2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版二十八 平面向量的概念及其运算含答案

9版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版二十八平面向量的概念及其运算二十八平面向量的概念及其运算(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为中心,则下列错误的是 ()A.AB=OC B.AB∥DEC.|AD|=|BE| D.AD=FC【解析】选D.对于A,由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形,故AB=OC,故A正确.对于B,因为AB∥DE,故AB∥DE,故B正确.对于C,由正六边形的性质可得|AD|=|BE|,故|AD|=|BE|,故C正确.对于D,因为AD,FC交于O,故AD=FC不成立,故D错误.2.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中不正确的是 ()A.a与λ2a的方向相同B.a与-λa的方向相反C.λa=λaD.-λa=-λ【解析】选BCD.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同,故A选项正确;当λ<0时,a与-λa的方向相同,故B选项错误;当λ<0时,λa<0,故C选项错误;当λ>0时,-λa<0,故D选项错误.3.(5分)(2023·汕头模拟)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD= (A.23a+13b B.13aC.13a-23b D.23a【解析】选A.AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC4.(5分)(2023·盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,则m+n=1.5.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则 ()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选A.因为AC=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形,又|AB+AD|=|AB-AD|,所以|AC|=|DB|,即对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是 ()A.AB+AC=2ADB.AG=13ABC.S△ABC=3S△GBCD.AG=13AB【解析】选ABC.对于A,由D为BC的中点,则AB+AC=2AD,故A正确;对于B,D,由AG=2GD,则AG=23AD=23(12AB+12对于C,如图,AF⊥BC,GE⊥BC,由AG=2GD,则ADGD=31,由AF⊥BC,GE⊥BC,则△AFD∽△即AFGE=ADGD=31,S△ABCS7.(5分)(2023·上海浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为__________.

【解析】由题意BD=BC+CD=2a-b,因为A,B,D三点共线,所以AB,BD共线,所以存在实数λ,使得2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.答案:-18.(5分)(2023·菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t=【解析】因为b-ta与12a-32b共线,所以b-ta=λ(12a-3b-ta=λ2a-3λ2b,又a,b是两个不共线的向量,所以-t=答案:19.(10分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.【解析】(1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是不共线的两个非零向量,所以k-λ=0λk-1=0,所以k2-1=0,所以k【能力提升练】10.(5分)(2023·广州模拟)在△ABC中,M是AC边上一点,且AM=12MC,N是BM上一点,若AN=19AC+mBC,则实数m的值为A.-13 B.-16 C.16 【解析】选D.由AM=12MC,得出AC=3AM,由AN=19AC+mBC得AN=19AC+m(AC-AB)=(19+m)AC-mAB=(13因为B,N,M三点共线,所以(13+3m)+(-m)=1,解得m=111.(5分)(多选题)下列说法中正确的是 ()A.λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线B.若a∥b(b≠0),则存在唯一实数λ使得a=λbC.两个非零向量a,b,若a-b=a+b,则a与D.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△AOB分别表示△AOC,△AOB的面积,则S△AOC∶S△AOB=1∶3【解析】选BCD.对于A项,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线,故A项错误;对于B项,若a∥b(b≠0),则存在唯一实数λ使得a=λb,故B项正确;对于C项,两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向,故C项正确;对于D项,因为2OA+OB+3OC=0,整理得2OA+2OC=-(OB+OC),分别取BC,AC的中点E,F,如图所示:故4OF=-2OE,即2OF=-OE,所以O,E,F三点共线,故OE=2OF,OE=23所以OE=13AB,OF=16AB,S△AOC=16S△ABC,S△AOB=故S△AOC∶S△AOB=1∶3,故D项正确.12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量FG用AB与AD表示为________________.

