《数学》复习人教A（新高考）-第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过

的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有

公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.两点不在同一条直线上一个2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α平行公理：平行于同一条直线的两条直线

.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

.3.平行公理(公理4)和等角定理互相平行相等或互补4.异面直线所成的角锐角(或直角)1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (

) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (

) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. (

) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面. (

)

解析

(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.×××√2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，

AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析

连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，

故∠D1B1C或其补角为所求的角.

又B1D1＝B1C＝D1C，

∴∠D1B1C＝60°.C3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，

BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件_____________时，四边形EFGH为菱形； 解析

(1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH， ∴AC＝BD.AC＝BD3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，

BC，CD，DA的中点，则

(2)当AC，BD满足条件__________________________时， 四边形EFGH为正方形.

解析∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∴AC＝BD且AC⊥BD.AC＝BD且AC⊥BD4.(多选题)(2021·新高考8省联考)下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中(

)

A.AE∥CD

B.CH∥BE C.DG⊥BH

D.BG⊥DEBCD解析

还原为正方体即可.5.(2021·日照质检)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 (

) A.l与l1，l2都不相交

B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交

D.l至少与l1，l2中的一条相交 解析由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.D解析如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，C考点分层突破题型剖析考点聚焦21.(多选题)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是 (

)

解析

对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面.考点一平面的基本性质及应用///////自主演练ABC2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，

C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(

) A.直线AC

B.直线AB C.直线CD

D.直线BC

解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β， 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面β的交线上.

又因为C∈平面ABC，C∈β， 所以点C在平面β与平面ABC的交线上， 所以平面ABC∩平面β＝CD.C3.在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P (

) A.一定在直线BD上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或BD上

D.不在直线AC上，也不在直线BD上 解析

如图所示， 因为EF⊂平面ABC，

HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P， 所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.

又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.B1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.感悟升华【例1】(1)(多选题)(2021·广州六校联考)如图，在正方体

ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1

的中点，下列结论正确的是 (

) A.AP与CM是异面直线 B.AP，CM，DD1相交于一点

C.MN∥BD1 D.MN∥平面BB1D1D

解析

(1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC， 所以AP与CM是相交直线， 又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1， 所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确.

令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.

因为M，N分别是C1D1，BC的中点，考点二空间两直线的位置关系///////师生共研BD则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确.【例1】(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，

△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的 中点，则 (

) A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析

取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形， 所以EO⊥CD， 又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO⊂平面ECD， 所以EO⊥平面ABCD.B所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B.空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.感悟升华【训练1】(1)(2020·河南名校联考)已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则 (

) A.m与n异面 B.m与n相交

C.m与n平行 D.m与n平行、相交、异面均有可能 解析

因为m⊥l，n⊥l，结合长方体模型可知m与n可以相交，也可以异面，还可以平行.D【训练1】(2)(多选题)(2021·重庆质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是 (

) A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC C.MN∥AC D.MN⊥PB

解析

如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC， 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC， 所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α， 又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN， 因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.

若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC， 事实上AC∩CH＝C，C说法不正确； 因为PC＝BC，H为PB的中点， 所以CH⊥PB，又CH∥MN， 所以MN⊥PB，D说法正确.ABD解析法一如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，考点三异面直线所成的角///////典例迁移C于是在△DMO中，由余弦定理，法二以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.解析如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.D又OB＝3，

∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∵SO⊥OF，

∵OC⊥OF，

∴在等腰△SCF中，解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，解设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，解之得t＝3，则AA1＝3.1.综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线.(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.2.向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值.感悟升华立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养.立体几何中的截面问题

解析

如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ.A作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.素养升华A解析延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1.(多选题)(2021·重庆一中月考)下列说法正确的是 (

) A.梯形的四个顶点共面

B.三条平行直线共面

C.有三个公共点的两个平面重合

D.三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面 解析因为梯形的两个底边相互平行，所以其四个顶点共面，故A正确； 例如三棱柱的三条平行棱不共面，故B错误；

C中的两个平面重合或相交，故C错误； 三条直线交于同一点时，可确定3个平面，三条直线不交于同一点时，只能确定一个平面，D正确.AD2.如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的底面是正三角形， 侧棱AA′⊥底面ABC，AB＝9，AA′＝3，点P在四边 形ABB′A′内，且P到AA′，A′B′的距离都等于1， 若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A′D平行的 直线交三棱柱ABC－A′B′C′于点P，Q两点，则点Q所在平面是(

) A.ACC′A′ B.BCC′B′ C.ABC D.ABB′A′

解析

如下图所示，连接A′P并延长交直线AB于点M，C由于点P在四边形AA′B′B内，且点P到AA′，A′B′的距离都等于1，可知∠AA′M＝45°，则△AA′M为等腰直角三角形，且AM＝AA′＝3＜AB，所以，点M在线段AB上.连接DM，由于点P在线段A′M上，过点P作PQ∥A′D交DM于点Q，则点Q即为所求，且点Q在线段DM上，因此，点Q在平面ABC内.故选C.3.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 (

) A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面； 若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c， 则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.C解析如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，所以异面直线A1C与AD所成的角就是A1C与A1D1所成的角，即∠CA1D1(或其补角).连接D1C.易得△A1D1C为直角三角形，∴∠CA1D1＝60°.C5.(多选题)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(

)

解析图A中，直线GH∥MN； 图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面； 图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN， 因此GH与MN异面.BD解析设四面体ABCD的棱长为2，取CD的中点N，连接MN，BN，∵M是棱AD的中点，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角.C二、填空题7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.48.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧

AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1

与BC所成角的正切值为________.

解析

取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以AD∥BC， 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角.

因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面， 所以C1D⊥AD，9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，

EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是______________.

解析

还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.

易知GH与EF异面，BD与MN异面.

又△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角， 易证DE⊥AF，MN∥AF， ∴MN⊥DE.

因此正确的序号是②③④.②③④三、解答题10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求异面直线AC与A1D所成角的大小； 解

如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角.

在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°.

故异面直线A1D与AC所成的角为60°.10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.

解

连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1， 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC.

所以EF⊥A1C1.

故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.11.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：

(1)当AB＝BC时，EF⊥AC； 证明

(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC， 所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.

又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.

又BD∩BB1＝B， 所以AC⊥平面BB1D1D.

由于EF⊂平面BB1D1D， 所以EF⊥AC.11.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABC