新教材人教B版高中数学必修第三册全册各章节教学课件(-非图片版)

7.1.1角的推广P3

7.1.2弧度制及其与角度制的换算P46

7.1任意角的概念与弧度制7.2.1三角函数的定义P75

7.2.2单位圆与三角函数线P109

7.2.3同角三角函数的基本关系式P147

7.2.4诱导公式(一)P1757.2.4诱导公式(二)P209

7.2任意角的三角函数7.3.1正弦函数的性质与图像P235

7.3.2正弦型函数的性质与图像(一)P2717.3.2正弦型函数的性质与图像(二)P2997.3.3余弦函数的性质与图像P332

7.3.4正切函数的性质与图像P368

7.3.5已知三角函数值求角P398

7.3三角函数的性质与图像8.1向量的数量积P4228.1.2向量数量积的运算律8.1.3向量数量积的坐标运算8.1.1向量数量积的概念8.2.1两角和与差的余弦8.2.2两角和与差的正弦、正切8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用(一)8.2.4三角恒等变换的应用(二)8.2三角恒等变换P5091.(1)当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确.在调整的过程中,分针转动的方向是否相同?提示:不同,当钟表慢了时,要顺时针转动分针;当钟表快了时,要逆时针转动分针.7.1.1角的推广(2)在跳水比赛中,运动员会做“转体两周”“向前翻转两周半”等动作.做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0°到360°的角表示吗?提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°范围内,不能用0°到360°的角表示.2.(1)如果将45°,225°角的始边与x轴非负半轴重合,顶点与原点重合,则45°角的终边OA,225°角的终边OB分别落在第几象限?提示:如图,45°角的终边落在第一象限;225°角的终边落在第三象限.(2)将角45°,225°推广到任意角α,如何来判断一个角α是第几象限角?提示:判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说该角是第几象限角.3.在条件“角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合”下,研究下列角:30°,390°,-330°.(1)这三个角的终边位置相同吗?提示:30°,390°,-330°在同一坐标系内如图所示,由图可知三个角的终边位置相同,它们两两之间相差360°的整数倍.(2)如何用30°表示390°和-330°?提示:390°=360°+30°,-330°=-360°+30°.(3)对于一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?提示:不唯一.它们相差360°的整数倍.【概念生成】1.角的概念的推广(1)角的概念一条射线绕其端点旋转到___________所形成的_____称为角.这两条射线分别称为角的_____和_____.(2)角的表示如图所示:

另一条射线始边终边图形①始边:射线的起始位置OA.②终边:射线的终止位置OB.③顶点:射线的端点O.④记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.(3)角的分类按旋转方向,角可以分为三类:名称定义图示正角按_______方向旋转形成的角

负角按_______方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角

逆时针顺时针2.象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在____________上,角的终边在第几象限就称为第几象限角.若终边落在________上,认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=____________,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.x轴的正半轴

坐标轴α+k·360°探究点一任意角的概念【典例1】给出下列说法:(1)锐角都是小于90°的正角;(2)第一象限角一定不是负角;(3)第二象限角是钝角;(4)小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为

(把正确说法的序号都写上).

【思维导引】解决此类问题的关键是正确理解各类角的概念.判断时也可采用排除法,判断说法为真需要证明,而判断说法为假只需举一反例.【解析】(1)锐角是大于0°且小于90°的角,所以(1)正确.(2)-330°角是第一象限角,但它是负角,所以(2)不正确.(3)480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以(3)不正确.(4)0°角小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以(4)不正确.答案:(1)【类题通法】1.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键:正确理解有关角的概念.(2)技巧:通过特值或反例进行判断.2.处理任意角问题的两个关键点(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否则为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对值确定角的大小.【定向训练】在下列说法中:(1)0°～90°的角是第一象限角;(2)第二象限角大于第一象限角;(3)钝角都是第二象限角;(4)终边与始边重合的角是零角.其中错误说法的序号为

.

