中考数学二轮复习模拟题 专题04 反比例函数的应用及综合问题（解析版）

专题四反比例函数的应用及综合问题一、单选题1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，则，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，而，∴．故选：C．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先可证得，得出再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论．【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F，∴，∴，由旋转知，，∴，∴，∴，∴，∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点，∴点，∵点C在反比例函数的图象上，∴，∴，∵，，∴，∴，∵点B在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．3．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移1个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线交于B，若，则k的值为（

）A． B．－7 C． D．【答案】C【分析】设点，点M是y轴正半轴上的一点，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作于点F，证明，确定的长，判定四边形是矩形，继而得到，根据反比例函数的性质列出等式计算即可．【详解】设点，点M是y轴正半轴上的一点，如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作于点F，根据平移的性质，得到，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四边形是矩形，直线与y轴交于点C，∴，∴，∵∴，∵A、B都是双曲线上的点，∴，解得，∴，故选C．4．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，点A是反比例函数图像上一动点，连接AO并延长交图像另一支于点B．又C为第一象限内的点，且，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动．则∠CAB的正切值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：根据轴对称的性质得到．根据等腰三角形的性质得到．根据相似三角形的性质得到，得到，，即可得到结论．【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，．又，．，，，又，，，，，，，，，（负值舍去），的正切值为，故选：A．二、填空题5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图像经过点，函数的图像与直线平行，并且经过反比例函数图像上一点．则函数有最______值，这个值是______．【答案】

大

1【分析】根据待定系数法求出的值，再根据函数的图象与直线平行，求出的值，根据在反比例函数图象上，求出的值．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴；∵函数的图象与直线平行，得到；∴，∵经过反比例函数图象上一点，∴∴,∴，∴，∴二次函数的解析式是．∴∴顶点公式求得它的顶点坐标是，∵，∴它有最大值是1．故答案为：大，1；6．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图，四边形为矩形，轴，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，交的图象于点，若，，，则的值等于___________．【答案】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，进而表示出、、、、的坐标，再根据，，，进行计算即可；【详解】设点的横坐标为，则点的纵坐标为，即，∵点在反比例函数的图象上，而点的横坐标为，∴纵坐标为，即，∵点在反比例函数的图象上，而点的纵坐标为，∴横坐标为，即，∴点在反比例函数的图象上，而点的纵坐标为，∴横坐标为，即，∴，又∵，，，∴，即，，即，，即，由可得；故答案是：．7．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接，Q为的中点．若线段长度的最大值为2，则k的值为_____．【答案】【分析】确定是的中位线，的最大值为2，故的最大值为4，则，则，即可求解．【详解】解：如下图，连接，点O是的中点，则是的中位线，当三点共线时，最大，则最大，而的最大值为2，故的最大值为4，则，设点，则，解得：，，故答案为：．三、解答题8．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．(1)求的值并直接写出点的坐标；(2)点是轴上的动点，连接，求的最小值；(3)是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．【答案】(1)，(2)的最小值为(3)点坐标为或或或【分析】（1）将点代入求得的值，进而求得点的坐标，即可求得的值，根据中心对称求得点的坐标；（2）根据题意，求得，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，当三点共线时，的值最小，求得，根据勾股定理求得，即可求解．（3）设，根据勾股定理得出，，，然后分类讨论即可求解．【详解】（1）解：∵在直线上，∴，解得，∴，∵在上，∴，∴，∵直线和双曲线均关于原点对称，∴关于原点对称，∴；（2）∵，∴点是的中点，∴点的纵坐标为，∴，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，∴，∴，∴当三点共线时，的值最小，∴，∴，∴的最小值为；（3）设，∴，，，①当时，，解得，∴P；②当时，，解得，∴P；③当时，，解得，∴P或；综上所述：点坐标为或或或．