2024-2025学年新教材高中数学第五章函数应用5.2实际问题中的函数模型5.2.1实际问题的函数刻画一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第五章函数应用§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画学问点1几类不同增长的函数模型1.☉%7￥@*39*6%☉(2024·巨鹿高一月考)三个变量y1,y2,y3随着变量x的改变状况如下表:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型改变的变量依次为()。A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2答案：C解析：从题中表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,呈指数型函数改变,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数改变。故选C。2.☉%@#992#6#%☉(2024·南充一中高一月考)有一组数据如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现打算用下列函数中的一个近似地表示这些数据满意的规律,其中最接近的一个是()。A.v=log2t B.v=log1C.v=t2-12 D.答案：C解析：A中,当t=1.99时,v=log21.99<1,当t=4时,v=log24=2,明显A不满意;B中,v=log12t,当t=1.99,3.0,4.0,5.1,6.12时v<0,故B不满意;D明显也不满意。故选3.☉%*9@704#￥%☉(2024·新余一中高一月考)某地为加强环境爱护,确定使每年的绿地面积比上一年增长10%,那么从今年起,x年后绿地面积是今年的y倍,则函数y=f(x)的大致图像是()。图5-2-1-1答案：D解析：设今年绿地面积为m,则有my=(1+10%)xm,所以y=1.1x,故选D。4.☉%9@97#8##%☉(2024·邢台二中高一月考)某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,其次次由2个分裂成4个,第三次由4个分裂成8个,…,现有1个这样的细胞,经过y次分裂后得到x个细胞,则分裂的次数y与x的关系为()。A.y=log2x B.y=2xC.y=log2x2 D.y=2x答案：A解析：由题意,x=2y,所以y=log2x。故选A。学问点2常见几类函数模型5.☉%@64*81￥#%☉(2024·运城月考)出租车按如下方法收费:起步价7元,可行3千米(不含3千米);3千米到7千米(不含7千米)按1.6元/千米计价(不足1千米按1千米计算);7千米以后按2.2元/千米计价,到目的地结算时还需付1元的燃油附加费。若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2千米),需付车费(精确到1元)()。A.28元 B.27元 C.26元 D.25元答案：C解析：需付车费7+4×1.6+5.2×2.2+1=25.84≈26。故选C。6.☉%0*43#**4%☉(2024·成都模拟)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每双10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为()。A.200双 B.400双C.600双 D.800双答案：D解析：由题意得10x≥y,即10x≥5x+4000,解得x≥800。所以至少要生产800双。故选D。7.☉%60#@7#9*%☉(2024·武汉二中期中)某单位为激励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10m3的,按每立方米m元水费收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费。某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()。A.13m3 B.14m3C.18m3 D.26m3答案：A解析：因为缴水费16m元,所以该职工用水超过了10m3,其中10m3应缴水费10m元,另外6m元的水费所对应的实际用水为3m3,所以该职工这个月实际用水为13m3。故选A。8.☉%*5#9￥34@%☉(2024·肃南裕固族自治县第一中学高一检测)如图5-2-1-2,向放在水槽底部的烧杯注水(流量肯定),注满烧杯后,接着注水,直至注满水槽,水槽中水面上上升度h与注水时间t之间的函数关系大致是图5-2-1-3中的()。图5-2-1-2图5-2-1-3答案：B解析：起先一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢,与B图像相吻合。故选B。9.☉%7￥803**#%☉端午节期间,某商场为吸引顾客,实行买100送20活动,即顾客购物每满100元,就可以获赠商场购物券20元,可以当作现金接着购物。假如你有1460元现金,在活动期间到该商场购物,最多可以获赠购物券累计()。A.280元 B.320元C.340元 D.360元答案：D解析：由题意可知,1460=1400+20+40,1400元现金可送280元购物券,把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券,再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券,所以最多可获赠购物券280+60+20=360(元)。故选D。10.☉%089@@3##%☉(2024·曲靖一中期中)甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km。图5-2-1-4表示甲同学从家动身到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,其中甲同学在公园休息的时间是10min,那么y=f(x)的解析式为。

图5-2-1-4答案：y=f(x)=1解析：由题图知所求函数是一个分段函数,且各段均是直线,可用待定系数法求得y=f(x)=1题型解决实际问题中的函数的基本步骤11.☉%920#*@￥2%☉(2024·华中师大一附中模拟)某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采纳买一个这种商品赠送一个小礼品的方法。实践表明:礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在肯定范围内,礼品价格为(n+1)元时,比礼品价格为n(n∈N*)时的销售量增加10%。设未赠送礼品时的销售量为m件。(1)写出礼品价格为n元时,利润yn(元)与n(元)的函数关系式;答案：解:当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%)n件,故利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N*)。(2)请你设计礼品的价格,使商店获得最大利润。答案：令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9。所以y1<y2<y3<…<y9=y10。令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8。所以y9=y10>y11>y12>y13>…>y19。所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润。12.☉%￥@#319*5%☉(2024·鄂州二中期末)某家庭进行理财投资,依据长期收益率市场预料,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。(1)分别写出两类产品的收益y与投资额x的函数关系式;答案：解:设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2x(x≥0),结合已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么安排资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?答案：设投资稳健型产品x万元,则投资风险型产品(20-x)万元,依题意得获得收益为y=f(x)+g(20-x)=x8+1220-x(0≤x≤20),令t=20-x(0≤t≤25),则x=20-t2,所以y=20-t28+t2=-18(t-2)2+3,所以当t故当投资稳健型产品16万元,风险型产品4万元时,可使投资获得最大收益,最大收益是3万元。13.☉%#@4*3￥63%☉(2024·梅州高一上期末)一种药剂在病人血液中的含量不低于2g时,它才能起到有效的治疗作用。已知每服用m(1≤m≤12且m∈R)g的药剂,药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)改变的函数关系式近似为y=m3·f(x),其中f(x)=(1)若病人一次服用9g的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?答案：解:由题意,当m=9可得y=3f(x)=30当0≤x<6时,304+x≥2,解得x≤11,此时0≤当6≤x≤8时,12-3x2≥2,解得x≤203,此时6≤x综上可