【解题指南】正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.【解析】(1)0°～90°的角是指0°≤α<90°,0°角不属于任何象限,所以(1)不正确.(2)120°是第二象限角,390°是第一象限角,显然390°>120°,所以(2)不正确.(3)钝角的范围是90°<α<180°,显然是第二象限角,所以(3)正确.(4)终边与始边重合的角是与零角终边相同的角,不一定是零角,-360°,720°都可以,所以(4)不正确.答案:(1)(2)(4)

【补偿训练】下列说法正确的是 (

)A.三角形的内角必为第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角是负角D.钝角比第三象限角小【解析】选B.对于A,当内角为90°时,不是第一、二象限角;根据角的含义,始边相同终边不同的角一定不相等,故B正确;第四象限角不一定是负角,如330°是第四象限角;又第三象限的角的集合为{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z},钝角90°<β<180°.所以β与α的大小不能确定,与k的正负有关.故A,C,D错误,B正确.探究点二终边相同的角【典例2】(1)写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.【思维导引】(1)先用含k的式子写出与α=-1910°终边相同的角β,再解关于k的不等式,最后求出相应的角.(2)先写出终边落在OA,OB上的角,然后结合图形将所求范围内的角写出.【解析】(1)与α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}.因为-720°≤β<360°,所以-720°≤-1910°+k·360°<360°,3≤k<6.故k=4,5,6,当k=4时,β=-1910°+4×360°=-470°.当k=5时,β=-1910°+5×360°=-110°.当k=6时,β=-1910°+6×360°=250°.(2)若角α的终边落在OA上,则α=30°+360°·k,k∈Z.若角α的终边落在OB上,则α=135°+360°·k,k∈Z.所以,角α的终边在图中阴影区域内时,30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z}.

【延伸探究】

1.若本例(2)条件不变,试判断角-1310°的终边是否落在阴影区域内?【解析】由-1310°=-4×360°+130°,所以角-1310°与角130°的终边相同,又30°<130°<135°,所以角-1310°的终边落在阴影区域内.2.若将本例(2)中阴影部分改为如图所示,则角的集合如何?

【解析】因为阴影部分含x轴非负半轴,故终边为OA的角β=-30°+k·360°,k∈Z,终边为OB的角γ=135°+k·360°,k∈Z,所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.【类题通法】关于终边相同的角的认识(1)α为任意角.(2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α).(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.(4)k∈Z这一条件不能少.【定向训练】

(2020·济南高一检测)下面各组角中,终边相同的是 (

)

A.390°,690° B.-330°,750°C.480°,-420° D.3000°,-840°【解析】选B.因为390°=360°+30°,690°=720°-30°,所以390°与690°终边不同,A错误;因为-330°=-360°+30°,750°=720°+30°,所以-330°与750°终边相同,B正确;因为480°=360°+120°,-420°=-360°-60°,所以480°与-420°终边不同,C错误;因为3000°=2880°+120°,-840°=-720°-120°,所以3000°与-840°终边不同,D错误.

【补偿训练】如图所示阴影部分角的集合为

.

【解析】由题意,知S1={α|-45°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z},S2={α|135°+k·360°≤α≤225°+k·360°,k∈Z},S=S1∪S2={α|-45°+2k·180°≤α≤45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|-45°+(2k+1)180°≤α≤45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|-45°+n·180°≤α≤45°+n·180°,n∈Z}.答案:{α|-45°+n·180°≤α≤45°+n·180°,n∈Z}探究点三象限角的判断【典例3】(1)已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角是第几象限角,以及0°～360°范围内与其终边相同的角.①485°;②-35°;③770°;④-500°.(2)若β是第四象限角,试确定180°-β是第几象限角.【思维导引】(1)先找出和该角在0°～360°范围内终边相同的角β,然后再根据β所在象限确定该角所在的象限.(2)根据β的范围求出180°-β的范围再判断.【解析】(1)①485°=125°+360°,所以在0°～360°范围内,与485°终边相同的角是125°,所以485°是第二象限角.②-35°=325°-360°,所以在0°～360°范围内,与-35°终边相同的角是325°,所以-35°是第四象限角.③770°=50°+2×360°,所以在0°～360°范围内,与770°终边相同的角是50°,所以770°是第一象限角.④-500°=220°-2×360°,所以在0°～360°范围内,与-500°终边相同的角是220°,所以-500°是第三象限角.(2)因为β是第四象限角,所以-90°+k·360°<β<k·360°(k∈Z),所以-k·360°<-β<90°-k·360°(k∈Z),所以180°-k·360°<180°-β<270°-k·360°(k∈Z),所以180°-β是第三象限角.【类题通法】象限角判断的两种方法(1)根据图形判定,在直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角.(2)根据终边相同的角的概念,把角转化到0°～360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角.

