《数学》复习人教A（新高考）-第4节　随机事件的概率-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第4节随机事件的概率-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第4节随机事件的概率-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第4节随机事件的概率-教师复习验收卷第4节随机事件的概率知识梳理1．概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝13．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)＝1－P(B)．1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值．()(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.()(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为()A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65答案B解析由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9,所以样本数据落在区间[10,40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.3．某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件"至少有一名女生”与事件"全是男生”()A．是互斥事件,不是对立事件B．是对立事件,不是互斥事件C．既是互斥事件,也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件答案C解析"至少有一名女生”包括"一男一女”和"两名女生”两种情况,这两种情况再加上"全是男生”构成全集,且不能同时发生,故"至少有一名女生”与"全是男生”既是互斥事件,也是对立事件．4．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7答案B解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,它们彼此是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.5．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压．为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名答案B解析由题意,第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,即第二天确保完成新订单1600份,减去超市每天能完成的1200份,加上积压的500份,共有1600－1200＋500＝900(份),至少需要志愿者900÷50＝18(名)．6．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________．答案eq\f(1,6)eq\f(2,3)解析甲、乙两球都落入盒子的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6);事件A："甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是eq\o(A,\s\up6(－))："甲、乙两球都不落入盒子”,P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3),所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).考点一随机事件的关系1．在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件"2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10),那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡答案A解析由题意知"2张全是移动卡”的对立事件是"至多有一张移动卡”,又1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10),故"至多有一张移动卡”的概率是eq\f(7,10).2．口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A＝"取出的两个球同色”,B＝"取出的两个球中至少有一个黄球”,C＝"取出的两个球至少有一个白球”,D＝"取出的两个球不同色”,E＝"取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)＝1.答案①④解析当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,②不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,③不正确;显然A与D是对立事件,①正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)＝1,④正确．3．(多选题)(2021·烟台模拟)下列命题正确的是()A．对立事件一定是互斥事件B．若A∩B为不可能事件,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A,B,C两两互斥,则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．事件A,B满足P(A)＋P(B)＝1,则A,B是对立事件答案AB解析由对立事件的定义可知A正确;由于A∩B为不可能事件,所以A,B互斥,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B),即B正确;事件A,B,C两两互斥,并不代表A∪B∪C是必然事件,故C不正确;D中,设掷一枚硬币3次,事件A："至少出现一次正面”,事件B："3次出现正面”,则P(A)＝eq\f(7,8),P(B)＝eq\f(1,8),满足P(A)＋P(B)＝1,但A,B不是对立事件,故D不正确．感悟升华1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生．2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件．考点二随机事件的频率与概率【例1】(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?解(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq\f(40,100)＝0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq\f(28,100)＝0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq\f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为eq\f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,厂家应选甲分厂承接加工业务．感悟升华1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率．【训练1】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温低于20,则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100;若最高气温位于区间[20,25),则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300;若最高气温不低于25,则Y＝450×(6－4)＝900,所以,利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.考点三互斥事件与对立事件的概率【例2】经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率．解记"无人排队等候”为事件A,"1人排队等候”为事件B,"2人排队等候”为事件C,"3人排队等候”为事件D,"4人排队等候”为事件E,"5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥．(1)记"至多2人排队等候”为事件G,则G＝A∪B∪C,所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记"至少3人排队等候”为事件H,则H＝D∪E∪F,所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记"至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.感悟升华1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及"至多”、"至少”型问题,多考虑间接法．【训练2】(1)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08(2)(多选题)(2021·武汉调研)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是eq\f(1,2),甲获胜的概率是eq\f(1,5),下面结论正确的是()A．甲不输的概率eq\f(7,10)B．乙不输的概率eq\f(4,5)C．乙获胜的概率eq\f(4,5)D．乙输的概率eq\f(1,5)答案(1)C(2)ABD解析(1)记"抽检的产品是甲级品”为事件A,是"乙级品”为事件B,是"丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.(2)因为甲、乙两人下成和棋的概率是eq\f(1,2),甲获胜的概率是eq\f(1,5),所以甲不输的概率eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10),故A正确;所以乙不输的概率1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5),故B正确;所以乙获胜的概率1－eq\f(1,5)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,10),故C错误;所以乙输的概率即为甲获胜的概率是eq\f(1,5),故D正确,故选ABD.A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．甲、乙二人比赛,甲胜的概率为eq\f(3,5),则比赛5场,甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%答案D解析由概率的意义知D正确．2．设事件A,B,已知P(A)＝eq\f(1,5),P(B)＝eq\f(1,3),P(A∪B)＝eq\f(8,15),则A,B之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件答案B解析因为P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件．3．从正五边形的五个顶点中,随机选取三个顶点连成三角形,对于事件A："这个三角形是等腰三角形”,下列推断正确的是()A．事件A发生的概率是eq\f(1,5)B．事件A发生的概率是eq\f(2,5)C．事件A是不可能事件D．事件A是必然事件答案D解析从正五边形的五个顶点中,随机选取三个顶点连成三角形都是等腰三角形,故事件A是必然事件．4．(2020·太原模拟)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)＝0.7,P(B)＝0.2,则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝()A．0.5B．0.1C．0.7D．0.8答案A解析∵随机事件A和B互斥,且P(A∪B)＝0.7,P(B)＝0.2,∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5,∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.5．(多选题)(2021·重庆调研)将一枚骰子向上抛掷一次,设事件A＝{向上的一面出现奇数点},事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2},事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4},则下列说法中正确的有()A.eq\o(A,\s\up6(－))B＝∅B.eq\o(B,\s\up6(－))C＝{向上的一面出现的点数大于3}C．Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))C＝{向上的一面出现的点数不小于3}D.eq\o(ABC,\s\up6())＝{向上的一面出现的点数为2}答案BC解析由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,3,5;事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,2;事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4,5,6.所以eq\o(A,\s\up6(－))B＝{向上的一面出现的点数为2},故A错误;eq\o(B,\s\up6(－))C＝{向上的一面出现的点数为4或5或6},故B正确;Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))C＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6},故C正确;eq\o(ABC,\s\up6())＝Ω,故D错误,故选BC.6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A．"至少有一个黑球”与"都是黑球”B．"至少有一个黑球”与"都是红球”C．"至少有一个黑球”与"至少有一个红球”D．"恰有一个黑球”与"恰有两个黑球”答案D解析A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含"一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系．7．根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为：O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为()A．15%B．20%C．45%D．65%答案D解析因为某地区居民血型的分布为O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现在能为A型病人输血的有O型和A型,故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%,故选D.8．抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示"小于5的偶数点出现”,事件B表示"小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A＋eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3),P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3),所以P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3),因为eq\o(B,\s\up6(－))表示"出现5点或6点”的事件,所以事件A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥,从而P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).二、填空题9．"键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利,却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对"键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中,有14人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有9600人,则可估计该地区对"键盘侠”持反对态度的有________人．答案6912解析在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25),则可估计该地区对"键盘侠”持反对态度的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．10．从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A＝{抽到一等品},事件B＝{抽到二等品},事件C＝{抽到三等品},且已知P(A)＝0.65,P(B)＝0.2,P(C)＝0.1,则事件"抽到的不是一等品”的概率为________．答案0.35解析事件"抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,由于P(A)＝0.65,所以由对立事件的概率公式得"抽到的产品不是一等品”的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.11．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是________．答案0.25解析设年降水量在(200,300),(200,250),(250,300)的事件分别为A,B,C,则A＝B∪C,且B,C为互斥事件,所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.12．一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为eq\f(7,15),取得两个绿玻璃球的概率为eq\f(1,15),则取得两个同色玻璃球的概率为________;至少取得一个红玻璃球的概率为________．答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于"取得两个红玻璃球”与"取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A"至少取得一个红玻璃球”与事件B"取得两个绿玻璃球”是对立事件,则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).B级能力提升13．若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)＝2－a,P(B)＝4a－5,则实数aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4),2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4),\f(4,3)))答案D解析由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P(A)<1,,0<P(B)<1