2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版阶段滚动检测（一）含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版阶段滚动检测（一）阶段滚动检测(一)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·西安模拟)已知集合A={x|y=log2(x-2)},B={x|2x-2≥0},则(RA)∩B=()A.(0,1) B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]【解析】选D.A={x|x>2},RA={x|x≤2},B={x|2x-2≥0}⇒{x|x≥1},所以(RA)∩B=[1,2].2.函数y=23x3+1在xA.π6 B.π3 C.2π3 【解析】选B.由题意可得:y=23x3+1=23x32+1,则y'=x,可得所以函数y=23x3+1在x=3处的切线的斜率为33.函数y=(2x+2-x)·lnx2的图象大致为()【解析】选B.设f(x)=(2x+2-x)·lnx2,f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(2-x+2x)·lnx2=f(x),所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以D选项错误;f(1)=0,所以C选项错误;当x>1时,f(x)>0,所以A选项错误.4.(2024·新余模拟)已知函数y=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且A点在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则2m+(2)n的最小值是()A.42 B.22 C.2 D.2【解析】选B.当x=2时,loga(x-1)+2=2,故函数y=loga(x-1)+2的图象恒过定点A(2,2),由点A(2,2)在直线mx-y+n=0上,则2m+n=2,故2m+(2)n=2m+2n2≥22m当且仅当m=n2=12时等号成立,故2m+(2)n的最小值是25.(2024·泉州模拟)若函数f(x)=log12(xA.(-∞,14] B.(0,1C.(-12,12] D.(0,【解析】选B.当x≥1时,f(x)=1-31-x在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)∈[0,1),无最大值;又因为y=x2+2a在(-∞,0]上单调递减,在[0,1)上单调递增,故f(x)=log12(x2+2所以当x<1时,f(x)max=f(0)=log12(2结合题意可得log12(2解得0<2a≤12,所以0<a≤1即实数a的取值范围为(0,146.已知过点A(0,b)作曲线y=lnxx的切线有且仅有两条,则b的取值范围为(A.(0,1e) B.(0,2e) C.(0,e) D.(0,【解析】选D.设切点为(x0,y0),由题意得y'=1-lnxx2,所以k=1-lnx0令函数f(x)=2lnx-1x,则f'(当0<x<e32时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,当x>e32时,f'(x)<0,所以f(x)在[e32,+∞)上单调递减,且f(x)>0.f(x)max=f(e32)=2e7.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>0在定义域上恒成立,则a的取值范围是()A.(1e,+∞) B.C.(e,+∞) D.(12【解题指南】由f(x)>0得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),求出g【解析】选A.f(x)=ax-lnx的定义域为(0,+∞),由f(x)>0在定义域上恒成立,得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),g'(令g'(x)=0得x=e,x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,所以a>1【加练备选】已知函数f(x)=lnx-(x-a)2(a∈R)在区间[1,+∞)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是()A.[12,+∞) B.(1C.[1,+∞) D.(1,+∞)【解题指南】分析可知,存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,由参变量分离法可得a>x-12x,求出函数g(x)=x-12x【解析】选B.因为f(x)=lnx-(x-a)2(a∈R),则f'(x)=1x-2x+2a,因为函数f(x)在区间[1,+∞)上存在单调递增区间,则存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,即1x-2x+2a>0,可得a>x-12x,设g(x)=因为函数y=x,y=-12x在[1,+∞)上均为增函数,则函数g(当x≥1时,g(x)min=g(1)=1-12=12,故a>8.(2024·长春模拟)已知a=sin13,b=13cos13,c=ln3A.c<a<b B.c<b<aC.b<c<a D.b<a<c【解析】选D.