【解析】由题意可得:AE=AB+BE=AB+12AD,FE=FC+CE=14所以FG=FE+EG=FE-23AE=(14AB-12AD)-23(AB+答案:FG=-512AB13.(5分)如图,点G为△ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),则m+n=________;1m+1n的最小值为【解题指南】利用重心的性质以及平面的线性运算可知AG=mAD+nAE,设DG=λGE,由D,G,E三点共线可知AG=1λ+1AD故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1m+1n【解析】由重心的性质可知AG=23×12(AB+AC)=13(3mAD+3=mAD+nAE(m>0,n>0),设DG=λGE,由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,两式相加得2AG=AD+AE+(1-1λ)DG=AD+AE+(1-1λ)(AG-整理得AG=1λ+1AD+λλ+1AE,所以m=1λ+1,n=λλ1m+1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm当且仅当nm=mn,即m=n=1答案:1414.(10分)(2023·沧州模拟)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.(1)若AO=2OD,求证:OA+OB+OC=0;(2)若AE=2EB,AO=λAD,求实数λ的值.【解题指南】(1)由点D为BC的中点可得2OD=OB+OC,再结合已知条件即可证明;(2)设AB=a,AC=b,OC=μEC,利用向量减法法则可得EC=b-23a,OC=(1-λ2)b-λ从而可得1-λ【解析】(1)因为点D为BC的中点,所以BD+CD=0,因为OD=OB+BD,OD=OC+CD,两式相加得2OD=OB+OC,所以AO=2OD=OB+OC,即OA+OB+OC=OA+AO=0.(2)由AE=2EB,得AE=23AB,设AB=a,AC=b,OC=μEC,则EC=AC-AE=AC-23AB=b又OC=AC-AO=AC-λAD=AC-λ(AB+AC)2=(1-λ2)b-λ2a.所以(1-λ2)b-λ2因为a,b不共线,所以1-λ2=μ15.(10分)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.(1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.【解析】(1)因为BC=4BD,所以BD=14BC=14(AC-AB)=1所以AD=AB+BD=AB+14AC-14AB=因为AC=3CE,所以AE=23AC,所以BE=AE-AB=23(2)因为A,M,D三点共线,所以AM=λAD=3λ4AB因为AM=mAB+nAC,所以m=3λ4n=λ4,即m=3所以AM=kAB+(1-k)AE=kAB+2(1-因为AM=mAB+nAC,所以m=因为m=3n,所以k=3×23(1-k),解得k=23,从而m=23,n=29,故m+【素养创新练】16.(5分)(多选题)(2023·枣庄模拟)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别是△ABC的外心、重心、垂心,且M为BC的中点,则 ()A.OH=OA+OB+OC B.S△ABG=S△BCG=S△ACGC.AH=3OM D.AB+AC=4OM+2HM【解析】选ABD.A.因为OG=12GH,所以OG=13所以GA+GB+GC=0,所以OA-OG+OB-OG+OC-OG=0,所以OG=13(OA+OB+OC),所以13OH=13(OA+所以OH=OA+OB+OC,所以该选项正确.B.S△BCG=12×BC×h1,S△ABC=12×BC×h2,由于G是重心,所以h1=13所以S△BCG=13S△ABC,同理S△ABG=13S△ABC,S△ACG=13S△ABC,所以S△ABG=S△BCG=S所以该选项正确.C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM,所以该选项错误.D.因为OH=3OG,所以MG=23MO+13MH,所以GM=所以AB+AC=2AM=6GM=6(23OM+13HM)=4OM17.(5分)(2023·长沙模拟)如图,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,AG=2GM,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),则4x+1y+1的最小值为 A.34 B.94 C.3 【解析】选B.因为M为线段BC的中点,所以AM=12(AB+AC又因为AG=2GM,所以AG=23AM=13(AB又AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=x3AP+又P,G,Q三点共线,所以x3+y3=1,即x+所以4x+1y+1=14(4x+1y+1)[x+(y+1)]=1≥14(5+2xy+1·4(y+1)x)=94,当且仅当xy二十二任意角和弧度制及三角函数的概念(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)若角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在第一象限.2.(5分)若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是 ()A.sinθ2 B.cosC.tanθ2 D.cos2【解析】选C.由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角,2θ为第三或第四象限角,所以tanθ23.(5分)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(1213,513)和(-35,45),那么sinαcosβ=A.-3665 B.-313 C.413 【解析】选B.由题意,角α,β的终边与单位圆分别交于点(1213,513)和(-35,45),由三角函数的定义,可得sinα=513,cosβ=-35,所以sinαcosβ=513×4.(5分)我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1738千米,则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14) (A.1069千米 B.1119千米C.2138千米 D.2238千米【解析】选D.嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138(千米),所以嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为l=αr=π3×2138≈35.(5分)(多选题)下列结论正确的是 ()A.-7π6B.角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈ZC.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-3D.若角α为锐角,则角2α为钝角【解析】选BC.对于A选项,因为-7π6=5π6-2π且5π6对于B选项,根据终边相同角的表示可知角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z对于C选项,由三角函数的定义可得cosα=-332对于D选项,取α=π6,则角α为锐角,但2α=π3,即角2α6.(5分)(多选题)已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是 ()A.sinθ=-21B.α为钝角C.cosα=-2D.点(tanθ,sinα)在第一象限【解析】选ACD.角θ的终边经过点(-2,-3),sinθ=-217θ与α的终边关于x轴对称,由题意得α的终边经过点(-2,3),α为第二象限角,不一定为钝角,cosα=-27因为tanθ=32>0,sinα=217>0,所以点(tanθ,sinα7.(5分)终边在直线y=-x上的一个角α可以是__________________.

