北师版八上数学专题3 平面直角坐标系中点的坐标问题（课件）

第三章位置与坐标专题3平面直角坐标系中点的坐标问题数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

◎问题综述平面直角坐标系是一种重要的数学工具，是数与形之间的

桥梁.通过平面直角坐标系的建立，平面上的点和有序实数对建

立了一一对应关系，为后续学习、研究函数的性质、函数与方

程和不等式的关系打下基础，这就使得用代数方法研究几何问

题，用几何方法研究代数问题成为可能.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

与面积有关的坐标问题

（1）如图，已知△

ABC

的三个顶点恰好在正方形网格的格

点上.①写出△

ABC

各顶点的坐标；②求△

ABC

的面积.【思路导航】①由图即可得到各个顶点的坐标；②将△

ABC

放

到一个正方形中，利用割补法即可解答.解：①由图可得，

A

（3，3），

B

（－2，－2），

C

（4，－

3）.

【点拨】在平面直角坐标系中，利用点的坐标求面积问题或利

用面积求点的坐标问题是常见的题型.一般情况下，对于一些不

规则图形的面积，可以对图形进行割补，将图形转化为规则的

图形，再进行计算.（2）在平面直角坐标系中，已知△

ABC

的边

AB

在

x

轴上，点

A

的坐标为（－2，0），点

C

的坐标为（2，4），

S△

ABC

＝6.请在

图中画出符合条件的△

ABC

，并写出点

B

的坐标.【思路导航】根据题意，先求

AB

的长度，分点

B

在点

A

的左边

和右边两种情况，在平面直角坐标系中画出△

ABC

，再写出点

B

的坐标即可.解：因为

AB

在

x

轴上，点

A

的坐标为（－2，0），点

C

的坐标

为（2，4），

S△

ABC

＝6，所以△

ABC

的边

AB

上的高为4.

画出符合条件的△

ABC

如图所示.①当点

B

在点

A

的左边时，－2－3＝－5，所以点

B1的坐标为（－5，0）；②当点

B

在点

A

的右边时，－2＋3＝1，所以点

B2的坐标为（1，0）.综上所述，点

B

的坐标为（－5，0）或（1，0）.【点拨】已知面积求点的坐标时，常常先利用面积求得线段

长，再转化为点的坐标.注意：由线段长到点的坐标，有可能需

要分类讨论.

如图，已知点

A

（－1，0），

C

（1，4），点

B

在

x

轴上，且

AB

＝3.（1）求△

ABC

的面积.（2）求点

B

的坐标.（3）在

y

轴上是否存在点

P

，使以点

A

，

B

，

P

为顶点的三角形

的面积为10？若存在，请写出点

P

的坐标；若不存在，请说明

理由.

（2）如图，当点

B

在点

A

的左边时，－1－3＝－4，所以点

B1的坐标为（－4，0）；当点

B

在点

A

的右边时，－1＋3＝2，所以点

B2的坐标为（2，0）.综上所述，点

B

的坐标为（－4，0）或（2，0）.

类型二

与轴对称有关的坐标问题

（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点

A

（－1，3），

B

（2，0），

C

（－3，－1）.①在图中作出△

ABC

关于

y

轴对称的图形△

A1

B1

C1，并写出点

A1，

B1，

C1的坐标；②在

y

轴上找一点

P

，使

PA

＋

PC

的值最小，并求出点

P

的

坐标.【思路导航】①先找出点

A

，

B

，

C

关于

y

轴对称的点，再依次

连接各对称点即可得到△

A1

B1

C1；②连接

A1

C

，交

y

轴于点

P

，这时

PA

＋

PC

的值最小，利用△

A1

OC

的面积的两种求法，

列方程求出

OP

的长即可.解：①如图，△

A1

B1

C1即为所求作图形.由图可得，

A1（1，3），

B1（－2，0），

C1（3，－1）.