9．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值．【答案】(1)，(2)；【分析】（1）先将代入一次函数解析式，求出，再求出反比例函数解析式，联立两个解析式求出点B的坐标；（2）将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小，即可得解．【详解】（1）解：将代入得：，∴，∴，∴反比例函数解析式为：，联立一次函数和反比例函数解析式得：，整理得：，解得：或，当时，，∴；（2）解：由题意得：将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小，设直线平移后的直线的解析式为：，联立一次函数和反比例函数解析式得：，整理得：，则：，解得：，当时，，解得：（不符合题意，舍掉）；当时，，解得：；当时，，∴，如图：过作轴，轴，过作轴，与交于点，过作轴，与交于点，与交于点，则：，．10．（2022·江苏常州·校考二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数即可求；（2）根据点B与点A关于二四象限角平分线对称写出即可；（3）观察函数图象根据其性质直接写出即可．【详解】（1）将点A（2,1）的坐标分别代入一次函数与反比例函数，可得，，，解得：，；（2）∵两点关于直线对称，∴点的坐标为；（3）由得，即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值，由图像可知：或．11．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，轴，，原点是对角线的中点，顶点的坐标为，反比例函数在第一象限的图象过四边形的顶点．(1)求点的坐标和的值；(2)将平行四边形向上平移，使点落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段扫过的面积．(3)若、两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形是菱形，求的长．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用平行于轴的直线上的点纵坐标相等得出的纵坐标，再用距离确定出点的横坐标，将的坐标代入，利用待定系数法即可求出；（2）利用平行四边形的性质得出点点坐标为．设点向上平移个单位，根据在的图象上，列出方程，求出，那么平移过程中线段扫过的面积是的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；（3）利用菱形的性质得出直线的解析式，根据点，在双曲线上求出点，的坐标，再根据两点间的距离公式求出的长．【详解】（1）解：设与轴交于点，轴，、的纵坐标相同．，，，．在反比例函数的图象上，；（2）解：在平行四边形中，原点是对角线的中点，与关于原点对称，．设点向上平移个单位，则在的图象上，，解得．设与相交于，则．平移过程中线段扫过的面积是；（3）解：四边形是菱形，．直线的解析式为，直线的解析式为：，设点的坐标为且，则点的坐标为，、两点分别在反比例函数图象的两支上，，解得：，故的坐标为：，的坐标为，．12．（2021·江苏苏州·校考二模）在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象相交于横坐标为3的点A．(1)求这个一次函数的解析式；(2)如图，已知点在这个一次函数的图象上，点在反比例函数（）的图象上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点.如果点恰好是的中点，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上求出点A坐标为，再代入，求出，问题得解；（2）设点，则点，根据点在反比例函数（）的图象上，求出，，根据点在第一象限内，即可求出点的坐标为．【详解】（1）解：∵横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上，∴将代入得，点A的坐标为，∵点A在直线上，∴，，一次函数的解析式为；（2）解：设点，∵点是的中点，∴点，点在反比例函数（）的图象上，，解得，，点在第一象限内，点的坐标为．13．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”．(1)分别判断的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．(2)如图①，设函数的图象上的“互反点”分别为点过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求b的值；(3)如图②，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．【答案】(1)的图象上不存在“互反点”；是的图象上的“互反点”(2)或(3)或【分析】（1）由定义可知，函数与的交点即为“互反点”；（2）求出，，可得，求出b的值；（3）函数关于直线的对称抛物线解析式为，联立方程组，当时，，因此当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．【详解】（1）解：中，，∴的图象上不存在“互反点”；中，当时，，解得或，是的图象上的“互反点”；（2）解：中，当时，，解得，，中，当时，，解得，，，∴，解得或；（3）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为，由定义可知，“互反点”在直线上，联立方程组，整理得，，解得，当时，与没有交点，此时与有两个交点，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；当时，，∴函数与直线的交点为，当点在直线上时，，解得或，当时，两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．14．