理论力学公式

理论力学

第一部分静力学

第1章静力学公理和物体的受力分析

1、五大公理(尤其要注意以下三大公理的应用)

公理2二力平衡条件

公理3推理2三力平衡汇交原理

公理4作用和反作用定律

2、约束类型

小结

(1)光滑面约束一—沿法向方向指向物体，FN

(2)柔索约束——-沿绳索背离物体，张力Fr

(3)光滑较链——第

(4)滚动支座一-4，光滑面

(5)球锐链一一-空间三正交分力FAx,FAy,FAz

(6)止推轴承一生间一正交分力心,用工

(7)二力杆约束一——连接两校心，假定受拉或受压

(8)固定端约束-—FAx^Ay,MA

3、物体的受力分析图

步骤：(1)取隔离体，(2)画出所有的主动力，(3)画出所有的被动力

画受力图应注意的问题:

1、不要漏画力

2、不要多画力

3、不要画错力的方向

4、受力图上不能再带约束

5、受力图上只画外力，不画内力。

6、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能

相互矛盾。

7、正确判断二力构件

第2章平面力系

§2.1、平面汇交力系的平衡方程

X工=0

%=。

§2.2、平面力对点的矩的概念及计算（有两种方法）：

方法（1）定义：Mo（F）^±F-h,代数量，正负：逆正顺负.

方法（2）把力分解成：工，Fy,利用合力矩定理计算

§2.3、平面力偶：力和力偶是静力学的两个基本要素

一、力偶矩M=±F・d

a.大小：力与力偶臂乘积

b.方向：转动方向

二、力偶与力偶矩的性质

1、力偶在任意坐标轴上的投影等于零

2、力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

力矩的符号"（力，力偶矩的符号M

3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同

时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。

4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。

三、平面力偶系平衡的充要条件yA/.=o

§2.3平面任思力系

平面任意力系向作用面内一点简化：一个主矢和一个主矩

主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。

平面任意力系平衡方程：

TE

E-

（一矩式）A%-

M

o

（二矩式）ZM八=0两个取矩点连线，不得与投影轴垂直

EM

A=0

EM

（三矩式）6=0三个取矩点，不得共线

EM

C=0

§2.5物系的平衡

一般先分析整体，再局部；

也有先局部再整体，或先局部再局部;

矩心尽量取在较多未知力的交点上;

投影轴尽量与较多未知力相垂直。

2.6平面简单桁架的内力计算

节点法（平面汇交力系）：适用于求解所有杆件的内力。

截面法（平面任意力系）：求解指定杆件的内力

也有用到截面法和节点法的综合应用。

零杆的判断：

①两杆节点无载荷、且两杆不在

一条直线上时，该两杆是零杆。

Si==0

②三杆节点无载荷、其中两杆在$3=0

一条直线上，另一杆必为霎杆

且&=

③四杆节点无载荷、其中两两在

一条直线上，同一直线上两杆

内力等值、同性。

用=-用

先把杆都设为拉力，计算结果为负时，说明是压力，与所设方向相反。

第3章空间力系

重心求解：（形心公式）

（1）分害1法

（2）负面积法

第4章摩擦

静滑动摩擦力o<尸<尸p=f工

动滑动摩擦力Fd=fd，FN

全约束力FRA

摩擦角：物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角

tan（p{=fs

滚动摩阻Mmax

最大滚动摩阻M二殂

maxN

第5章点的运动学

5.1矢量法（定义）

运动方程r=r(t)

一小。)

速度V=---------

dt

_dv(t)d2r

加速度d-------=-----

dtdr

5.2直角坐标法

运动方程X二%⑺

y=y（0

Z=Z⑺

运动轨迹（由运动方程消除参数t得到）

速度

一d7dx；dyrdz/：

v=一二一i+―/H--k=vi+匕,/+v7kr

dtdtdtdtYxyz

—「包V

山y水〜天

加速度

_dvdv:dv=dv-—►——♦*■

a=——=--xi+--/■+^k=ai+a„i+ak

dtdtdrdrvA）JZr

22

d^xdxdvd2ydvzdz

dtd/2dtdr2由dr2

5.3自然法

运动方程s=/Q)

