZ)2-2x2-A£)xg