高中数学：10-3古典概型（学案）

第03讲古典概型

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课程标准课标解读

1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义及特点；通过本节课的学习，要求会判断古典概型，

2.理解古典概型的概率公式，会用列举法计算一些随会求随机事件所包含的基本事件数，会应

机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；用古典概型的计算公式解决与古典概型有

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.关的问题.

四%.知识精讲________________________________________________

知识点

1.基本事件

在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.

基本事件有如下特点：

①任何两个基本事件是互斥的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件4的概率用P(4)表示.

3.古典概型

一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发

生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Q包含"个样本点，事件A包含其中的左个样本点，则定义事件

A的概率P(A)=§=貌，其中，〃(A)和〃(0分别表示事件A和样本空间2包含的样本点个数.

【微点拨】求古典概型概率的步骤：

(1)确定样本空间的样本点的总数n

（2）确定所求事件A包含的样本点的个数m

m

（3）P（A）=n

【即学即练1】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为“，b,设事件M为“方程江+法+1

=0有实数解“，则事件M中含有样本点的个数为（）

A.6B.17C.19D.21

【答案】C

【解析】

【分析】

根据从24a可得随机事件中含有的基本事件的个数.

【详解】

方程加+bx+1=0（“W0）有实数解，〃一4。20,

则M含有的样本点为：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）；（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,5）,（5,6）,

（6,5）,（6,6）,共19个，故选：C.

【即学即练2】下列概率模型，其中属于古典概型的是（）

A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环

C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D.一只使用中的灯泡寿命长短

【答案】C

【解析】

【分析】

根据古典概型的特征依次判断即可.

【详解】

A不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；

B不属于，原因：命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；

C属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的：

D不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.

故选：c.

【即学即练3】甲、乙两人有三个不同的学习小组A8,C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习

小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为()

A.—B.—C.—D.一

3456

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求

得结果.

【详解】

根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下9种：

A4,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC,

两人参加同一个学习小组的情况有如下3种：

AA,BB,CC,

31

故两人参加同一个学习小组的概率尸=j=§.故选：A.

【即学即练41小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平

时小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽

的颜色混搭的概率是()

A.-B.-C.；D.一

6326

【答案】C

【解析】

【分析】

设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A,B,C,与之相同颜色的笔帽分别为。，b,c,利用古典

概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率.

【详解】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A,B,C,与之相同颜色的笔帽分别为a,b,c,

将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：

(4a,Bb,Cc),(Aa,Be,Cb),{Ab,Ba,Cc),(Ab,Be,Ca),(Ac,Bh,Ca),(Ac,Ba,Cb),

共有6个基本事件，

小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：

(Aa,Be,Cb),(Ab,Ba,Ct),(Ac,Bb,Ca),共有3个基本事件，

，小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是P=,=?.故选：C

【即学即练5】(多选题)下列试验是古典概型的为()

A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等

B.同时掷两颗骰子，点数和为6的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用古典概型的定义和特点判断.

【详解】

由古典概型的定义和特点知：A,B,D是古典概型，

C不是古典概型，因为不符合等可能性.

故选：ABD

【即学即练6】从长度为3,4,5,7,9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样

本空间是.

【答案】{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}

【解析】

【分析】

根据三角形三边的关系用列举法即可求解

【详解】

从长度为3,4,5,7,9的五条线段中任取三条，

则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是

{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9))

故答窠为：{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}.

【即学即练7】从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对®y),x为第一次取到

的数字，y为第二次取到的数字.

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求出这个试验基本事件的总数；

(3)写出“第一次取出的数字是2”这一事件.

【答案】⑴｛(0，1)，(0,2),(1,2),(1,0),(2,0),(24)｝；(2)6；⑶(2,0),(2,1)

【分析】

(1)根据事件的定义求解；

(2)直接计数可得；

(3)由(1)可得.

【解析】

(1)样本空间：｛(0,1),(0,2),(1,2),(1,0),(2,0),(2,1)｝；

(2)由(1)知基本事件总数为6.

⑶由(1)得：(2,0),(2,1).