【知识延拓】已知α所在象限,确定所在的象限可以由象限等分得到:将每一个象限二等分,从x轴正半轴起按照逆时针顺序在各等分区域标上数字1,2,3,4,1,2,3,4,若α是第一象限角,则就在标有数字1的区域,若α是第二象限角,则就在标有数字2的区域,若α是第三象限角,则就在标有数字3的区域,若α是第四象限角,则就在标有数字4的区域,如图所示.【定向训练】若φ是第二象限角,那么和90°-φ都不是 (

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选B.因为φ是第二象限角,所以k·360°+90°<φ<k·360°+180°,k∈Z,所以k·180°+45°<<k·180°+90°,k∈Z,即是第一或第三象限角,而-φ显然是第三象限角,所以90°-φ是第四象限角.

【补偿训练】已知角α是第三象限角,则角是 (

)A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角【解析】选D.方法一:取α=220°,则=110°为第二象限角;再取α=580°,则=290°为第四象限角.方法二:因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),所以k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z),所以是第二象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z),所以是第四象限角.综上所述,是第二或第四象限角.【课堂小结】7.1.2弧度制及其与角度制的换算

1.(1)在角度制中,把圆周等分成360份,其中的一份是多少度?提示:周角为360°,均分成360份,则每份为1°.(2)半径为1的圆的周长是2π,即周长为2π时,对应的圆心角为360°,那么弧长为π时,对应的圆心角是多少?提示:因为圆的周长为2π,故弧长为π时,对应的圆心角为180°.(3)在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗?提示:确定,圆心角|α|=.2.(1)半径为r的圆中,1°的圆心角所对的弧长是多少?所得的扇形面积是多少?提示:因为半径为r的圆的周长为2πr,面积是πr2,故1°的圆心角所对的弧长是:l=,扇形的面积是:S=.(2)若扇形的圆心角为α(0<α<2π),如何由角度制下的扇形的弧长和面积公式得出弧度制下的公式?提示:由α=,所以n=,所以l=×=αr.S=×=α·r2=lr.【概念生成】1.角度制与弧度制的定义(1)角度制:用度作单位来度量角的制度称为_______.角度制规定60分等于1度,60秒等于1分.(2)弧度制:长度等于_______的圆弧所对的_______为1弧度的角,记作_____.以_____为单位来度量角的制度称为弧度制.2.角的弧度数的计算在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对圆心角为αrad,则α=____.角度制半径长圆心角1rad弧度3.弧度制与角度制的换算4.一些特殊角与弧度数的对应关系5.角度制和弧度制下扇形的弧长和面积公式若扇形的半径为R,弧长为l,弧所对圆心角为α,则:探究点一弧度制的概念【典例1】下列命题中,假命题是 (

)A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的,1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关【思维导引】由题目可获取以下主要信息:各选项中均涉及角度与弧度,解答本题可从角度和弧度的定义着手.【解析】选D.根据角度和弧度的定义可知,无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是和弧长与半径的比值有关,所以D项是假命题,A,B,C项均为真命题.【类题通法】弧度制与角度制的区别与联系区别①单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度”为度量单位;②定义不同.联系不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.【定向训练】下列各说法中,错误的是 (

)A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【解析】选D.根据1弧度角的定义可知选项C正确,D错误;由半圆和周角概念及角度与弧度换算可知A,B项正确.【补偿训练】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧. (

)(2)1弧度是长度为半径的弧. (

)(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和. (

)(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位. (

)【解析】根据弧度制的定义知(4)正确.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√探究点二弧度制与角度制的换算【典例2】(1)将下列角度与弧度进行互化:①20°.②-15°.③.④-.(2)把-1480°写成2kπ+α(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π,并判断它是第几象限角?【思维导引】(1)根据互化公式1°=rad和1rad=°进行换算.(2)先将-1480°化成弧度,再写成2kπ+α(k∈Z)的形式.【解析】(1)①20°=π=.②-15°=-15×=-.③=105°.④-π=°=-396°.(2)-1480°=-1480×=-=-10π+.因为是第四象限角,所以-1480°是第四象限角.【延伸拓展】若本例(2)的条件不变,在[-4π,4π)范围内找出与α终边相同的角的集合.【解析】与α终边相同的角为2kπ+π(k∈Z).由-4π≤2kπ+π<4π知k=-2,-1,0,1.所以所求角的集合为.【类题通法】角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式πrad=180°是关键.(2)方法:度数×=弧度数;弧度数×°=度数.提醒:(1)角度化为弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.(2)角度化为弧度时,其结果写成含π的形式,不必把π写成小数.(3)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.还要注意角度制与弧度制不能混用.【定向训练】设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.(1)将α1、α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限.(2)将β1、β2用角度制表示出来,并指出它们各自所在的象限.【解析】(1)因为180°=πrad,所以-570°=-=-,所以α1=-=-2×2π+,α2=750°==2×2π+.所以α1在第二象限,α2在第一象限.(2)β1=×180°=108°,β2=-=-60°,所以β1在第二象限,β2在第四象限.探究点三弧长公式与扇形面积公式的应用【典例3】(1)设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【思维导引】(1)可由扇形周长和面积建立方程组,通过解方程组求得;(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【解析】(1)选B.设扇形半径为r,弧长为l,由题意得解得则圆心角α==2rad.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.则l=20-2r,所以S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25(0<r<10).所以当半径r=5cm时,扇形的面积最大,为25cm2.此时α==2rad.所以当它的半径为5cm,圆心角为2rad时,扇形面积最大,最大值为25cm2.【延伸探究】用30cm长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【解析】设扇形的圆心角为α,半径为r,面积为S,弧长为l,则有l+2r=30,所以l=30-2r,从而S=·l·r=(30-2r)·r

=-r2+15r=-.所以当半径r=cm时,l=30-2×=15(cm),扇形面积的最大值是cm2,这时α==2rad.所以当扇形的圆心角为2rad,半径为cm时,面积最大,为cm2.【类题通法】弧度制下解决扇形相关问题的步骤:

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,S=αr2和S=lr;(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目中的已知量和待求量,灵活选择公式;(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.【补偿训练】已知扇形面积为25cm2,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取最小值?【解析】设扇形的半径是R,弧长是l,扇形的周长为y,则y=l+2R.由题意得lR=25,则l=,故y=+2R(R>0).利用函数单调性的定义,可以证明当0<R≤5时,函数y=+2R是减函数;当R>5时,函数y=+2R是增函数.所以当R=5时,y取最小值20,此时l=10,α==2,即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取最小值.【课堂小结】7.2.1三角函数的定义

7.2.2单位圆与三角函数线7.2.3同角三角函数的基本关系式7.2.4诱导公式(一)7.2.4诱导公式(二)

7.2任意角的三角函数1.使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于M,设P(x,y),|OP|=r,据此回答下列问题:(1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么?提示:sinα=

,cosα=

,tanα=

.(2)对于确定的角α,sinα,cosα,tanα是否随P点在终边上的位置的改变而改变?提示:sinα,cosα,tanα只与α的大小有关,而与点P的位置无关.2.三角函数值的符号与谁有关?提示:角α的三角函数值的符号与点P的坐标x,y的正负有关.【概念生成】1.任意角的三角函数在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是 .正弦:sinα=

;余弦cosα=

;正切tanα=

.2.(1)三角函数的定义域、值域三角函数定义域值域sinα{α|α∈R}[-1,1]cosα{α|α∈R}[-1,1]tanα

R(2)三角函数值的符号如图所示:正弦:_____象限正,_____象限负;余弦:_____象限正,_____象限负;正切:_____象限正,_____象限负.简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.一二三四一四二三一三二四探究点一任意角三角函数的定义及应用【典例1】(1)若sinα=,cosα=-,则在角α终边上的点有(

)A.(-4,3) B.(3,-4)C.(4,-3) D.(-3,4)(2)若α=-,则sinα=

,cosα=

,tanα=

.

(3)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.【思维导引】(1)由定义确定终边位置,结合函数值求解.(2)在α终边上取一点,利用定义求解.(3)分a>0,a<0两种情况分别求解.【解析】(1)选A.由sinα,cosα的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意.(2)在角-的终边上取一点P ,则r=1,所以sinα=-,cosα=,tanα=-.答案:

(3)因为r= =5|a|,①若a>0,则r=5a,角α在第二象限.sinα=

=

=

,cosα=

=

=-

,所以2sinα+cosα=

-

=1.②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,sinα=

=-

,cosα=

=

,所以2sinα+cosα=-

+

=-1.综上2sinα+cosα=±1.【类题通法】由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤:1.已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值;②在角α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sinα=,cosα=.已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便.2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.【定向训练】已知角θ的终边经过点P(a,a)(a≠0),求sinθ,cosθ,tanθ.【解析】当a>0时, ,得 , , ;当a<0时, ,得

, , .即a>0时, , , ;a<0时, , , .【补偿训练】已知角α的终边落在直线y=2x上,求sinα,cosα,tanα的值.【解析】当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取点P(1,2),由 ,得当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上取点Q(-1,-2),由 得探究点二三角函数值符号的判断【典例2】(1)设θ是第三象限角,且满足 则在第

象限.