设f(x)=sinx-xcosx,x∈(0,π2),则f'(x)=xsinx,在x∈(0,π2)时,f'(所以f(x)在(0,π2所以f(x)>f(0)=0,则f(13)=sin13-13即sin13>13cos13,则a设g(x)=lnx+1x,则g'(x)=x-1则当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减,则当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增,所以g(32)=ln32+23则ln32>1设h(x)=x-sinx,x∈(0,π2),则h'(x)=1-cosx所以h(x)在(0,π2则h(13)=13-sin13即13>sin13,则ln32>sin13,所以c>a,所以c二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.关于函数y=lg(21-xA.定义域为(-1,1)B.图象关于y轴对称C.图象关于原点对称D.在(0,1)上单调递增【解析】选ACD.因为f(x)=lg(21-x-1)=lg(1+x1-x),所以1+x1-x>0⇒x+1x-1<0⇒-1<x<1,所以定义域为(-1,1),故A正确;因为f(-x)=lg(1-x1+xlgx在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg(21-10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lgAmaxA0(其中常数A0是距震中100千米处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100千米处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:焦耳)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M是()A.若地震震级M增加1级,则最大振幅Amax增加到原来的10倍B.若地震震级M增加1级,则放出的能量E增加到原来的10倍C.若最大振幅Amax增加到原来的10倍,则放出的能量E增加到原来的1010倍D.若最大振幅Amax增加到原来的10倍,则放出的能量E增加到原来的1000倍【解析】选AC.因为M'=lgA'maxA0=M+1=1+lgAmaxA0=lg10因为E'=104.8×101.5M'=104.8×101.5(M+1)=104.8×101.5M+1.5=101.5E,所以B错误;因为M'=lg10AmaxA0=M+1,所以E'=104.8×101.5M'=104.8×101=104.8×101.5M+1.5=101.5E=1010E,所以C正确,D错误.11.(2024·南京模拟)已知函数f(x)=x2ex-a,x∈A.2是函数f(x)的极小值点B.当x=0时,函数f(x)取得最小值C.当a=4e2时,函数f(D.若函数f(x)有1个零点,则a>4e2或【解析】选BCD.对A,由题意f'(x)=2xex-exx2e2x=x(2-x)ex,x∈R,所以当x<0或x>2时,f'(x)<0,此时对B,由A知f(x)极小值=f(0)=-a,且当x→+∞时,f(x)→-a,且大于-a,则当x=0时,函数f(x)取得最小值,故B正确;对于C,若a=4e2,则令f(x)=x2ex-4e2=0,即x2e则h'(x)=x(2-x)ex,所以当x<0或x>2时,h'当0<x<2时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增,则h(x)极小值=h(0)=0,h(x)极大值=h(2)=4e2,且当x→+∞,h(x)→0,且大于0,作出函数图象如图所示,则直线y=4e2与函数h(x)有两个交点,则当a=4e对于D,若函数f(x)有1个零点,即方程a=x2ex有一个根,则转化为直线y=a与h(x)=x2ex的图象只有一个交点,由图可知,若函数f(x)有1个零点,则a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·宝鸡模拟)曲线f(x)=ln(5x+2)在点(-15,0)处的切线方程为__________答案:y=5x+1【解析】f(x)=ln(5x+2)的导数为f'(x)=55可得曲线f(x)=ln(5x+2)在点(-15,0)处的切线斜率为k则切线的方程为y=5(x+15),即y=5x+1【加练备选】已知a,b为正实数,函数f(x)=ax-bx在P(1,f(1))处的切线斜率为2,则1a+3b答案:2+3【解析】由题意得f'(x)=a+bx2,则f'(1)=a+b=2,因为a,b为正实数,则1a+3b=12(1a+3b)(a+b)=12(4+ba+3ab)≥13.已知函数f(x)=b+2a-12x-a(a答案:3【解析】由于函数的定义域满足2x-a≠0⇒x≠log2a,故定义域为xx根据奇函数的定义域关于原点对称可知log2a=0⇒a=1,所以f(x)=b+12f(-x)=b+12-x-1所以f(-x)+f(x)=b+12x-1+b+2x1-2x=0故a+b=3214.(2024·恩施模拟)已知函数f(x)=|x2-2x-3|,x>-2,x+6,x≤-2,存在直线y=m与f(x)的图象有4个交点,则m=________;若存在实数x1<x2<x3<=f(x4)=f(x5),则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是________.