速度：ds

V=一

dt

ds/dt>0,则速度与工的正向相同

加速度：

dvv2/—-----—

a=4+"n=/+74=加+，\

切向加速度dvd2s"P

a,=一二

法向加速度V2_1,由、2

­二一（7）

ppdr

第六章刚体的基本运动

6.1刚体的平行移动

刚体的平移定义：

刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称

为平行移动。

结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各

点的速度相同，加速度也相同。

6.2刚体绕定轴的转动

运动方程:9=单位:弧度(rad)

角速度：

大小:也

d(p

co-——〈dr

dr

、方向：逆时针为正

27m7m、

0=而=球讪网周

角加速度:

dco=粤=而=@

a=

dtd?

a与3方向一致为加速转动，a与。方向相反为减速转动

当。=常数,为匀速转动；当［=常数，为匀变速转动。

6.3转动刚体内各点的速度和加速度

即转角。、角速度①和角加速度。是对刚体定轴转动的整体

运动的描述。

而刚体内各点的速度、加速度是刚体绕定轴转动的局部性质的度量。

点的运动方程：s=R(p

速度：v—s—R(p—RCD

大小：角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积。

方向：沿圆周的切线而指向转动的一方。

加速度：

at=^-=Ra

2

V2

an=—=Reo

P

a=a2+co,

切向加速度大小：角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘

积。

方向：由角加速度的符号规定

6.4轮系的传动比

如=±生=±里=±三

6y2KZ]

第7章点的合成运动

7.1相对运动牵连运动绝对运动

一个动点，两个坐标系，三种运动

一.动点：所研究的点（运动着的点）

二.两个坐标系

1.静坐标系（静系）

2.动坐标系（动系）：

三.三种运动及三种速度与三种加速度

1.绝对运动：动点对静系的运动。

点的运动

2.相对运动：动点对动系的运动。

3.牵连运动：动系相对于静系的运动——A刚体的运动

相对轨迹

相对速度K

相对加速度ar

绝对轨迹

绝对速度va

绝对加速度3a

牵连速度％和牵连加速度aQ

在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称

为动点的牵连速度和牵连加速度

四、动点的选择原则：

一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。

五、动系的选择原则：

动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直

接看出的。

7.2点的速度合成定理

动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度

的矢量和

7.3点的加速度合成定理

H=无+2+%

（1）动系作定轴转动：

科氏加速度a=2a）xv

Cer

ac=24匕sin0

方向按右手法则确定

（2）动系作平移：a=0

一般地

五：十万:=5；+五;+5；+万：+ac

二.解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量（速度，

角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角

加速度未知量。

注意：

（1）选择接触点为动点：机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一

个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。

（2）选择非接触点为动点：特点是相接触两个物体的接触点位置都

随时间而变化。此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择

满足前述的选择原则的非接触点为动点O

速度问题：一般采用几何法求解简便，即作出速度平行四边形；

加速度问题：往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法求解,

投影轴的选取依解题简便的要求而定。

第八章刚体的平面运动

§8-1刚体平面运动的概述和运动分解

一.刚体平面运动的定义

在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，

这种运动称为平面运动。即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某

一平面内运动。

二.平面运动分解

刚体的平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动，其中平移的速

度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角

加速度与基点的选择无关。

§8-2求平面图形内各点速度的基点法

L基点法

「大小vBA=BA-co

^BA=Y

_方向垂直于AB,指向同CO

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的

速度的矢量和。

2.速度投影定理

同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

（"B）AB=（"A）AB

§8-3求平面图形内各点的瞬心法

一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点,

称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。

平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速

度。

3.速度瞬心的确定方法

（1）已知,可的方向,

且打不平行于。B。

（2）

以不垂直于AB

%=%+^AB

n=0n①AB=°

n玛=以=%/

瞬时平移（瞬心在无穷远处）

(3)纯滚动约束(只滚不滑)

v

C

瞬时平移与平移的区别:

此时AB杆上各点的速度都相等,但各点的加速度并不相等。

设匀(0,贝U%=%"=0A■8(1)

而dB的方向沿OB的，aAwaB

注意的问题：

①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不

断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。

②速度瞬心处的速度为零，加速度不一定为零。不同于定轴转动

③刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速

度是不一定相同的。不同于刚体作平动。

§8-4用基点法求平面图形内各点的加速度

aBA

大小aBA=AB-a

方向垂直于AB，指向同a

大小aBA=〃•AB

方向由6指向A

平面图形内任一点的加速度等于基点的

加速度与i该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量

和。

第九章质点动力学的基本方程

§9-1动力学的基本定律

第一定律（惯性定律）

不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

第二定律（力与加速度之间关系定律）

—►

ma=F

第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反,沿着同

一直线，且同时分别作用在这两个物体上。

§9-2质点的运动微分方程

矢量形式:

ma=YFj

d叩YF

m―T=LF；

d?