(2)判断下列各式的符号:①tan120°sin269°;②cos4tan

.【思维导引】(1)由θ是第三象限角,得所在象限,再由从而确定所在象限.(2)首先确定每个角所在的象限,再判断每个三角函数值的符号.【解析】(1)因为θ是第三象限角,所以2kπ+π<θ<2kπ+π,k∈Z,所以所以在第二、四象限内,又所以sin<0.所以为第四象限角.答案:四(2)①因为120°角是第二象限角,所以tan120°<0.因为269°角是第三象限角,所以sin269°<0.所以tan120°sin269°>0.②因为 所以4弧度角是第三象限角,所以cos4<0,因为所以 是第一象限角,所以所以【类题通法】判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限:确定角α所在的象限.(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.提醒:若sinα>0,则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内,有可能终边落在y轴的非负半轴上.【定向训练】1.若sinαtanα<0,且<0,则角α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选C.由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号,则α为第二象限角或第三象限角,由<0可知cosα,tanα异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.2.确定下列各三角函数值的符号.(1)sin182°.(2)cos(-43°).(3)tanπ.【解析】(1)因为182°是第三象限角,所以sin182°是负的.(2)因为-43°是第四象限角,所以cos(-43°)是正的.(3)因为是第四象限角,所以是负的.【补偿训练】判断下列式子的符号:sin320°·cos385°·tan155°·tan(-480°).【解析】270°<320°<360°,360°<385°<450°,90°<155°<180°,-540°<-480°<-450°,则320°为第四象限角,385°为第一象限角,155°为第二象限角,-480°为第三象限角,所以sin320°<0,cos385°>0,tan155°<0,tan(-480°)>0,所以sin320°·cos385°·tan155°·tan(-480°)>0,即符号为正.探究点三三角函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域:(1)(2)【思维导引】(1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0.(2)由根号下代数式大于等于0,列出不等式组求交集.【解析】(1)要使函数有意义,需tanx≠0,所以x≠kπ+,k∈Z且x≠kπ,k∈Z,所以x≠,k∈Z.于是函数的定义域是(2)要使函数有意义,需得解得2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.所以函数的定义域是【类题通法】三角函数的定义域的求法求函数的定义域,就是求使函数解析式有意义的自变量x的取值范围,注意求解结果应用区间或集合形式表示.【定向训练】求函数 的定义域.【解析】由题意知由y=16-x2的图像解得16-x2≥0的解集为[-4,4].sinx≥0的解集为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.结合数轴知函数定义域为[-4,-π]∪[0,π].【补偿训练】函数 的定义域是

.

【解析】要使函数有意义,则需即x≠kπ+π(k∈Z).答案:

7.2.2单位圆与三角函数线1.如图,设角α为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sinα=y,cosα=x都是正数,你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗?提示:过角α的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则|MP|=y=sinα,|OM|=x=cosα.2.若角α为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sinα=y,cosα=x都是负数,此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?提示:过角α的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则-|MP|=y=sinα,-|OM|=x=cosα.3.由上面1,2知|MP|=|y|=|sinα|;|OM|=|x|=|cosα|,则怎样规定一个适当的方向使线段OM,MP的取值与点P的坐标一致?提示:因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关,所以可以以坐标轴的方向来规定线段OM,MP的方向,当OM,MP的方向与坐标轴的方向相同时,规定为正值;当OM,MP的方向与坐标轴的方向相反时,规定为负值.这样不论P,M的位置在何处,都有其值与点P的坐标一致.4.如何在单位圆中找像OM,MP这样的线段来表示角α的正切?提示:如图,过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α的终边或反向延长线交于点T,根据相似三角形的知识知:【概念生成】1.单位圆(1)一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为_______.(2)角α的_____和_____分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.单位圆余弦正弦2.三角函数线

