提升篇一-2019-2020学年下学期高一数学复课开学摸底考试卷（ 必修第二册）（解析版）-教案课件-人教版高中数学必修第二册

2019-2020学年下学期高一数学第二学期期中模拟测试卷

数学(提高卷)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：2019版人教A第二册第一章平面向量第二章复数

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若复数(l-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是

A.(-co,1)B.(-oo,-1)

C.(1,+co)D.(―1,+oo)

【答案】B

【解析】设Z=(l—i)(a+i)=(a+l)+(l—a)i,因为复数对应的点在第二象限，所以「“〉。，解得：

a<-l,故选B.

2.已知i是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是()

A.满足|z—/]=[z+z]的复数z对应的点的轨迹是圆

B.若加GZ,Z2=-1,则r+严1+B+2+B+3=0

C.复数z=a+初(其中。、Z?eR)的虚部为i

D.在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数

【答案】B

【解析】对于A,设z=x+yi(x,yGR),由|z—z]=|z+z[可得£+(,一以=尤2+(,+])?,

化简得y=0,所以，复数z对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A错误；

对于B,若加eZ,『=—1，则泮+严〔+严2+严3=泮(1+,_1—)=0,B正确；

对于C,复数z=。+初（其中。、ZJGR）的虚部为6,i是虚数单位，C错误；

对于D,在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D错误.

故选:B.

3.设非零向量a,匕满足卜+N=卜—可，贝U（）

A.albB.|a|=WC.allbD.|a|>|^|

【答案】A

【解析】由卜+可=|a-W的几何意义知，以向量匕为邻边的平行四边形为矩形，所以a,匕.

故选：A.

4.已知。卜20,卜=3,p,4的夹角为:，则以a=5p+2q/=p—3q为邻边的平行四边形的一条对

角线长为（）

A.15B.V15C.14D.16

【答案】A

【解析】因为p|=20,|q=3,p,4的夹角为工，所以p-q=20><3><cos巴=6,

1144

22

因为|a+例2=\（）p—q|=36/?+/-12p-q=36x8+9-12x6=9x25.'.|«+/2|=15,

\a—b^=|4〃+5q『=16p2+25/+40/9-q=16x8+25x9+40x6=593.，.卜-加二^/^^因此一条对角

线长为15,选A.

5.已知复数4=一1+2,，z2=l-z,z3=3-4z,它们在复平面九。y上所对应的点分别为A,B,C.若

OC=AOA+juOB（九〃wH）,其中。为原点，则X+〃的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

.,.3=—X+LIX=—1

3—41=2（—1+2z）+//（I—z）=><=>J=>X+//=1,选A.

[-4=22-//=2，

6.如图，在平行四边形A5CD中，对角线AC与5D交于点。，且AE=2EO,则（）

D

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

【答案】C

【解析】画出图形，如下图.

nil

选取4&势£)为基底，则AE=§AO=§AC=5(A3+AD1

1Q1

/.ED=AD-AE=AD——(AB+AD\=-AD--AB.

3、733

故选C.

QDF)

7.在边长为1的正AA3C中，点D在边BC上，点E是AC中点，若ADBE=—3,贝!|叱=()

16BC

1137

A.—B.—C.—D.—

4248

【答案】C

【解析\】设AB=ci，AC=b，BD=ABC，则—AB+BD=a+X(b—a)=(1—X)a+Ab,

AD-BE=\[\-A)a+Xb\\-b-a\=^(\-3X)a-b+^-\}a1+-Ab2

BE=AE-AB=-b-a,贝ij(2)22

=^(1-32)+(2-1)+12=|(2-1)=_^

3RD3

故/l=—,即——=工故选c。

4BC4

8.设在AABC中，角A民C所对的边分别为。，4c,若入cosC+ccos3=asinA,则AABC的形状为

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【解析】因为》85。+。858=。5垣4,

所以由正弦定理可得sin3cosC+sinCeos3=sin?A，

sin(B+C)=sin2A=>sinA=sin2A,

TT

所以sinA=l,A=—,所以是直角三角形.故选B。

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是()

A.若复数z满足|z-i|=行，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，出为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8"则复数z=15+足

C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

D.复数Z]对应的向量为OZ],复数Z2对应的向量为az?，若[z]+z2|=|z「z?|,则OZi'OZ?