【解题指南】画出分段函数的图象,利用数形结合的思想求m,再根据二次函数的性质及-6<x1<-2求出x1+x2+x3+x4+x5的取值范围.答案:4(-2,2)【解析】作出f(x)=|x因为直线y=m与f(x)的图象有4个交点,所以m=4;记f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=k,则直线y=k与f(x)的图象有5个交点,x1<x2<x3<x4<x5,如图所示:由图可知,-6<x1<-2,由二次函数的对称关系可得,x3+x4=x2+x5=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=x1+4∈(-2,2),即x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是(-2,2).四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2+x的一个极值点为1.(1)求a;【解析】(1)因为f(x)=x3-ax2+x,所以f'(x)=3x2-2ax+1.因为f(x)的一个极值点为1,所以f'(1)=3-2a+1=0,所以a=2.因为f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),当13<x<1时,f'(x)<0;当x<13或x>1时,f'(所以f(x)在(13,1)上单调递减,在(-∞,1所以f(x)的极小值点为1,符合题意.故a=2.(2)若过原点作直线与曲线y=f(x)相切,求切线方程.【解析】(2)设切点为(x0,f(x0)),则f(x0)=x03-2x02+x0,f'(x0)=3x所以切线方程为y-(x03-2x02+x0)=(3x02-4x0+1)(将点(0,0)代入得-(x03-2x02+x0)=(3x02-4整理得x02(x0-1)=0,所以x0=0或x0当x0=0时,切线方程为y=x;当x0=1时,切线方程为y=0.【解题指南】(1)求出函数的导数f'(x),由f'(1)=0求出a值,再验证作答;(2)设出切点坐标,利用导数的几何意义求出切线方程,结合已知求出切点坐标作答.16.(15分)(2024·合肥模拟)已知函数f(x)=2a4(1)求实数a的值并判断函数单调性(无需证明);【解析】(1)因为f(x)=2a4x+1-1是奇函数,所以当a=1时,f(x)=24x+1又f(-x)=1-4-x4-x+1=4x-14x+1=-f(x(2)若不等式f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0在R上恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(2)f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0等价于f(4x+1)<-f(t-2·2x+5),即f(4x+1)<f(-t+2·2x-5);因为f(x)为减函数,所以4x+1>-t+2·2x-5,即4x-2·2x+6>-t;令m=2x>0,则上式化为m2-2m+6>-t,即(m-1)2+5>-t,所以t>-5.故实数t的取值范围为(-5,+∞).17.(15分)设函数f(x)=xekx(k(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;【解析】(1)f'(x)=ekx-kxekxe2所以所求切线方程为y=x;(2)求函数f(x)的单调区间;【解析】(2)f'(x)=1-当k>0,x<1k时,f'(x)>0,f(xx>1k时,f'(x)<0,f(x当k<0,x<1k时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x>1k时,f'(x)>0,f(所以当k>0时,单调递增区间是(-∞,1k),单调递减区间是(1当k<0时,单调递减区间是(-∞,1k),单调递增区间是(1(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.【解析】(3)由(2)知,当k>0时,1k≥1,即0<k当k<0时,1k≤-1,即-1≤k所以k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].【解题指南】(1)求出导函数f'(x),求得f'(0)得切线斜率,再求出函数值f(0)后可得切线方程;(2)分类讨论确定f'(x)>0和f'(x)<0的解,得单调区间;(3)由(2)中单调递增区间得关于k的不等式,从而求得其范围.18.(17分)已知函数f(x)=12x2-3ax+2a2lnx,a≠0(1)讨论f(x)的单调区间;【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x若a>0,当x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(a,2a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.若a<0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,a),(2a,+∞),单调递减区间为(a,2a);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.(2)若f(x)有3个零点,求a的取值范围.【解析】(2)因为f(x)有3个零点,所以a>0,又f(x)的单调递增区间为(0,a),(2a,+∞),单调递减区间为(a,2a),所以f(a)=-52a2+2a2lna>0,f(2a)=-4a2+2a2ln(2a解得e54<a<此时f(1)=12-3a<0,f(6a)=2a2ln6a故函数f(x)在区间(1,a),(a,2a),(2a,6a)上各有一个零点,即函数f(x)在区间(0,a),(a,2a),(2a,+∞)上各有一个零点,满足要求,所以a的取值范围为(e54,e【解题指南】(1)先求出函数的定义域,从而根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数符号在不同区间上的取值,根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间.(2)由条件,根据函数的单调性结合零点存在性定理可求a的取值范围.【方法技巧】导函数中两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.19.(17分)(2024·许昌模拟)已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R),g(x)=ex-x(其中e为自然对数的底数).(1)若函数f(x)的图象与x轴相切,求a的值;【解析】(1)若a=0,则函数f(x)=2x,不符合题意,所以a≠0;因为f(x)=2x+alnx(a∈R),则f'(x)=2+ax,设切点坐标为(x0则f'(x0)=2+ax0=0,解得x0=-且f(-a2)=-a+aln(-a整理可得ln(-a2可得-a2=e,解得a=-2e(2)设a>0,∀x1,x2∈[2,4](x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|,求实数a的取值范围.