【思考】三角函数线的方向是怎样确定的?提示:三角函数线的方向,即规定的有向线段的方向:凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值,反向的为负值._______、_______、_______都称为三角函数线.正弦线余弦线正切线探究点一三角函数线的作法【典例1】在单位圆中作出满足cosα=的角α的终边,并作出其正弦线、余弦线和正切线.【思维导引】由cosα=,可作直线x=,与单位圆的交点即为角α的终边与单位圆的交点,然后根据三角函数线的定义得出正弦线、余弦线和正切线.【解析】如图①,作直线x=交单位圆于点P,Q,则OP,OQ为角α的终边.如图②所示,当α的终边是OP时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.当α的终边为OQ时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.【延伸探究】1.将本例中条件“cosα=”改为“sinα=”,其他条件不变,结论如何?【解析】如图①作直线y=,交单位圆于P,Q,则OP,OQ为角α的终边.如图②所示,当α的终边是OP时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.当α的终边为OQ时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.2.将本例中条件“cosα=”改为“cosα≥”,其他条件不变,则角α的终边落在什么范围?【解析】结合典例1的解析可知,当cosα≥时,角的终边与相交,角α的终边落在 内.【类题通法】1.单位圆中求作角的终边的方法(1)若sinα=m,作出直线y=m与单位圆相交,得交点.若cosα=m,作出直线x=m与单位圆相交,得交点.(2)将原点与交点连线所得射线即为所求角的终边.2.三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.【知识延拓】利用三角函数线解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法对于sinα≥b,cosα≥a(sinα≤b,cosα≤a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围.②正切型不等式的解法对于tanα≥c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合正切线可确定相应的范围.【定向训练】分别作出和 的正弦线、余弦线和正切线.【解析】(1)在直角坐标系中作单位圆,如图甲,以Ox轴为始边作角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点,则即的正弦线为,余弦线为,正切线为.(2)同理可作出的正弦线、余弦线和正切线,如图乙.

即-π的正弦线为,余弦线为,正切线为.探究点二利用三角函数线比较大小【典例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小.(1)sinπ与sinπ.(2)tanπ与tanπ.(3)cosπ与cosπ.【思维导引】在直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一看三角函数线的长度,二看正负.【解析】如图所示,画出π与π的正弦线、余弦线、正切线,由图观察可得又(1)sinπ>sinπ.(2)tanπ<tanπ.(3)cosπ>cosπ.【类题通法】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.【定向训练】已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是 (

)A.若α,β是第一象限角,则cosα>cosβB.若α,β是第二象限角,则tanα>tanβC.若α,β是第三象限角,则cosα>cosβD.若α,β是第四象限角,则tanα>tanβ【解析】选D.如图(1),α,β的终边分别为OP,OQ, ,此时所以cosα<cosβ,故A错;如图(2),OP,OQ分别为角α,β的终边,sinα= =sinβ,此时 ,因为tanα=- ,tanβ=-||,所以tanα<tanβ,故B错;如图(3),角α,β的终边分别为OP,OQ,

则sinα>sinβ,此时因为cosβ=-||,cosα=-||,所以cosβ>cosα,故C错.【补偿训练】比较cos和cos的大小.【解析】如图,分别为角 的余弦线,由 且与x轴正向相反知cos>cos.探究点三利用单位圆解三角不等式【典例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sinα≥

.(2)cosα≤-

.【思维导引】作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.【解析】(1)作直线y=,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为.【类题通法】1.通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:(1)作出取等号的角的终边.(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围.(3)将图中的范围用不等式表示出来.2.求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.【定向训练】利用三角函数线,写出满足|cosα|>|sinα|的角α的集合.【解析】如图,作出单位圆.

所以满足|cosα|>|sinα|的角α的集合为 .【课堂小结】7.2.3同角三角函数的基本关系式sinαcosαtanαsin2α+cos2α

30°

45°60°1.写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.提示:下列角的三角函数值为:sinαcosαtanαsin2α+cos2α

30°

1

45°

11160°

1

由表可看出:sin230°+cos230°=1,

=tan30°,sin245°+cos245°=1,

=tan45°,sin260°+cos260°=1,

=tan60°.2.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sinα,x=cosα,

=tanα.(1)能否根据x,y的关系得到sinα,cosα,tanα的关系?提示:sin2α+cos2α=1,tanα=

.(2)公式sin2α+cos2α=1与tanα=

对任意角都成立吗?提示:sin2α+cos2α=1对任意角α均成立,当α≠kπ+

,k∈Z时,tanα=

成立.【概念生成】1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:__________________

