2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷01北师大版

2024-2025学年九年级数学上学期期中考测试卷01一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．一元二次方程的解是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：，∴故选：C．2．随机掷一枚匀称的硬币两次，两次正面都朝上的概率是()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．1【答案】A【解答】随机掷一枚匀称的硬币两次，出现的可能事务有：（正反），（正正），（反正），（反反），两次正面都朝上的概率是eq\f(1,4)。故选：A．3．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】B【解答】解：A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B．正确；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D．两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．4．已知，则的值是A． B． C． D．【答案】D【解答】解：令，分别等于13和5，，，故选：D5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相像的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相像比为故选：B．6．假如关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是A．3 B． C． D．0或【答案】B【解答】解：把代入方程中，得，解得或3，当时，原方程二次项系数，舍去，故选：．7．某工厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值为132万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为：（）A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）×2＝72 C．50（1+x）2＝72 D．50（1+x）+50（1+x）2＝132【答案】D【解答】解：4月份的产值为50×（1+x），5月份的产值在4月份产值的基础上增加x，为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝132，故选D．8．如图，AF∥BE∥CD，且AB＝1，BC＝2.5，ED＝3，则FE的长度为（）A．2 B．1 C．1.2 D．1.5【答案】C【解答】解：∵AF∥BE∥CD，∴＝，∴＝，∴EF＝1.2，故选：C．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（）A．6 B．5 C．4.8 D．4【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵S△ABD＝×AB×AD＝×BD×AF，∴6×8＝10AF，∴AF＝4.8故选：C．10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2024个正方形的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据相像三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后视察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，＝，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴＝∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝；同理可得，A2C2＝（+）2第2个正方形的面积为：S2＝…∴第2024个正方形的面积为：S2024＝．故选：B．二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11.方程x(x+2)=8化成一般形式是________________.【答案】见解答【解答】12．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是cm2.【答案】24【解答】有勾股定理可知另一条对角线的长度：，菱形的面积=6×8×=24cm213．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张登记花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有张．【答案】9【解答】36×25%=9张14．已知a：b：c＝1：2：3，则．【答案】【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，∴．15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），支配支配21场竞赛，应邀请个球队参与竞赛．【答案】7【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场竞赛，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故应邀请7个球队参与竞赛．16．如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为．【答案】60m【解答】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO，且∠AOB＝∠COD，∴△ABD∽△CDO，∴＝，又∵CD＝30m，∴AB＝60m．17．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值．【答案】10【解答】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE最小，∵四边形ABCD为正方形，BE＝2，AB＝8，∠DAB＝90°，∴AD＝AB＝8，AE＝AB＝BE＝6，在Rt△ADE中，依据勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值为10．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18.解方程：（1）；（2）【解答】解：（1），或，所以，；（2）所以，.19．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵在△ABF和△CBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AF＝CE,∠A＝∠C,AB＝CB))，∴△ABF≌△CBE(SAS)，∴∠ABF＝∠CBE.20．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AB＝6，AD＝2，求AC的长．【解答】解：（1）∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝6×2＝12，∴AC＝2；四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参与决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，依据测试成果绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题：（1）①表中a的值为，中位数在第组；②频数分布直方图补充完整；（2）若测试成果不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．组别成果x分频数（人数）第1组50≤x＜606第2组60≤x＜708第3组70≤x＜8014第4组80≤x＜90a第5组90≤x＜10010【分析】（1）①依据题意和表中的数据可以求得a的值；②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；（2）依据表格中的数据和测试成果不低于80分为优秀，可以求得优秀率；（3）依据题意可以求得全部的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．【解答】解：（1）①a＝50﹣（6+8+14+10）＝12，中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均落在第3组内，所以中位数落在第3组，故答案为：12，3；②（2）×100%＝44%，答：本次测试的优秀率是44%；（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，则全部的可能性为：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）所以小明和小强分在一起的概率为：．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．【分析】（1）依据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，依据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）依据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推断出四边形ODFC是平行四边形，依据矩形的对角线相互平分且相等可得OC＝OD，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【解答】证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形ODFC是菱形．23．如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？【分析】（1）设所围矩形的长AB为x米，则宽AD为（80﹣x）米，依据矩形面积的计算方法列出方程求解．（2）假使矩形面积为810m2，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80﹣x）米．依题意，得x•（80﹣x）＝750，即x2﹣80x+1500＝0，解得x1＝30，x2＝50．∵墙的长度不超过45m，∴x2＝50不合题意，应舍去．当x＝30时，（80﹣x）＝（80﹣30）＝25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．（2）不能．因为由x•（80﹣x）＝810得x2﹣80x+1620＝0．又∵b2﹣4ac＝（﹣80）2﹣4×1×1620＝﹣80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)23.如图，已知矩形，，，是上一动点，、、分别是、、的中点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当为何值时，四边形是菱形，说明理由.（3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不行能，请说明理由.【解答】证明（1）、、分别是、、的中点，是的中位线，是的中位线，，，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是菱形，理由如下：在和中，，，，、、分别是、、的中点，，，，四边形是菱形；（3）四边形可能是矩形.若四边形是矩形，则，设，，，，，，，或.故当或时，四边形是矩形.25．如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm.图1图2图3（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，若动点Q从点C动身，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B动身，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒(0≤t＜2)，连接BQ，AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图3，若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点动身，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探究：从运动起先，经过多少时间，以点Q，P，C为顶点的三角形是等腰三角形？恳求出全部可能的结果．【解答】(1)证明：∵AB∥CD，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)解：如图，过点Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t.∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴eq\f(AB,BM)＝eq\f(BP,MQ)，即eq\f(6,8－4t)＝eq\f(4t,3t)，解得t＝eq\f(7,8).(3)解：分为三种状况：eq\a\vs4\al(①如图1，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8－4＝4cm，,∴t＝4秒；,②如图2，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于点M，则,AB∥QM，∴\f(CQ,AC)＝\f(CM,BC)，