【点拨】在平面直角坐标系中，常考查最短路径问题.解决此类

问题常通过作点的对称点，使路径的点在一条直线上，再结合

面积相等即可求出点的坐标.

（－2，1）

1.

如图，在平面直角坐标系中，已知△

ABC

各顶点的坐标为

A

（－2，3），

B

（2，1），

C

（－3，－2）.若点

P

是

y

轴上的

一动点，则

PA

＋

PC

的最小值为

⁠.

2.

在平面直角坐标系中，已知直线

l

经过点（1，0）且平行于

y

轴，点

A

（

m

－1，3）与点

B

（2，

n

－1）关于直线

l

对称，则

（

m

＋

n

）2

024的值为

⁠.52

024

类型三

特殊三角形中的点的坐标问题

在平面直角坐标系中，已知点

A

（2，3），在坐标轴上找

一点

P

，使得△

AOP

是等腰三角形，则这样的点

P

共有

⁠

个.【思路导航】求出

OA

的长，然后画出平面直角坐标系，分

类讨论两条相等的腰，作出符合等腰三角形的点

P

的位置，

即可得解.

8

（1）如图，当

OA

为腰时，①以点

O

为圆心，

OA

的长为半径画

圆，与坐标轴交于四点：

P1，

P2，

P3，

P4；②以点

A

为圆心，

OA

的长为半径画圆，与坐标轴交于两点（原

点舍去）：

P5，

P6；（2）当

OA

为底时，作

OA

的垂直平分线，与坐标轴有两个交

点：

P7，

P8.综上所述，符合题意的点有8个.故答案为8.【点拨】（1）因为等腰三角形

AOP

没有指明哪条边为底边，也

就需要分类讨论.（2）解决等腰三角形存在性问题有两种方法.

方法1（两圆一线）：①以已知线段为腰，用线段的两个端点为

圆心，线段长为半径，分别作圆；②以已知线段为底，作它的

垂直平分线.方法2：用两点之间的距离公式表示三条线段，由

两两相等进行计算.

如图，点

A

，

B

的坐标分别为（0，2），（8，8），点

C

（

m

，

0）为

x

轴正半轴上一个动点.是否存在点

C

，使△

ABC

为直角

三角形？若存在，请求出这个三角形的面积；若不存在，请说

明理由.

类型四

点的坐标规律问题

如图，在平面直角坐标系中，对△

ABC

进行循环往复的轴

对称变换.若原来点

A

的坐标是（

a

，

b

），则经过第2023次变

换后所得的点

A

的坐标是

⁠.（－

a

，

b

）

【思路导航】观察图形可知，每4次变换为一个循环组，用2

023除以4，根据余数的情况确定图形所在的位置，得出规律即

可解答.【解析】由图可知，4次变换为一个循环组.因为2023÷4＝

505……3，所以第2023次变换后为第506个循环组的第3次变

换，相当于直接作关于

y

轴对称的变换.因为原来点

A

的坐标是

（

a

，

b

），所以经过第2023次变换后所得的点

A

坐标是（－

a

，

b

）.故答案为（－

a

，

b

）.【点拨】本题考查了坐标与图形变化——对称，准确识图，观

察出4次变换为一个循环组是解题的关键.

如图，在平面直角坐标系中，△

ABO

的顶点

A

，

B

，

O

的坐标

分别为（1，0），（0，1），（0，0），点列

P1，

P2，

P3，…

中的相邻两点都关于△

ABO

的一个顶点对称，点

P1与点

P2关于

点

A

对称，点

P2与点

P3关于点

B

对称，点

P3与点

P4关于点

O

对

称，点

P4与点

P5关于点

A

对称，点

P5与点

P6关于点

B

对称，点

P6与点

P7关于点

O

对称……且这些对称中心依次循环.已知点

P1

的坐标是（1，1），则点

P2023的坐标为

⁠.（1，1）

答图答图【解析】如答图，作点

P1关于点

A

的对称点，即可得到

P2（1，

－1），同理可得

P3