【即学即练8】一个正方体的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一

个，求恰有一个面涂有红色的概率.

【答案】

【解析】

【分析】

求出恰有一个面涂有红色的小正方体的个数，再利用古典概率公式计算作答.

【详解】

依题意，试验共有27个基本事件，它们等可能，从中任取一个小正方体恰有一个面涂有红色的事件为A,

于是得P(A)='=£,

所以恰有一个面涂有红色的概率是，

【即学即练9】抛掷两枚质地均匀的骰子，试计算下列事件的概率：

(1)两枚骰子的点数相同;

(2)两枚骰子的点数之和是6；

(3)两枚骰子的点数之和不是6；

(4)至少一枚骰子的点数是3.

【答案】⑴⑵看⑶芥(端

【分析】

抛掷两枚质地均匀的骰子，整个事件空间为。={(，，/)11MiM6,1M/46,仃eN}有36个基本事件，列举出

(1),(2),(4)中的事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可得解，利用对立事件的概率关系可

求解(3)

【解析】

(1)由题意，抛掷两枚质地均匀的骰子，用有序数对《,/)表示第一枚骰子点数为i,第二枚骰子点数为故

整个事件空间为C={6力11/Q6,14j4611/eN},有36个基本事件

记两枚骰了一的点数相同为事件A,故人={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},有6个基本事件，由古典概型

的概率公式，尸(A)=3='

(2)记两枚骰子的点数之和是为6为事件B,故3={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},有5个基本事件，由古典

概型的概率公式，尸(8)=巳

36

31

(3)记两枚骰子的点数之和不是6为事件C,由于事件8,C为对立事件，故尸(C)=l-2(5)=)

36

(4)记至少一枚骰子的点数是3为事件。，故

。={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)},有11个基本事件，由古典概型的概率公

式，40="

36

【即学即练10］按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：

表1：

赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫

蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张

表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏:

表2：

1:李2：王3：张4：刘5：陈

6：杨7：赵8：黄9：周10：吴

从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取I个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓

氏的概率为.

【答案】|

【解析】2018年中国人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、

Q1]

杨、张，共8个，故所求概率为三=；,故答案为：

【即学即练II】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为。，匕的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球，

从中任意摸出两个球.

(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率：

(2)求至少摸出1个黑球的概率.

37

【答案】(1)—：(2)—.

510

【解析】(1)记事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球，

所有的基本事件有：(掇⑼、(a,c)、(a,d)、(a,e)、也c)、也d)、(b,e)、(c,d)、(c,e)、

共10个，事件A所包含的基本事件有：(”,c)、(a,d)、(a,e)、(0,c)、(b,d)、(b,e),共6个，

由古典概型的概率公式可知，P(A)弋?

⑵事件8:至少摸出1个黑球，则事件5所包含的基本事件有：(a,。)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、e,c)、

7

也d)、伽e),共7个，由古典概型的概率公式可知，—.

Q能力拓展

考法01

求基本事件

【典例1】在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是()

A.抽到第一组与抽到第二组B.抽到第一组与抽到男学生

C.抽到女学生与抽到班干部D.抽到班干部与抽到学习标兵

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本事件是不可能同时发生的定义，即可得到答案；

【详解】

在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确；

在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误；

在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误；

在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误.

故选：A

【典例2】同时掷两枚大小相同的骰子，用（x,y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件

A包含的样本点数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本事件概念即可求解.

【详解】

因为事件A={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）},

共包含6个样本点.故选：D.

【典例3］我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究种取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2

的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数种，随机选取两个不同的数，其和等于

30的取法有种.

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意列举即可得答案.

【详解】

解：不超过30的素数有2,3,5,7,II,13,17,19,23,29,共10个，

从中随机选取两个不同的数，其和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况.

故答案为：3

【典例4】有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.

（1）其对应的样本空间为:

（2）样本点的个数为；

（3）“恰有一件是一等品”这一事件用集合表示为.

【答案】{（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）}4{

（一等品，二等品），（二等品，一*等品）}

【分析】用列举法即可求解

【详解】有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.

其对应的样本空间为

｛（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）｝,

样本点的个数为4,

“恰有一件是一等品“这一事件用集合表示为｛（一等品，二等品），（二等品，一等品）｝,

故答案为：｛（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）｝;4：｛（-

等品，二等品），（二等品，一等品）｝

【典例5】同时抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出下列事件：

（1）硬币是正面，骰子的点数是奇数；

（2）硬币是正面，骰子的点数是偶数；

（3）硬币是正面；

（4）骰子的点数是5.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.

【分析】

（1）根据事件的定义书写,前面写硬币的正面，后面写出奇数;

（2）根据事件的定义书写，前面写硬币的正面，后面写出偶数；

（I）根据事件的定义书写，前面写硬币的正面，后面写出所有数;

（1）根据事件的定义书写，前面写硬币的正面或反面，后面写5；

【解析】

⑴（正面，1）,（正面，3）,（正面，5）

(2)(正面,2),（正面，4）,（正面，6）

（3）（正面，1）,（正面,2）,（正面,3）,（正面，4）,（正面,5）,（正面，6）

（4）（正面，5）,（反面,5）

考法02

古典概型的判定

并不是所有的试验都是古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型.两

个条件中只要有一个不满足就不是古典概型.

【典例6】下列试验是古典概型的是（）

A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为｛取中白球｝和｛取中黑球｝

B.在区间［-1,5］上任取一个实数x,使『一3x+2>0

C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面

D.某人射击中靶或不中靶

【答案】C

【解析】

【分析】

根据古典概型的特征：①有限性；②等可能性即可判断.

【详解】

根据古典概型的两个特征进行判断.

A项中两个基本事件不是等可能的，

B项中基本事件的个数是无限的，

D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，

C项符合古典概型的两个特征.

故选：C

【典例7】下列有关古典概型的说法中，正确的是()

A.试验的样本空间的样本点总数有限

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.已知样本点总数为"，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)；：

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据古典概型的定义逐项判断即可.

【详解】

由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.

故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；

根据古典概型的概率计算公式可知D正确.

故选：ACD

【典例8】(1)在数轴上0~3之间任取一点x,观察x是否小于1.此试验是否为古典概型？为什么？

(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，观察所取两数之一是否是5.此试验是古典概型吗？试说明

理由.

(3)投掷一颗质地非均匀的骰子，观察掷出的点数.此试验是否为古典概型？为什么？

【解析】(1)在数轴上0~3之间任取一点，此点可以在0~3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是

相同的，具备等可能性.但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性.因此不属于古典概

型.

(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,4),且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型.

(3)投掷一颗质地非均匀的骰了，掷出的点数不是等可能出现的，质地较重的那一面朝下的可能性比较大,

其对面的点数出现的可能性就比其他点数出现的可能性大，因此不属于古典概型.

考法03

古典概型的计算

求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在写出基本事件后最好检验一下各基本事件发生的概

率是否相同.求随机事件的概率的关键就是明晰它包含了几个基本事件.

要写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列举法、列表法、坐标系法、树形图法等.无论采用哪种

方法，都要求按照一定的顺序进行，以做到不重不漏.

【典例9】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一

张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，写出所有抽取的基本事件，再找出满足题意的基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求

得结果.

【详解】

根据题意，不妨用(x,y)表示两次抽取的基本事件，

其中x代表第一次抽取的数字，y代表第二次抽取的数字.

故所有抽取的可能有如下25种:

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）

满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下10种：

（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（）（）（）（4）,

102

根据古典概型的概率计算公式可得：该事件的概率P=方=（.

故选：D.

【典例10】有五条线段，长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成

一个三角形的概率为.

3

【答案】记

【解析】所有的基本事件有：（2,3,5）、（2,3,7）、（2,3,9）、（2,5,7）、（2,5,9）、（2,7,9）、（3,5,7）、（3,5,9）、

（3,7,9）、（5,7,9）,共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：（3,5,7）、

（3,7,9）、（5,7,9）,共3个，由古典概型的概率公式可知，事件”所取三条线段能构成一个三角形”的概率

33

为伍，故答案为：—.

【典例11】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42,摸

出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有个.

【答案】15

21

【解析】由题意摸出红球的概率为0.42,并且红球有21个，则总球数为——=50个，所以蓝球的个数

0.42

为50x（1—0.42—0.28）=15个.故答案为：15.

【典例12】同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算以下事件的概率：

（1）至少一枚反面朝上；

（2）至少两枚反面朝上；

（3）恰好两枚反面朝上.

_7I3

【答案】⑴（2）—；（3）-

Ozo

【分析】

同时抛掷三枚质地均匀的硬币，先列举出整个事件空间有8个基本事件，分别列举出（1）,（2）,（3）中的

随机事件的基本事件，由古典概型的概率公式，即得解

【解析】

（1）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，记整个事件空间为C,用+表示正面向上，一表示反面向上，则

。-,+）,（-,+,+）,（+,一,一）,（一,+,一）,（一,一,+）,（一,一,一）｝包含8个基本事件，

记至少一枚反面朝上为事件A,则A=,-,+）,（一,一,一）｝

7

包含7个基本事件，则P（A）=~

O

（2）记至少两枚反面朝上为事件B,则5=（-,+,-）,（-,+）,（-,-））

41

包含4个基本事件，则尸（8）=苒=；

82

（3）记恰好两枚反面朝上为事件C,则。=｛（+,-,一）,（一,+,一）,（一,一,+）｝包含3个基本事件，则尸（。=]

O

【典例13】甲袋中有5个球（3红，2白），乙袋中有3个球（2红，1白），从每袋中各任取1个球，求至

少取到1个白球的概率.

【答案】|

【解析】

【分析】

记甲袋中有5个球（3红，2白）分别为A、4、A3、与、Bz.乙袋中有3个球（2红，1白）分别为《、

%、b,用列举法列出所有可能结果，再找出符合至少取到1个白球的事件，再根据古典概型的概率公式计

算可得；

【详解】依题意记甲袋中有5个球（3红，2白）分别为A、&、A,、用、层；

乙袋中有3个球（2红，1白）分别为q、出、b；则从每袋中各任取I个球一共有（4冯）、（As）、（46）、

（4,4）、（4,%）、（4,6）、（4吗）、（怎出）、（A，b）、（用吗）、（耳吗）、（综。）、（乙吗）、（6,外）、（B2,b）

共15个；

至少有一个白球的有（A，幼、（&»、（人⑼、（4,4）、（可四）、（综6）、（氏4）、（鸟吗）、出力）共9

93

个；所以至少取到1个白球的概率2=百=：

【典例14】小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋,

规则如下图所示.求一个回合能确定两人先下棋的概率.

游戏规则

三人手中各持有一枚质地

均匀的硬币，他们同时将手中

的硬币抛落到水平地面上为一

个回合，落地后，三枚硬币中，

恰有两枚正面向上或者反面向

上的两人先下棋；若三枚硬币

均为正面向上或反面向上，则

确定哪两人先下

3

【答案匕

【解析】

【分析】

利用列举法求得所有情况，找出一个回合能确定两人先下棋的情况，结合古典概型的概率计算公式，即可

求解.

【详解】

根据题意，利用列举法画出树状图，如图所示:

可共有8种情况，其中一个回合能确定两人下棋的情况有6种情况,

所以一个回合能确定两人卜棋的概率为尸44

小明

小强正面反面正面反面正面反面正面反面

不

确

确

确

确

确

不

确

确

定

定

定

定

定

定

确

定

定

考法04

易错点提示：

【典例15】从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛，求选中女生的概率.

【错解】从8人中选出1人的结果有“男生女生"两种，则选中女生的概率为g.

【错因分析】因为男生人数多于女生人数，所以选中男生的机会大于选中女生的机会，它们不是等可能的.

【正解】选出1人的所有可能的结果有8种，即共有8个基本事件，其中选中女生的基本事件有3个，故

选中女生的概率为?3.

