2025届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线方程与两直线的位置关系作业试题1含解析新人教版

PAGE第九章平面解析几何第一讲直线方程与两直线的位置关系练好题﹒考点自测1.[2024全国卷Ⅱ,5分]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.[2024安徽示范中学联考]已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为 ()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=03.[2016四川,5分]设直线l1,l2分别是函数f(x)=QUOTE图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ()A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)4.[2024四川五校联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB= ()A.30° B.45° C.60° D.90°5.[多选题]下列说法错误的是 ()A.直线的倾斜角越大,其斜率越大B.若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为αC.经过随意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离6.[2024上海模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

7.[2024山西摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0相互垂直,则ab的最大值是.

拓展变式1.(1)[多选题]过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程可能为 ()A.x-y+1=0 B.x+y-3=0C.2x-y=0 D.x-y-1=0(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为.

2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l'的方程;(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l'的方程;(3)若直线l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l'的方程.3.(1)[2024黑龙江哈尔滨模拟]若直线y=-QUOTEx+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,QUOTE),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE(2)[2024江苏,5分]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+QUOTE(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

答案第一讲直线方程与两直线的位置关系1.B因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,故选B.2.B易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-QUOTE=QUOTE,所以直线l2的方程为y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.3.A不妨设P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以QUOTE×(-QUOTE)=-1,则x1=QUOTE.又切线l1:y-lnx1=QUOTE(x-x1),l2:y+lnx2=-QUOTE(x-x2),于是A(0,lnx1-1),B(0,1+lnx1),所以|AB|=2.由QUOTE解得xP=QUOTE,所以S△PAB=QUOTE×2×xP=QUOTE.因为x1>1,所以x1+QUOTE>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.图D9-1-14.C解法一如图D9-1-1,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满意l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必定垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).所以|PC|=QUOTE=2QUOTE.设∠APC=α,则∠APB=2α,在△APC中,sinα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.解法二如图D9-1-1,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满意l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必定垂直于直线y=-x,所以|PC|=QUOTE=2QUOTE,易知圆的半径r=QUOTE,sin∠APC=QUOTE=QUOTE,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.5.ABD对于选项A,当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1<k2,故选项A错误;对于选项B,tanα中的α不肯定在[0,π)内,倾斜角α必在[0,π)内,故选项B错误;对于选项D,截距不是距离,截距可为正数、负数或零,而距离只能是零或正数,选ABD.6.3x-2y=0或x-y+1=0当直线过原点时,直线的斜率为k=QUOTE=QUOTE,此时直线方程为y=QUOTEx,即3x-2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为QUOTE+QUOTE=1,把(2,3)代入可得a=-1,此时直线方程为x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.7.QUOTE由两条直线相互垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=QUOTE(a·2b)≤QUOTE(QUOTE)2=QUOTE,当且仅当a=QUOTE,b=QUOTE时取等号.故ab的最大值是QUOTE.1.AC当直线过原点时,可得斜率为QUOTE=2,故直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为QUOTE+QUOTE=1,将点(1,2)代入,可得QUOTE-QUOTE=1,解得a=-1,故直线方程为x-y+1=0,故所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.故选AC.(2)21x-28y-13=0或x=1因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得QUOTE=QUOTE,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=QUOTE或λ=QUOTE,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.2.(1)解法一直线l的方程可化为y=-QUOTEx+3,可知l的斜率为-QUOTE,因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为-QUOTE.又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y-3=-QUOTE(x+1),即3x+4y-9=0.解法二由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)解法一直线l的方程可化为y=-QUOTEx+3,可知l的斜率为-QUOTE,因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为QUOTE.又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=QUOTE(x+1),即4x-3y+13=0.解法二由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.(3)由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+p=0,则l'在x轴上的截距为-QUOTE,在y轴上的截距为QUOTE.由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=QUOTE·|QUOTE|·|-QUOTE|=4,求得p=±4QUOTE.所以直线l'的方程为4x-3y+4QUOTE=0或4x-3y-4QUOTE=0.3.(1)C过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(QUOTE,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=QUOTE=QUOTE.直线AB的方程可化为QUOTEx+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即QUOTE=QUOTE,解得m=-QUOTE或m=QUOTE.因为点P在第一象限,所以m=QUOTE.故选C.(2)4解法一设P(x,x+QUOTE),x>0,则点P到直线x+