人教版高中数学《等差数列前n项和》教学说课稿

人教版高中数学《等差数列前II项》优秀教学说课稿

各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第5

个模块中第二章的2.3等差数列的前n项和的第一节课。

下面我从教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、

评价分析等六个方面对本节课设计进行说明。

一、教材分析

1、教材的地位与作用

(1)等差数列的前n项和的公式是等差数列的定义、通项、前n项和三大重要内容之

O

(2)推导等差数列的前n项和公式提出了一种崭新的数学方法——倒序求和法。

(3)等差数列的前n项和公式的知识网络交汇力极强。通过公式，一方面可以建立起函

数、方程、不等式之间的联系；另一方面，可以联系多个知识点编制出灵活多变的数学综合

性问题，有利于实现考能力、考数学综合素质的目标。

2、教材处理

根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深地进行教学，使学

生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。本节

教材我分两节课完成，第一节课主要学习等差数列的前n项和的公式

%=幽普及%=“4+若41的推导及其基本应用；第二节课主要学习等差数列的前n

项和公式的一些性质及其应用。本节课是第一节课。

3、教学重点、难点、关键

教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用。

教学难点：等差数列的前n项和公式的推导。

教学关键：推导等差数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。

应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问

题。

4、教具、学具准备

多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。

二、教学目标分析

根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标：

1、知识目标：

(1)让学生在新旧知识的联系中完成认知，发现推导公式的思想与方法，并掌握公式。

(2)能用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题。

2、能力目标：

(1)自主探索能力——创设问题情境，让学生自主观察、分析、探索、归纳和交流，培

养学生的自主探索能力。

(2)建模能力——通过运用等差数列的前n项和公式解决问题，使学生自主获得数学建

模的方法，培养学生建模、解模的能力。

(3)逻辑思维能力——通过由浅入深的分析和循序渐进的变式问题的探讨及解决问题后

的反思，培养学生的逻辑思维能力。

3、品德目标：

(1)科学发展观——通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，引导学生走进“数学再

创造”的情境中，逐步树立科学发展观。

(2)理性思维——通过有梯度的变式题目的分析，使学生养成“联系与转化”的理性思维。

(3)优化思维品质——采用启发式引导法，使学生通过实践——认识——再实践——再

认识，提高辩证分析问题的能力，优化思维品质，培养健康的心理素质，使学生懂得只有通

过自己不断亲身实践才能获得新知的道理。

三、教法、学法分析

1、教法分析

按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。本节

课运用“引导探索发现法”，采用“情境引入——自主探究——成果交流——变式应用——反思

回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获

得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活动。

2、学法指导

“授人以鱼，不如授人以渔”。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并

善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。

本节课根据教材特点，激“疑”生“趣”，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到一般，

由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的前n项

和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，

获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。

四、教学过程分析

教学

教学设计设计意图

环节

通过复习

1、等差数列的定义：an-an_x=d(n>2,neN*),d为常数。等差数列的定

复

义、通项公式及

习2、等差数列的通项公式：-l)dN*)。

等差数列的性

回3、等差数列｝中，若p+4=m+n,则a+a=a+«„(/?>

pqm质，以旧悟新，

顾

q、m>neN")0为学习新知识

埋下伏笔。

以问题激

200多年前，德国著名数学家Gauss(高斯)10岁读小学时，

发兴趣，以问

老师出了一道数学题：1+2+3++100=?据说，当其他同学忙

题产生好奇。

于把100个数逐项相加时，高斯经过思考后很快得出其结果是

课堂开始，我

5050»

说：“小高斯快

师：“小高斯快速算出1+2+3++100的和，成为千古美

速算出

谈。同学们，我们也能成长为高斯。这节课我们研究《等差数列

1+2+3+…+100

的前n项和》，就是与高斯比一比，我们也能快速算出

的和，成为千

1+2+3++100,并且把这种方法推广到更一般的等差数列前

古美谈，同学

n项和的求法中去。”

们，我们也能

这个问题实际上就是本节课要学习的内容：(板书课题)

成为高斯。这

2.3等差数列的前n项和

节课我们研究

引一般地，等差数列的前n项和用s.表示，即

《等差数列的

入

禧=%+++%前n项和》，就

境现在分小组讨论探究下面的问题：是与高斯比一

分

1、1,2,3,……，98,99,100从数列角度来看，这是什么比，我们也能

析

康数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？快速算出

示2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数1+2+3+…+100

课

列的前n项和吗？,并且把这种

题

3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？方法推广到更

4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n项和：一般的等差数

(1)计算％+%+。3++/-2+4-1+4=?列前n项和的

求法中去。”

(2)计算q+(6+")+(q+2d)++[6+(〃-1)矶=?