8

【名师点睛】利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：

(1)所有的基本事件只有有限个；

(2)试验的每个基本事件是等可能发生的.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件

的是()

A.“至少一枚硬币正面向上”

B.“只有一枚硬币正面向上”

C.“两枚硬币都是正面向上”

D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”

【答案】A

【解析】

利用列举法，宜接列举出总的基本事件，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，所包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝、｛反，反｝,

“至少一枚硬币正面向上''包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝共三个，故A正确；

“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共两个，故B错：

“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝共一个，故C错；

“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上“包含的基本事件有｛正，反｝、（反，正｝共两个，故D错.

故选：A.

2.下列试验中是古典概型的是（）

A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球

C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置

D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中。环

【答案】B

【解析】

【分析】

利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断.

【详解】

解：古典概型满足两个条件：

随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的.

在A中，这个试验的基本事件共有“发芽”，“不发芽”两个，而“发芽”或"不发芽”这两种结果出现的机会一般

是不均等的，故不是古典概型；

在B中，观察球的颜色，满足古典概型的两个条件，故B是古典概型；

在C中，实验的结果是无穷的，故不是古典概型；

在D中，不满足基本事件是等可能的，故不是古典概型.

故选：B.

3.下列说法错误的是（）

A.方差可以衡量一组数据的波动大小

B.抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度

C.一组数据的众数有且只有一个

D.抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得

【答案】C

【解析】

【分析】

根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题.

【详解】

对于A,方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项4正确；

对于8,抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项8正确：

对于C,一组数据的众数有一个或者几个，故选项C错误；

对于O,抛掷一枚图钉，针尖朝上和针尖朝下的可能性不相等，所以针尖朝上不是一个基本事件，所以不能

用列举法求得，故选项。正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查了一组数据的方差、众数，考查了抽样方式，属于基础题.

4.为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有6只小动物，其中有3只注射

过该新药，若从这6只小动物中随机取出2只检测，则恰有1只注射过该新药的概率为（）

23人21

A.-B.-C.-D.一

3555

【答案】B

【解析】将3只注射过新药的小动物编号为4、B、C,3只未注射新药的小动物编号为。、b、c,

记事件M:恰有1只注射过该新药,所有的基本事件有:（A3）、（AC）、（A。）、（A。）、（Ac）、（B,C）、

（3,a）、（B,b）、（8,c）、（C,a）、（C,。）、（C,c）、（a,b）、（a,c）、（b,c）,共15个，其中事件M所包

Q3

含的基本事件个数为9个，山古典概型的概率公式得尸（〃）=石=?，故选B.

5.从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张

标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（）

【答案】D

【解析】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

所有的基本事件数为52=25,其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1”所包

含的基本事件有:(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)、(3,4)、(4,3)、(4,5)、(5,4),共8种情况,

Q

因此，所求事件的概率为尸=金.故选：D.

25

【名师点睛】本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计

算能力，属于基础题.

6.从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的

数奇偶性不同的概率是()

A.—B.-C.-D.-

18999

【答案】C

【解析】从分别标有I，2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，所有的基本事件为：(12),(13),

(14),(15),(16),(17),(18),(19),(23),(24),(25),(26),(27),(28),

(29),(34),(35),(36),(37),(38),(39),(45),(46),(47),(48),(49),

(56),(57),(58),(59),(67),(68),(69),(78),(79),(89),共有36种不同

的情况，且这些情况是等可能发生的，其中抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有20种，故抽到在2

张卡片上的数奇偶性不同的概率尸=型=』，故选C.

369

7.从(40,30),(50,10),20,30),(45,5),(10,10)中任取一个点，这个点在圆/+尸=2016

内部的概率是()

32cl4

A.-B.—C.—D.一

5555

【答案】B

2222

【解析】因为402+302=2500>2016,50+10=2600>2016.20+30=1300<2016.

452+52=2050>2016，102+102=200<2016.所以只有点(20,30),(10,10)这两个点在圆

2

V+y2=2016内部，因此这个点在圆Y+y2=2016内部的概率是彳，故选B.

8.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后

的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为

该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97

元的概率是（）

【答案】A

【解析】当x=18时.，y=18x5=90,当x=19时，y=19x5=95,

当x=20时.，y=19x5+l=96,当尤=21时，y=19x5+2=97,日利润不少于96元共有5天，记作

A、B、C、D、E,其中有2天日利润是97元，假设分别为A、B,则从中任选2天的基本事件有（A、B）,

（A、C）,（A、D）,（A、E）,（B、C）,（B、D）,（B、E）,（C、D）,（C、E）,（D、E）,

共10个，选出的2天日利润都是97元的基本事件有1个，为（A、B）,故所求概率为尸=5,故选A.

9.如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10,则称此三位数为“十全十美三位数''（如235）,

任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）

13715

A.—B.—C.-D.—

2020212

【答案】C

【解析】任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：

109,190,901,910,127,172,271,217,721,712,136,163,316,361,613,631,145,154,451,

415,514,541,208,280,802,820,235,253,352,325,523,532,307,370,703,730,406,460,

604,640,共40个，其中奇数有20个，.•.任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为P=2'0=二1.故

402

选C.

10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于

2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和

等于14的概率为（）

【答案】D

【解析】不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,

2与7,2与II,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与II,5与13,7与11,7与13,

11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的

数，其和等于14的概率为故选D.

11.数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数.水仙花数共有4个，其中仅有1

个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合｛147,152,154,157,“水仙四妹”｝的5

个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹''小的

概率是()

A.—B.-C.—D.1

104102

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据题意求出“水仙四妹''为153,所以集合为｛147,152,153,154,157｝,然后利用列举法求解即可

【详解】

设“水仙四妹”为150+x且0<x<10,xeZ,依题意，知F+5^+V=150+x,即有(x-l)x(x+l)=24,可

得x=3,即“水仙四妹”为153,所以集合为｛147,152,153,154,157｝,

从该集合中任取3个元素，该试验的样本空间

Q=｛(147,152,153),(147,152,154),(147,152,157),(147,153,154),

(147,153,157),(147,154,157),(152,153,154),(152,153,157),(152,154,157),(153,154,157)),共有10个样本点.

记事件A表示“取出的3个整数中含有153,且其余两个整数至少有一个比153小”，则事件A包含的样本点

有(147,152,153),(147,153,154),(147,153,157),(152,153,154),(152,153,157),共5个，

故尸⑷

故选:D

12.某班级的班委由包含甲、乙在内的5位同学组成，他们分成两个小组参加某项活动，其中一个小组有3

位同学，另外一个小组有2位同学，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）

A.-B.-C.—D.—

551010

【答案】B

【解析】

【分析】

利用列举法求解即可

【详解】

这五位同学分别记为：甲、乙、A、8、C,

分组情况有：（甲乙A,BC）、（甲乙B,AC）、（甲乙C,A8）、（甲A3,乙C）、（甲AC,乙B）、（甲BC,乙A）

、（乙45,甲C）、（乙AC,甲8）、（乙8C,甲A）、（A8C,甲乙），共10种，

其中甲和乙不在同一个组的有：（甲A8,乙C）、（甲AC,乙8）、（甲BC,乙A）、（乙A8,甲C）.（乙AC,甲B）

、（乙8C,甲A）,共6种，

所以所求概率为柒|.

故选：B.

13.甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为A,h,C,乙的三张扑克牌分别记为。，B,

c.这六张扑克牌的大小顺序为A>a>8>b>C>c.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一

张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之

牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（）

A.-B.\C.1D.-

6323

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意列出所有的可能情况，根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】

解：依题意基本事件总数有3x2xl=6种；

分别有以下情况：

baB,C<r^c,此时乙得1分；

A—a,bcc,CcB,此时乙得1分：

A—B,bca,C—c,此时乙得1分；

A->B*b>c,Ca,此时，乙得1分：

A—c,b—a,CcB,此时乙得2分；

Acc,bcB,Cea,此时乙得2分