(2)商数关系:__________sin2α+cos2α=1.2.常用的等价变形探究点一根据同角三角函数关系求值【典例1】(1)已知sinα=,α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求tanθ与sinθ-cosθ的值.【思维导引】(1)先由平方关系sin2α+cos2α=1,结合α所在象限求cosα,然后由tanα=,求tanα.(2)通过平方求出sinθ·cosθ,再由sinθ-cosθ=得到sinθ-cosθ的值,与sinθ+cosθ=联立,可求得sinθ,cosθ,进而求得tanθ.【解析】(1)因为sin2α+cos2α=1,α是第二象限角,所以 ,故 .(2)由sinθ+cosθ=平方得1+2sinθcosθ=,所以sinθ·cosθ=-,因为θ∈(0,π),所以cosθ<0,sinθ>0,所以sinθ-cosθ= ,与sinθ+cosθ=联立解得,sinθ=,cosθ=-,所以tanθ= .【类题通法】1.求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号,确定角所在的象限.(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论.(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值.2.已知sinα±cosα的求值问题的解法对于已知sinα±cosα的求值问题,一般利用整体代入的方法来解决,其具体的解法为:(1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα),代入sin2α+cos2α=1,根据角α的终边所在的象限解二次方程得sinα的值(或cosα的值),再求其他,如tanα(体现方程思想).(2)利用sinα±cosα及sin2α+cos2α=1,先求出sinαcosα的值,然后结合sinα±cosα的值求解sinα,cosα的值,最后求其他.【定向训练】1.(2020·柳江高一检测)已知sinθ-cosθ=,则sinθcosθ的值是

.

【解析】由sinθ-cosθ=,两边平方可得sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=1-2sinθcosθ=.解得sinθcosθ=.答案:

2.已知sinα=,求cosα,tanα的值.【解析】因为sinα=>0,所以α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时, , ;当α为第二象限角时,cosα=,tanα=-.探究点二化简三角函数式【典例2】化简与求值:(1)(2)【思维导引】(1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式.(2)中所含角α的三角函数次数相对较高,且分子、分母含常数“1”.解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α+cos2α=1”这一条件.【解析】(1)原式=(2)方法一:原式方法二:原式【类题通法】三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.【定向训练】化简下列各式:(1) (α是第二象限角).(2)【解析】(1)tanα·

=tanα·

=tanα·

=

.因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以原式=

(2)

探究点三三角恒等式的证明【典例3】求证:【思维导引】【解析】方法一:因为右边==左边,所以原等式成立.方法二:因为左边=右边=所以左边=右边,原等式成立.【类题通法】证明三角恒等式的基本思路(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简.(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子.(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异.(4)变更命题法,如要证明,可证ad=bc或证等.(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.【定向训练】证明下列三角恒等式:【解析】左边=右边,所以原等式成立.【课堂小结】7.2.4诱导公式(一)1.取角α分别为30°,390°,-330°,它们的三角函数值是什么关系?为什么?提示:它们的同名三角函数值相等,因为三个角的终边相同.2.观察单位圆及角的终边,回答下面的问题:(1)角α与角α+π,-α,π-α的终边有怎样的对称关系?提示:角α与角α+π的终边关于原点对称.角α与角-α的终边关于x轴对称.角α与角π-α的终边关于y轴对称.(2)角α,角π+α,角-α,角π-α的终边与单位圆的交点分别为P,P1,P2,P3,则P与P1,P与P2,P与P3的坐标有怎样的关系?提示:P与P1的横坐标,纵坐标都互为相反数,P与P2的横坐标相同,纵坐标互为相反数,P与P3的横坐标互为相反数,纵坐标相同.【概念生成】1.诱导公式①终边相同的角的同名三角函数值相等.即:cos(α+k·2π)=_______,sin(α+k·2π)=______,

tan(α+k·2π)=______.(k∈Z)

其作用是把绝对值大于2π的任意角的三角函数值转化为[0,2π)上的角的三角函数值.cosαsinαtanα2.诱导公式②角-α与角α的终边关于____对称,cos(-α)=______,sin(-α)=_______,tan(-α)=_______.

其作用是把任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.x轴cosα-sinα-tanα3.诱导公式③角π-α与角α的终边关于____对称,sin(π-α)=_______,

cos(π-α)=________,

tan(π-α)=________.

y轴sinα-cosα-tanα4.诱导公式④角π+α与角α的终边关于_____对称,sin(π+α)=________,cos(π+α)=________.

tan(π+α)=_______.