【解析】(2)因为a>0,则f'(x)=2+ax>0对任意的x∈[2,4]恒成立,所以函数f(x因为g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1>0对任意的x∈[2,4]恒成立,则函数g(x)在[2,4]上单调递增,不妨设2≤x1<x2≤4,由|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|可得f(x2)-f(x1)<g(x2)-g(x1),即f(x2)-g(x2)<f(x1)-g(x1).记h(x)=f(x)-g(x)=3x+alnx-ex,则h(x1)>h(x2),则函数h(x)在[2,4]上单调递减,h'(x)=3+ax-ex≤0在[2,4]上恒成立,则对任意的x∈a≤xex-3x,令p(x)=xex-3x,其中x∈[2,4],则p'(x)=(x+1)ex-3,令q(x)=(x+1)ex-3,其中x∈[2,4],则q'(x)=(x+2)ex>0对任意的x∈[2,4]恒成立,所以函数p'(x)在区间[2,4]上单调递增,则p'(x)≥p'(2)=3e2-3>0,所以函数p(x)在[2,4]上单调递增,则a≤p(x)min=p(2)=2e2-6,又因为a>0,则实数a的取值范围是(0,2e2-6].【方法技巧】利用函数的单调性求参数,可按照以下原则进行:(1)函数f(x)在区间D上单调递增⇔f'(x)≥0在区间D上恒成立;(2)函数f(x)在区间D上单调递减⇔f'(x)≤0在区间D上恒成立;(3)函数f(x)在区间D上不单调⇔f'(x)在区间D上存在异号零点;(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇔∃x∈D,使得f'(x)>0成立;(5)函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇔∃x∈D,使得f'(x)<0成立.阶段滚动检测(二)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·郑州模拟)已知i为虚数单位,复数z满足zi-i=z+1,则|z+1|=()A.2 B.1 C.5 D.2【解析】选A.因为zi-i=z+1,则-z(1-i)=1+i,所以z=-1+i1-i故|z+1|=|1-i|=12+(-12.(2023·北京模拟)在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC一定是()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【解析】选D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2b×a2+b2-c22ab⇒a2=a2+b2-c2⇒3.(2023·襄阳模拟)设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是()A.5π B.9π C.16π D.25π【解析】选C.满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示:所以,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.4.(2024·江西模拟)已知向量a=(log23,sin4π3),b=(log38,m),若a⊥b,则m=(A.-23 B.-3 C.23 D.32【解析】选C.因为a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin4π3所以log28-32m=0,所以m=23【加练备选】(2024·咸阳模拟)已知向量a=(1,-1),b=(m,2),若(a+b)∥a,则2a·b=()A.-8 B.-7 C.7 D.8【解析】选A.由向量a=(1,-1),b=(m,2),得a+b=(m+1,1),由(a+b)∥a,得(m+1)+1=0,解得m=-2,于是b=(-2,2),所以2a·b=2×(-2-2)=-8.5.(2024·西安模拟)已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2a-b|不超过3,则m的取值范围为()A.[-3,3] B.[-5,5]C.[-3,3] D.[-5,5]【解析】选B.由题意知,2a-b=(-2,-m),所以|2a-b|=4+m2≤3,得4+m即m2≤5,解得-5≤m≤5,即实数m的取值范围为[-5,5].6.将函数y=sin(2x-φ)的图象沿x轴向右平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可为(A.-π4 B.π4 C.π2 【解析】选B.将函数y=sin(2x-φ)的图象沿x轴向右平移π8得到y=sin[2(x-π8)-φ]=sin(2x-π4-φ),若此时函数为偶函数的图象,则-π4-φ=kπ+π2,k∈Z,得φ=-kπ-3π4,k∈Z,当k=-1时,φ7.已知向量a=(1,3),a+b=(-1,7),则向量a在向量b方向上的投影向量为()A.(-15,25) C.(-5,25) D.(15,-2【解析】选B.由题知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a·b=-2+12=10.又|b|=4+16=25,所以向量a在向量b方向上的投影向量为(-1,2).8.(2024·贵州联考)如图,甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区,是该市的标志性建筑之一.甲秀楼上下三层,白石为栏,层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度,选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°,则甲秀楼的高度约为(参考数据:tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)()A.20m B.21m C.22m D.23m【解析】选C.由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,所以∠CBD=127°,又因为CD=11.2m,由正弦定理CDsin∠CBD=可得11.2sin127°=又因为∠ACB=72.4°,所以AB=BCtan∠ACB≈7×3.15≈22(m).二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2023·长沙模拟)已知复数z的共轭复数为z,则下列说法正确的是()A.z2=|z|2B.z+z一定是实数C.若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1·z2=0D.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数【解析】选BD.