1.在直角坐标轴上的投影

2.在自然轴上的投影

第十章动量定理

§10-1动量与冲量

一.动量(momentum)

1、质点的动量p=mv

2、质点系的动量

p=Yjmivi=mvc

二、冲量(Impulse)i=\

1、常力的冲量I=Ft

2、变力的元冲量di=Fdt

在。〜12内的冲量7=J户力

冲量的单位与动量单位同。"

N-s=kg-rrVs2-=kg-m/s

§10-2动量定理

1.质点的动量定理

d(mv)=Fdt=di

微分形式:

积分形式：

mv2-mv{"J"Fdt=I

2.质点系的动量定理!

微分形式：亚=工月⑻

投影式：,力,

色,工⑻—=EF（e）—=SF-e）

积分形式：〃

1=1

投影式

Plx-Plx=Z4"P2y-Ply=»；P2z-Plz="；）

3.质点系动量守恒定律

若汇4⑷三0,万=恒矢量

若^可）三。，P"恒量

10-3质心运动定理

一、质心运动定理

.这E"）

1=1

在直角坐标轴上的投影式为：

机％工⑻

m%=Z碟）macy=£F,=E

在自然轴上的投影式为：

m耕商=£璟0=2招

dip

二、质心运动守恒定律

若XK⑻三o,用二恒矢量

若Z月⑻三。，%=恒量

应用质心运动定理解题的步骤如下：

（1）选取研究对象，分析受力（画出质点系所受全部外力，包括主动力和约

束反力）。

（2）如果外力主矢等于零，或外力在某轴上的投影为零，则应用质心运动守

恒定理求解。若初始静止，则质心的坐标保持不变。分别计算两个时刻质

心的坐标（用各质点的坐标表示），令其相等，即可求出所要求的某质点位移。

（3）如果外力主矢不等于零，若已知质心的运动规律，先求出质心加速度,

然后应用质心运动定理求未知力（一般为约束反力）；若已知作用于质点系

的外力，先计算质心坐标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。

第十一章动量矩定理

§11-1质点和质点系的动量矩

一、质点的动量矩

对点0的动量矩(加)=/义加

对z轴的动量矩

二者关系

[Mo(mv)l=Mz(mv)

二、质点系的动量矩

r〃_

对点的动量矩工0=?而0(mW)

1=1

对轴的动量矩L=£"一(加死)

i=l

二者关系

泡=4

（1）刚体平移Lo=Mo（mvc）Lz=M:（mvc）

（2）刚体绕定轴转动

Lz=JzCO

转动惯量

Jz=Xmy；

（3）刚体做平面运动L1=M「（而c）+JcG

§11-2动量矩定理

一、质点的动量矩定理

矢量式：—Mn(mv)=Mn(F)

at

投影举：dd_

^Mx(mv)=Mx(F)—My(mv)=My(F)—MXmv)=Mz(F)

二、质点系的动量矩定理

矢量式：血=工面0（6亿））

dt

投影式与=，蛆出⑹）等=ZM,巾）生/监印）

三、动量矩守恒定律

若Z双。（户'））三o，=恒矢量

若工友。（户,））三°，4二恒量

§11-3刚体绕定轴的转动微分方程

一、转动微分方程:

=2%(月)

或dco（一

或九1r

噂=1X（齐）

§11-4刚体对轴的转动惯量

Jz=Em"

一、简单形状物体的转动惯量计算

（1）均质细直杆对一端的转动惯量J=-ml2

z3

（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量J

（3）均质圆板对中心轴的转动惯量J=」水2

二、回转半径（惯性半径）”2

Jz=

三、平行轴定理

J=J+md2

z7Z7c

要求记住三个转动惯量支

mR2

(1)均质圆盘对盘心轴的转动惯量2

(2)均质细直杆对一端的转动惯量ml2

3

(3)均质细直杆对中心轴的转动惯量ml29

12

§11-5质点系相对于质心的动量矩定理

一.对质心的动量矩

Lo=rcxmvc+Lc

二相对质心的动量矩定理

等二乞后。宙⑻)

§11-6刚体的平面运动微分方程(★)

、

mac=£户⑻

矢量式:

]

Jca=YMc{F^)

投影式:

第十二章动能定理

§12-1力的功

一、常力在直线运动中的功

W=Fcos3-S=Fs

二、变力在曲线运动中的功

元功dW=Fdr

^W=Fxdx+Fxdy+F:dz

三、几种常见力的功(★)

1.重力的功Wn=mg(zC}-zC2)

重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

叱2笥3；*)

2.弹性力的功

弹性力的功也与路径无关

3.定轴转动刚物体上作用力的功

%=也(02-。1)

4.任意运动刚体上力系的功

dW=FR'-drc^Mcd(p

§12-2质点和质点系的动能(★)

2

1.质点的动能TJL--mfIvLV

2

2.质点系的动能丁=E3mM之

(1)平移刚体的动能T=-mv2

2°

1°

(2)定轴转动刚体的动能T=-"

2

(3)平面运动刚体的动能T=1mvc+1人疗

平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之

和.

§12-3动能定理

1.质点的动能定理

微分形式：d(-mv2)=8W

2

1212uz

———mvx=Wn

积分形式:

2.质点系的动能定理

微分形式:dT二2训.

积分形式:4=Z叱

3.理想约束及内力的功

称约束力作功等于零的约束为理想约束.

内力作功之和不一定等于零.

对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可.

刚体的内力功之和等于零。

不可伸长的绳索内力功之和等于零。

一般情况下，滑动摩擦力作负功。但当物体在固定面上作纯滚动时,

滑动摩擦力不作功。

§12-5势力场.势能.机械能守恒定律

(1)重力场中的势能

V=m<g(z-z0)

(2)弹性力场的势能

2

R)二0为零势能点，则V=-^

(3)万有引力场中的势能2门］、

V=制利-----

Mr)

取零势能点在无穷远1/=_®丝1

3.机械能守恒定律

—+匕

小结：动力学的普遍三大定理的应用(★)

(1)三大定理，首选动能定理

(2)动能定理的积分形式可求也切

当为函数关系式，两边求导可求得相应的凡。

(3)用动能定理求、⑼,再用刚体平面运动微分方程(即动量

和动量矩定理)求力。

第十三章达朗贝尔原理(动静法)

§13-1惯性力•质点系的达朗伯原理

惯性力的概念£=_次祝

§13-1惯性力•质点的达朗贝尔原理

质点的达朗贝尔原理

户+氐+月=0

§13-2质点系的达朗贝尔原理

质点系的达朗贝尔原理

E+用+£=。z=1,2,•••,7?

§13-3刚体惯性力系的简化(★)

一、刚体平移

惯性力系向质心简化:

只简化为一个力心=一哂

M/c=0

二、刚体定轴转动

1、向o点简化：★鼠=一网

作用在。点Ml0=-Joa

2、向质心c点简化=~Mac

作用在。点0T

MIC=-Jc-a

三、刚体作平面运动（平行于质量对称面）

向质心简化

=-Ma

FIRc

M=—Jra

应用动静法求动力学问题的步骤及要点：

①选取研究对象。原则与静力学相同。

②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。

④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进

行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解求知量。

［注］£R,Ml（）的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，

只需按ma,M=Ja代入即可。

FLTKR=rC'1iUnnU

第十四章虚位移原理

虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题

的另一途径。

本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。

§14-1虚位移

一、虚位移

在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为

虚位移，只与约束条件有关.

实位移:质点系真实实现的位移d入d%d夕

虚功：力在虚位移上作的功称虚功

dw=Fdr6W=Mb(p

理想约束：3%=.诳=°

光滑固定面约束、光滑钱链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端等约束

为理想约束.

§14-2虚位移原理

2户可二。

解析式为2亿配+%4+匕酝)二。

解题方法：

(1)几何法：给虚位移3〃,3%

位移与作用力方向一致时，虚功为正；反之为负。

(2)解析法：

Z(4阴+月闻+月函)=。

力在坐标轴上的投影与坐标轴正向一致时虚功为正；反之为负。

(3)虚速度法：给定虚速度

/—运入逅

人心’B"

虚功方程FBVB-FAVA=0

第十五章碰撞

§15-1碰撞现象

碰撞一物体与物体之间，在极短的时间内，发生有限量的动量传递与能

量转换，同时伴随有极大的撞击力的动力学过程。

•碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。

研究碰撞问题的两点简化：

(1)在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力(重力、弹性力等)的冲

量可忽略不计。

(2)在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计。

上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此在具体问题的分析

中，一定要分清碰撞过程和一般过程；分清运动的三个阶段，即撞前的运

动，碰撞阶段和撞后的运动。

§15-2用于碰撞过程的基本定理

1.用于碰撞过程的动量定理一一冲量定理

h上mM-mv=[Fdt=I

质点：J。

I---碰撞冲量

质点系：

e）

或mv'c-mvc=Xl-

质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量

的主矢。

2.用于碰撞过程的动量矩定理一一冲量矩定理

L（）2-%=E。x=Z

质点系在碰撞开始和结束时对点0的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对

同一点的主矩。

3.碰撞时定轴转动刚体的动力学方程

4.碰撞时平面运动刚体的动力学方程

加比-〃2%

mv'Cy-mvCy=Hl^

人你一心例=EMc（],“））

注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！

§15-3恢复系数

考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段

恢复系数一一碰撞的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比，用k表示:

k_VH~VA

两球的正碰撞：＜以一也

k=IK

球A与固定平面的正碰撞情形：N九

女"丈

碰撞系数表达式的一般形式：71丫；

吸’一碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度；

匕一碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。

•恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也描述了物体变形的恢复程度。

恢复系数的取值范围：

0＜女＜1非完全弹性碰撞：能题耗，变形不能完全侬；

k=l完全弹性碰撞：无能朝耗，碰撞后变形完全恢复；

k=0完全非弹性碰撞（塑胭撞）：变形完全不能恢复。

§15-4撞击中心

对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰撞冲量通过撞击中

心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线，则在转轴轴

承处不会引起碰撞约束力。

撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线上；撞击中心

h="_

到转轴的垂直距离为，阳，式中a是质心到轴心的距离。

§15-5碰撞问题举例

例题1

由项物方磕

〃/2=._吟

解得碰撞后两个球的速度分别为

鹿）雪

碰撞前系统的总动能看=；%

11

碰撞后系统的总动能T—m,v：+—m

222

碰撞前、后系统动能的变化

△了=『用=我（?厂%）（以+%）+%♦电

■J=，-6+k）—二—（以-VB）

嚼=扬+（1+上）———（以-1%）

mA+mB

△T=；(l+k)

啊吗(VJ-VJ)(V.<-VB+VA，-VS)

m.+ms

碰撞前、后系统动能的变化

啕^f)9f+忆7)

:M+啊、

>=&=%T,

f

2{mA+mB)

两种特殊情形下，3前、后系统动能的变化

完全弹性碰撞——k=l9^T=T2-T]=0o

碰撞过程中没有能量损失。

塑性碰撞人=0,动能损失为

△T=吗尸3

2(利a+m

若VB=0

2(m4+m

T12

Tl=~m4VA

-^-+1

mJR5

常见几何体］转动惯量公式表

描述图形转动惯量注解

此表示法假设了

壳的厚度可以忽

I=mr2略不计。此为下

一个物体，当其

力=及时的特例。

2

两端开逋A=(r/+r2)

的厚圆

柱，内半22

I=I=[3(rt+r2)+冏

径n,外xy

半径22，orwhendefiningthenormalizedthickness%=t/r

andlettingr=22,

局b质量

2

thenL=mr(1-tn+萧)

此为前面物体，

当其n=0时的特

例.

薄圆盘，此为前面物体，

半径为r，当其次加寸的特

质量3

半

圆

此为后面环面,

质

径

当其“方寸的特

量