公式③、公式④的作用是把钝角或大于180°的角的三角函数值转化为0°～90°之间的角的三角函数值.原点-sinα-cosαtanα【特别提醒】1.公式①～④中的角α是任意角.2.公式①②③④都叫做诱导公式,它们可概括如下:(1)记忆方法:2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,可以简单地说成“函数名不变,符号看象限”.(2)解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原三角函数值是取正值还是负值,如sin(π+α),若把α看成锐角,则π+α是第三象限角,故sin(π+α)=-sinα.探究点一利用诱导公式解决给角求值问题【典例1】求下列各三角函数值:(1)sinπ.

(2)cos(-765°).

(3)tan(-750°).【思维导引】用诱导公式将负角化为正角,进而再转化为锐角三角函数求值.【解析】(1)

(2)cos(-765°)=cos765°=cos(2×360°+45°)=cos45°=

.(3)tan(-750°)=-tan750°=-tan(2×360°+30°)=-tan30°=.【类题通法】利用诱导公式求任意角的三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式①或②来转化;(2)“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角;(3)“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角;(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.【定向训练】1.cos510°= (

)A. B. C. D.【解析】选C.cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-.2.求值:(1)(2)【解析】(1)

(2)【补偿训练】求下列三角函数值:(1)sin960°.

(2)cos.【解析】(1)sin960°=sin(960°-720°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-.(2)探究点二利用诱导公式解决化简问题【典例2】化简:(1)sin(-α)cos(-α-π)tan(2π+α).(2)【思维导引】先观察角的特点,选用恰当的诱导公式化简,然后依据同角关系式求解.【解析】(1)原式=(-sinα)·cos(π+α)·tanα=-sinα·(-cosα)·

=sin2α.(2)原式=【类题通法】利用诱导公式解决三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(2)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的切函数化为弦函数.(3)注意“1”的变形应用,即1=sin2α+cos2α=tan.【知识延拓】(1)四组诱导公式的记忆方法:函数名不变,符号看象限(2)0～2π之间的角转化成锐角的方法:

～π转化π-α;π～π转化π+α;π～2π转化2π-α.【定向训练】设k为整数,化简:【解析】当k为偶数时,不妨设k=2m(m∈Z),则原式=当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理,可得原式=-1.故对任意整数k都有原式=-1.探究点三利用诱导公式解决给值(式)求值问题【典例3】(1)若cos(2π-α)=且α∈,则sin(π-α)= (

)A. B. C.-

D.±(2)已知cos,求cos的值.【思维导引】(1)先对已知式子化简,再用同角三角函数基本关系式及诱导公式求解问题.(2)先找出已知和问题中两个角的关系,再用诱导公式求值.【解析】(1)选B.因为cos(2π-α)=cosα=,α∈,所以则sin(π-α)=sinα=-.(2)【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变,如何求cos?【解析】2.若本例(2)中的条件不变,求的值.【解析】因为所以【类题通法】解决条件求值问题策略(1)解决条件求值问题,要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,也可以将所求式进行变形向已知式转化.总之,设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.【定向训练】1.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P(,1),则sin(π-α)= (

)A. B. C. D.-【解析】选A.由角α的终边经过点P(,1),可得r=|OP|=2.根据三角函数的定义有:2.若 则sin(2π+α)等于 (

)A. B.± C. D.【解析】选D.由cos(π+α)=-,得cosα=,所以 (α为第四象限角).【补偿训练】若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为 (

)A.

B.-

C.±

D.以上都不对【解析】选B.因为sin(π-α)=sinα=所以cos(π+α)=-cosα【课堂小结】7.2.4诱导公式(二)

观察如图单位圆及角α与-α的终边.1.角α的终边与-α的终边有何关系?提示:它们的终边关于y=x对称.2.若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),那么角-α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么?提示:由于角α的终边与角-α的终边关于y=x对称,所以P2与P1关于y=x对称,所以P2点的坐标为(y,x).3.结合问题1,2思考-α与α的正弦、余弦值有何关系?提示:sin

=cosα,cos

=sinα.4.你能利用sin

=cosα,cos

=sinα推导出sin

与cosα,cos

与sinα的关系式吗?提示:sin

=

=cos(-α)=cosα,cos

=cos

=sin(-α)=-sinα.【概念生成】1.诱导公式⑤sin=_______,cos=_______.

2.诱导公式⑥sin=_______