【解析】终边在直线y=-x上的角的集合为{θ|θ=3π4+kπ,k∈Z},所以终边在直线y=-x上的一个角α可以是3π答案:3π48.(5分)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由AB及其所对弦AB围成的图形.若弧田的弦AB长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧田的AB长为________,弧田的面积为________________.

【解析】由题意可知:BC=AC=1,AO=ACsin1=1sin1,OC=BCtan1所以AB长=2×1sin1=2sin1,弧田的面积=S扇形AOB-S△AOB=12×2×(1sin1)2-12×2×1答案:2sin11si9.(10分)已知1|sinα|=-1(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点M(35,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值【解析】(1)由1|sinα|=-1sinα,得sin所以α是第四象限角.(2)因为|OM|=1,所以(35)2+m2=1,解得m=±45.又α为第四象限角,故m<0,从而m=-45,sinα=yr=m|【能力提升练】10.(5分)如果点P(2sinθ,sinθ·cosθ)位于第四象限,那么角θ所在的象限为 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为点P(2sinθ,sinθ·cosθ)位于第四象限,所以2sinθ>0,sinθ·11.(5分)(2024·青岛模拟)中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”,其大意为:圆的半周长乘其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积,并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积,从而更“精确”地估计圆周率π.据此,当n足够大时,可以得到π与n的关系为 ()A.π≈n2sinB.π≈nsin180C.π≈n2D.π≈n【解析】选A.设圆的半径为r,将内接正n边形分成n个小三角形,由内接正n边形的面积无限接近圆的面积可得:πr2≈n·12·r2·sin360°n,解得π≈n12.(5分)(多选题)下列命题正确的是 ()A.在与530°角终边相同的角中,最小的正角为170°B.若角α的终边过点P(-4,3),则cosα=-4C.已知θ是第二象限角,则tan(sinθ)>tan(cosθ)D.若一扇形弧长为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为1【解析】选ABC.选项A:由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故所求的最小正角β=170°,正确;选项B:由三角函数的定义可得cosα=-432选项C:因为θ是第二象限角,所以0<sinθ<1<π2,-π2<-1<cos所以tan(sinθ)>0,tan(cosθ)<0,所以tan(sinθ)>tan(cosθ),正确;选项D:弧长为2,圆心角为90°,则扇形的半径为4π,所以扇形面积为12×2×4π=13.(5分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为2π3弧度,则扇形的面积是________【解析】由题意可得Rt△AOD中∠AOD=π3,AD=1,由ADOA=sinπ3可得扇形的半径r=OA=1sinπ3=233,所以扇形的弧长l所以扇形的面积S=12lr=12×439π×答案:4π14.(10分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ的值.【解析】由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).所以sinα=-2aa2+(-2a)2=-25sinβ=a(2a)2+a2=15,cosβ=2故有sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ=-25×15+15×2515.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0),它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.(1)若点B的横坐标为-12,求sinα的值和与角α终边相同的角β(2)若α∈(0,π2],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.【解析】(1)由题意知,若点B的横坐标为-12,可得B的坐标为(-12,32),所以sinα=32,于是α=2π3+2kπ,k∈Z,与角α终边相同的角β的集合为{β|β=2π3+2k(2)△AOB的AB边上的高为1×cosα2,AB=2sinα2,故S△AOB=12×2sinα2×cosα2=sinα2×cosα2,故弓形AB的面积S=12·α·12-sinα2×cosα2=12α-sinα2×cosα2=1【素养创新练】16.(5分)点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称,写出一个符合题意的θ的值为【解析】因为P(cosθ,sinθ)与Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称,即θ,θ+π6关于y轴对称,θ+π6+θ=π+2kπ,k∈Z,则θ=kπ+5π12当k=0时,可取θ的一个值为5π12.(满足θ=kπ+5π12,k∈Z答案:5π1217.(5分)如图,点P是半径为2的圆O上一点,现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始,正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止,称为正方形滚动了一轮,则当点A第一次回到点P的位置时,正方形滚动了________轮,此时点A走过的路径的长度为________.