（2021秋·江苏南通·九年级校考期末）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支(2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可；（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，得，∴，当时，，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为,∵点在该函数图象上，∴，解得，∴技术改造完成后对应的函数解析式为，，解得，经检验符合题意，∵x为正整数，∴，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．15．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；（2）设，则，则，再分如图1所示，当点P在点G上方时，如图2所示，当点P在点G下方时，求出对应的，并据此建立方程求解即可．【详解】（1）解：把点代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，设，则，∴，∵是反比例函数图像上的一动点．，∴，如图1所示，当点P在点G上方时，∵的面积是2，∴，∴，解得（负值舍），∴；如图2所示，当点P在点G下方时，则，∴，∴，；综上所述，点P的坐标为或．16．（2023春·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．(1)求一次函数的解析式；(2)求双曲线的解析式；(3)若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据相似求出点的坐标直接代入一次函数求解析式即可；（2）将（1）中点坐标代入反比例函数中，直接求解；（3）相似需要分类讨论，然后将边长的关系用未知数表示出来，直接代入函数解析式求解即可．【详解】（1）∵轴于点，轴，∴，∴，∵直线与轴交于点，∴，即，∵，的坐标为，∴，∵，∴，∴，即，将代入，∴，解得，∴，（2）由（1）可知，直接代入，∴，解得，∴；（3）当时，∴，设为，则，∴，直接代入，∴，解得或2，∵，∴，∴，当时，∴，设为，则，∴，直接代入，∴，解得或，∵，∴，∴，综上所述，或．17．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）研制疫苗新药，是治疗新冠肺炎的当务之急．(1)已知某一种测试药物在人体的释放过程中，每毫升血液中的含药量y（毫克）随时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图1所示，结合图中提供的信息解答下列问题：①分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式；②据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于12毫克时，治疗才有效，那么该药的有效治疗时间是多少分钟．(2)现测试另一种新药，其中y（微克）与x（小时）之间成二次函数关系，如图2所示，抛物线的顶点坐标为，抛物线过点．已知这种药物每毫升血液中的含药量大于9微克，则会发生中毒；小于5微克，则没有疗效．如果加大给药量，y与x对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，求那么该药在保证安全的情况下最大有效时间是多少小时．【答案】(1)①当，；当，；②21分钟(2)6小时【分析】（1）分别求得解析式后代入求得x的值的差即为持续时间；（2）求得二次函数的解析式后代入求得x的值的差即可求最大有效时间．【详解】（1）解：①设正比例函数解析式为，当时，正比例函数图象经过点，时，，即，，∴正比例函数的解析式为；设反比例函数的解析式为，当时，反比例函数经过点，时，，即，∴反比例函数的解析式为．②当时，；解得，当时，，解得，∴持续时间为（分钟）．（2）解：设函数表达式，把代入得，由题意得：，当时，，解得：，；∴有效时间为（小时）．18．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；(3)直接写出关于不等式：的解集为______．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由题意，得到，再由，得到，解得即可得到答案；（2）根据题意，先求出，利用待定系数法确定直线关系式，再由直线与轴交于点，代值求解即可得到；（3）解不等式，用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．【详解】（1）解：直线与轴交于点，当时，，即，，直线与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，，，解得，反比例函数的表达式为；（2）解：直线与反比例函数交于点，，即，，解得，直线的表达式为，直线与轴交于点，当时，，解得，即；（3）解：求关于不等式的解集，由（1）（2）可知反比例函数的表达式为，直线的表达式为，解不等式用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围，联立，解得或，即、，数形结合，得到的解集为或，故答案为：或．19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA、OB，求的面积；(3)直线a经过点且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．【答案】(1)反比例函数解析为y=，一次函数解析式为y=-2x+8(2)8(3)M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）【分析】（1）由A点坐标可求得m的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）设直线AB与x轴交于点D，求出D点的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可确定△AOB的面积；（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论，AB、AM、AN分别为平行四边形的对角线，列出相应方程式解得即可．【详解】（1）解：∵反比例函数y=的图像过A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数解析为y=