当复数z=i时,z2=-1,|z|2=1,故A错;设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,所以z+z=2a∈R,故B对;设z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),由|z1+z2|=|z1-z2|可得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+b1a2)i=2a1a2+(a1b2+b1a2)i,不一定为0,故C错;设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi为纯虚数.所以a2-b210.(2024·潍坊模拟)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,则下列选项正确的是()A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底B.m<3是a=(-1,3)与c=(m,1)夹角是锐角的充要条件C.向量a与向量b的夹角是45°D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(-1,3)【解析】选AC.因为a=(-1,3),b=(x,2),所以a-2b=(-1-2x,-1),则(a-2b)·a=1+2x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共线,故A正确;当a,c平行时,可得-1×1-3×m=0,解得m=-13由cos<a,b>=a·b|a||b|因为0°≤<a,b>≤180°,故向量a与向量b的夹角是45°,所以C正确;向量b在向量a上的投影向量为a·b|a|·a|a|=511.(2024·大连模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB+bsinA=c,a=210,a2+b2-c2=absinC,则()A.tanC=2 B.A=πC.b=62 D.△ABC的面积为122【解析】选AC.由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC=absinC,解得tanC=2,故A正确;由acosB+bsinA=c及正弦定理,可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B),化简可得sinBsinA=cosAsinB.因为B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinA=cosA,即tanA=1.因为A∈(0,π),所以A=π4因为tanC=2,所以cosC>0且sinC=2cosC,代入sin2C+cos2C=1,可得5cos2C=1,解得cosC=55,sinC=2因为a=210,A=π4,sinC=2所以由正弦定理可得c=asinCsin由a2+b2-c2=absinC,可得(210)2+b2-82=210b×25化简可得b2-42b-24=0,解得b=62或b=-22(舍去),故C正确;S△ABC=12bcsinA=12×62×8×2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若复数z满足|z|=1,则|z2+(1-i)z|(i为虚数单位)的最小值为________.

答案:2-1【解析】因为|z|=1,所以z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心,以1为半径的圆,又因为|z1z2|=|z1||z2|,所以|z2+(1-i)z|=|z||z+1-i|=|z+1-i|=|z-(-1+i)|的几何意义为圆上的点到P(-1,1)的距离,如图,所以|z2+(1-i)z|=|z-(-1+i)|的最小值为|OP|-1=(-1)2+13.(2023·镇江模拟)在△ABC中,AB=3AD,点E是CD的中点.若存在实数λ,μ使得=λ+,则λ+μ=__________(请用数字作答).

答案:2【解析】因为E是CD的中点,所以=+=+12=+12(-)=12(+),因为AB=3AD,所以=13,所以=16+12,所以λ=16,μ=12,即λ+μ=16+1214.(2024·天津模拟)在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,=2,=λ(λ>0),=2,且||=72,则λ=________;·的值为________.

答案:32-【解析】因为=2,=λ(λ>0),=2,所以=12(+)=12(12+λ)=14+12λ,又||=72,在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,所以·=||·||cos∠BAC=2×2×(-12)=-2,=(14)2+λ4·+(λ2)2=14-λ2+λ2=即2λ2-λ-3=0,解得λ=32或λ故λ的值为32又=+=-+λ,=+=-+12,·=(-+λ)·(-+12)=(1+λ2)·-12()2-λ()2=(1+λ2)(-2)-2-4λ=-4-5λ=-232,故·的值为-232.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2023·长春模拟)已知复数z=(m2-1)+(m2-m-2)i,m∈R.(1)若z是纯虚数,求m的值;【解析】(1)若z是纯虚数,则m2所以m=1,则m的值为1;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,求m的值;【解析】(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,则m2-1-(m2-m-2)+1=0,解得m=-2;(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围.【解析】(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,则m2所以1<m<2,则m的取值范围为(1,2).16.(15分)(2023·洛阳模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-2).(1)求|a-b|;【解析】(1)由题知,a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),所以|a-b|=4+16=25.(2)已知|c|=10,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角.【解析】(2)由题知,a=(1,2),|c|=10,(2a+c)⊥c,所以|a|=5,(2a+c)·c=0,所以2a·c+c2=0,所以2|a||c|cos<a,c>+|c|2=0,所以2×5×10×cos<a,c>+10=0,所以cos<a,c>=-22因为<a,c>∈0,π,所以向量a与向量c的夹角为17.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)证明:a2-b2=bc;【解析】(1)因为sinB+sinC