【解析】正方形滚动一轮,圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A,顶点两次回到点P时,正方形顶点将圆周正好分成六等份,又4和6的最小公倍数为3×4=2×6=12,所以到点A首次与P重合时,正方形滚动了3轮.这一轮中,点A路径A→A'→A″→A是圆心角为π6,半径分别为2,22,2的三段弧,故路径长l=π6·(2+22+2)=(2+2)π3,所以点答案:3(2+2)π二十九平面向量的基本定理及坐标表示(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m= ()A.-32 B.23 C.-12 【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),若a∥b,则有2×m=1×(-3),解得m=-322.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是 ()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.B选项,因为21≠-12,所以e1,eC选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底D选项,因为23≠14,则e1,e23.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ()A.65 B.85 C.2 【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),因为CA=λCE+μDB,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以-解得λ=65,μ=24.(5分)在△ABC中,CM=3MB,AN+CN=0,则 ()A.MN=14AC+34AB B.MNC.MN=16AC-23AB D.MN【解析】选D.因为CM=3MB,AN+CN=0,所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如图所示:所以MN=AN-AM=12AC-AB-BM=12AC-AB-14BC=12AC-AB-14(5.(5分)(多选题)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是 ()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ≠0且μ≠0【解析】选BCD.根据平面向量基本定理可知A正确,不符合题意;根据平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的,故B选项错误,符合题意;当两向量的系数均为0时,这样的λ有无数个,故C选项错误,符合题意;若实数λ,μ使得λe1+μe2≠0,则λ和μ可以有1个等于零,故D选项错误,符合题意.6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是 ()A.BD=a-b B.AC=13a+C.BM=-89a+b D.AN=23a+【解析】选BC.对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-8对于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是__________.

【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,答案:(4,7)8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1OP2-OP1=OP-OP2,OP=2OP与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35答案:(35,-45)和(-359.(10分)(2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,(1)用a,b表示BC,MN;(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,12+12=1,故M,P【加练备选】(多选题)(2023·重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则 ()A.DE=12a-1B.DE=-12a+2C.AF=35a+2D.AF=25a+1【解析】选AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a设AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-12)a+yb,EC=EA+AC=-12a+因为EF∥EC,所以x-12-12=y1,同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b联立解得x=25,y=15,所以AF=25a+1【能力提升练】10.(5分)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=()A.13a+23b B.23aC.23a+43b D.43a【解析】选C.因为BC=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,且EC=12AC,DC=12BC,可得BC=b+12AC,所以BC=b+12(a+12BC),整理得BC=23a11.(5分)已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为 ()A.23 B.-23 C.32 【解析】选B.设P(x,y),则由AP=AB+λAC,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-2312.(5分)(2023·黄冈模拟)在△ABC中,点M在线段BC上,AN=23AM=λAB+μAC,则λ+μ= (A.14 B.13 C.23 【解析】选C.因为点M在线段BC上,所以存在实数t,使得BM=tBC,所以AM-AB=t(AC-AB),即AM=(1-t)AB+tAC,所以AN=23AM=2(又AN=λAB+μAC,所以λ=2(1-t)13.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=__________;AFAD=__________【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD【解析】设AF=mAD,BF=nBE,根据向量共线定理,得AF=mAD,AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)AB,又因为AD=12(AB所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB+AC),得n代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得λ则有λ+μ=-12,AFAD=答案:-1214.(10分)(2023·信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.