学生的情

学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每

绪高涨起来，六

个学生在自觉和小组讨论中遇到的难题，要进行适当点拔，使他

即分组讨论探

们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果，进行全班

究下列四个问

交流。

题。

A组小组长说：1,2,3,...，98,99,100是首项为1,

讨论后各

末项为100,公差为1的等差数列，高斯的算法是：

小组汇报研究

(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101x50=5050o

性成果。

小组A的

成果主要利用

了等差数列中

与首末项等距

离的两项的和

等于首末两项

和的性质。

教学

教学设计设计意图

环节

B组小组长说：也可以写成算式的形式：小组B的成

5=1+2++50+51++99+100果是把正整数

+s=100+99++51+50++2+1列前100项顺

序、倒序后两相

引

入2s=101+101++101+101++101+101加进行求和，在

.

情此处发现数列

境101x(1+100)

s------------=5050o

分2求和常用的方

析

.

展师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的法——倒序求

示

课方法，我们把这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求和法运用和法。

题

了等差数学哪一个性质？

B组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项

的和等于首末两项和的性质。即在等差数列｛4｝中，若

p+q=m+n,贝U。。+为=4“+。“(P、q、加、neN*)0

教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前我因势设

n项和吗？”问：“能把倒序

C组小组长说：可以运用高斯算法——倒序求和法可计算：求和法推广到

一般的等差数

Sn=q+。2+++an-2+%+

列的前n项和

+%=an+an-\+an-2++/+。2+

吗？”如此一

问，引出了“思

2s“=(4+%)+(%+%)++(%_]+。2)+(4+卬维冲浪”，学生

主体性自然张

4+4?=。2+。〃-1=。3+an-2~=an-2+。3n^n-1+。2=+4

扬，给“再发现”

・•・2sn=〃(4+an),

新加了一把激情。

课・•・”幽罗(I)小组C的成

讲

果是把一般形

授D组小组长说：同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算：

施式的等差数列

%=4+(4+d)++[ct+(n-2)d]+[a+(〃-1)J]

导xx前n项倒序相加

公

+S”=[4+(〃—1)6？]+[q+(〃—2)d]++(6Z|+d)+q进行求和，得出

式

等差数列前n项

才口的公式（I）。

2sn—[2q+(〃—l)d]+[2q+(〃—l)d]++[24+(〃—l)d]+[2q+(〃—1)

小组D的

〃("T)J/TT、

/.sd(II)

n=陷+——-——成果是把用通

项公式表示的

等差数列前n项

倒序相加后求

和，得出等差数

列的前n项和的

公式（II）。

教学

教学设计设计意图

环节

E组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式(I)：小组E的成

果是利用通项

stt=%+(4+d)+(q+2d)++[4+(〃-l)d]

公式的变式，倒

a

+s〃=n+(〃“_1)+&-2d)++[可-5-1)4]序相加后进行

求和同样可以

2s“=(q+a“)+(q+a“)+(q+a“)++(«,+«„)推导出等差数

列的前n项和的

.』=吆押(I)

公式(I)、

以a„=4+(“-l)d代入也可得到公式(II)的形式。(II)o

师：非常好。公式(I)、(II)称为等差数列的前n项和公式，这样，等差

数列的前n项和

用这些公式可求得等差数列的前n项和。

的公式的推导

新引导学生比较得出：若已知等差数列首项为%,末项为4,

课过程，就成了学

讲项数为〃，可直接运用公式(I),=〃⑷+%)求和;若已知等差生研究性思维

段2

学习成果的展

推

数列首项为卬，公差为d,项数为“，则直接运用公式(II)示过程，在这个

导

公5“="4+若]1求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式“过程”中，学生

式学会了怎样学

习和怎样思考，

化共包含五个量可，%,n,d,sn,只要知道其中三个量，就

在连续的变式

可以求出其余两个量。

推理过程中，创

思考：比较两个公式(I)、(II),说说它们分别从哪些角度反

造性思维品质

映等差数列的性质？

在不断的追问、

假设、探究和想

象中培养起来。

教学

教学设计设计意图

环节

讲请同学们解下列一组题。1、推导出公

授

新计算下列各题：式之后，通过常

课(1)1+2+3+用的正整数列、

.

熟

(2)1+3+5++(2〃—1)。正奇数列、正偶

悉

数列的求和，使

公(3)2+4+6++2〃o

式学生初步熟悉

初(4)1-2+3-4+5-6++(2〃-1)一

等差数列的前n

生：直接利用等差数列的前n项的公式(I)求得：项和的公式。

(1)原式=皿⑷(这是正整数列之和)。

22、通过练习

(4),使学生明

(2)原式=〃(1+2〃-1)=“2(这是正奇数列之和)。

2白一些题目表

面看来没有等

(3)原式=必网="+〃(这是正偶数列之和)。

2差数列的规律，

只要认真观察，

师：第(4)题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔

深入分析，进行

细观察，由此及彼，由表及里，去伪存真，寻找规律，可能某局

适当分组，局部

部成等差数列(学生在老师引导下会悟到)。

是符合等差数

生甲：把正数项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数

列规律的。从中

列之差。

培养学生的分

.•・原式=口+3+5++(2n-l)]-(2+4+6++2n)

析能力，提高拓

=7-(7+")o

=-n展能力和创新

生乙：原数列虽然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两能力，也培养

个正整数之差为1,即依次相邻两项结合都为T,可得另一解法：“联系与转化”的

原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)++[(2n-l)-2n]理性思维，为进

=-1—1——1一步运用等差

〃个

数列的前n项和

=—n

的公式解应用

师：从以上解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没

题打下知识基

有什么规律，在解题时只要我们仔细观察、寻找规律，是会找到

础和思想方法

好的解题方法的。

基础。

教学

教学设计设计意图

环节

例1、求集合M=｛m|m=7〃,〃6?/*且加<100｝的元素个数，1、在应用

等差数列的前n

并求这些元素的和。

项和的公式解

引导学生清楚地认识到，要找到解应用题的方法，必须运

应用题时，使学

用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模

生学会运用理

型，这是寻找解题方法的关键。求等差数列的和，要特别注意

论联系实际的

数歹!J的项数n是什么。

方法抽象出数

师：元素m的个数应根据什么条件确定？

量关系，建立相

讲生：应根据加、〃的范围、条件确定，由他<100,得

应的数学模型，

授7〃<100,

新即等差数列模

100…

课n<=14—,又neN,

建77型，从而获得解

题方法，培养学

满足上面不等式的正整数n共有14个，

数生学数学、用数

学

所以集合M的元素m共有14个。学的意识和能

模

型师：请把这14个元素从小到大列出来。力。

解生:7,14,21,....,98o

应师：这是一个什么数列？2、分别用

用

题生：这个数列是等差数列，记为｛七｝，其中首项q=7,末公式(I)、公式

项知=98,项数〃=14,公差d=7,根据等差数列的前n项和(II)解答，使学

公式得：生认识到掌握

+a“)_14x(7+98)题目的数量关

%-2-2

系后，可以从多

答：集合M共有14个元素，它们的和等于735。角度去解应用

师：可能用公式(II)解答吗？题，培养学生发

散思维。

生：可以，有：

n(n-l)-14x(14-1)…

s—na+d=14x7+x7=735。

"'}22

师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？

生：用公式(I)要先求出勺，再运用公式。用公式(II)不需

求。“就可以直接运用公式，显然用公式(II)方法简单。

教学

教学设计设计意图

环节

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施在解答例2

讲

“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目时，经老师启发

授

新标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校引导后，让学生

课园网，据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元，先练后讲，巩固

建

为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加学生的解题程

数50万元，那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程序，强化应用意

学中的总投入是多少？识，加深学生对

模

对此例题，老师先启发引导，然后让学生练习，如有不懂再解应用题必须

型

解点拔。实施“校校通''工程的经费，每年是多少？总投入经费是多要建立数学模

应少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律型的重要性的

用

类似？500万，50万，未来10年的“10年”，工程总投入等相当认识，进一步掌

题

于数学理论中什么量？从中建立求解的数学模型。握建立数学模

学生甲：根据题意，从2001年起到2010年该市每年投入“校型的方法。

校通”工程的经费都比上一年增加50万，可以建立一个等差数列

{«„},表示从2001年起每年投入的资金。其中

4=500,1=50,〃=10。由公式（H）可知，投入金额为：

%="4+双-0d=10x500+10*-1x50=7250（万元）。

学生乙：也可以用公式（I）求解：

a10=500+（10-1）x50=950,

购应=10x（500+95。）”50（万元）。

22

答：从2001年起到2010年，该市在“校校通”工程中总投入

资金7250万元。

1、求集合M-^m\m-2n—1,/?GN"且加＜6。}的元素个数，并1、再次强

化数学建模等

求这些元素的和。

解题程序。

2、一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速

2、通过学

10km/h开始，每隔2s速度提高20km/h。如果测试时间为30s,

生自己编题来

测试距离是多长？

巩练习，进一步巩

3、请同学们参考例1、例2和课堂练习题自己编写一道求等

固对等差数列

固差数列前n项和的练习题。

的前n项和的公

练式的理解，培养

学生求异、发散

习

等思维能力。

教学

教学设计设计意图

环节

师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？启发、引导

生：1、本节课学习了等差数列的前n项和公式学生归纳总结，

一方面可以了

(D

解学生听课接

受能力的情况，

s“=叼+"(7)d(II)

归另一方面可以

纳2、学习了一种崭新的数学方法——倒序求和法。培养学生归纳

师：总结得很好，我们还应注意以下几点：总结的能力，使

总

1、公式(I)、(II)共有五个量，只要知道其中三个量，就可学生系统记忆

结

本节课所学习

以求出其他两个量。这是下一节课要学习的内容。

的知识。

2、求等差数列的前n项和，要特别注意公式中的项数n是什

么。

3、解应用题时，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量

关系，建立相应的数学模型，才能找到适当的解题方法。

1,课本P53习题2.3第2题。1、布置与

课堂例题同类

2、自己编写一道求等差数列的前n项和的练习题。

型的习题做作

3、写一篇学习“等差数列的前n项和”的心得。

业，可以复习、

4、预习：课本&―4。

布巩固课堂学习

的知识。

置