【答案】CD

【解析】满足|z-的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，石为半径的圆上，A错误；

在B中，设2=4+砥a/eR),则|z|=住z+|z|=2+87,得三+次++加=2+双,

a+\lci~+b~=2a=-15.

7'解得，o.-.z=-15+8z.B错误；

6=8,也=8,

由复数的模的定义知C正确；

由[z]+Z2|=|z「z?|的几何意义知，以QZ],OZ2为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.

故选：CD

10.AABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足AB=2a，AC=2a+0，则下列结论中正确的是

()

A.〃为单位向量B.。为单位向量C.a±bD.(4a+/?)±BC

【答案】AD

［解析】•/等边三角形ABC的边长为2,=2。，；♦|A31=21a|=2,|a|=1,故A正确;

1•,AC=AB+BC=2a+BC'-=人，；•21=2,故B错误；

由于AB=2a,3c=匕，；.a与b的夹角为120。,故C错误;

又V(4a+b),BC=4a力+|Z?『=4xlx2x+4=0,(4a+加上BC,故D正确.

故选:AD.

11.点。在AABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若Q4+OB+OC=0,则点O为AA5C的重心

、/

ACBA

B.若04普=OB.总=0,则点。为AABC的垂心

国kUUBCI阿

C.若(。4+OB)-AB=(OB+(9C)BC=0，则点O为AABC的外心

D.若。4・。8=。8。。=0。04,则点0为儿45。的内心

【答案】AC

【解析】解：选项A,设。为的中点，由于。1=—（03+0。）=—20。，所以。为边上中线的三

等分点（靠近点〃），所以。为AABC的重心；

选项B,向量」工,——分别表示在边AC和A3上的单位向量，设为AC和A8'，则它们的差是向量

|AC|\AB\

（ACAB）

B'C则当04---------------=0,即OALB'C：时，点。在NS4c的平分线上，同理由

[\AC\\AB\）一

0B,-：--------=0,知点。在NA5C的平分线上，故。为AA5c的内心；

115cl\BA\）

选项C,04+。8是以。4,08为邻边的平行四边形的一条对角线，而|A目是该平行四边形的另一条对角

线，43・（。4+03）=0表示这个平行四边形是菱形，即|。4|=|。8|,同理有|。3|=|。。|,于是。为

AABC的外心；

选项D,由QA-08=03•OC得。8—。8•OC=0，

AOB(OA-OC)=0,即0504=0，・・・03_LCA.同理可证OA_LC8,OC_LAB，

：.OBLCA,OA±CB,OC.LAB,即点O是AABC的垂心；

故选：AC.

12.在AIBC中，分别是角A氏C的对边，C为钝角，且c—>=2》cosA，则下列结论中正确的

是()

911

A.Q=b(b+c)B.A=26C.0<cosA<—D.0<sinB

【答案】ABD

^22_2

【解析】因为c—〃=2》cosA,所以由余弦定理得c—8=2。・匕二~,

2bc

因此c(c-A)=b2+C1一/,整理得/=6(8+c),故A选项正确;

因为c—〃=2〃cosA,所以由正弦定理得sinC—sin5=2sin5COSA,

即sin(A+5)-sin5=2sin5COSA,所以sinAcosB+sinBcosA-2sinBcosA=sinB,

所以sinAcosB-sinBcosA=sin5,所以sin(A-6)=sin6,由于C是钝角，

所以A—5=8即A=25,故B选项正确；

由于A=2瓦且C>90°,所以0°vA+5<90。,所以0°<3<30°,0°<4<60°,

因此0<sin3<工，cosA〉」,故C选项错误,D选项正确

22

故选:ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

1-7_

13.已知复数2=——(i为虚数单位，〃£尺)是纯虚数，则I的虚部为.

a+i

【答案】1

1-i

【解析】因为2=——,故2=

a+i(〃+，)(〃-，)6/2+1

因为z为纯虚数，故。=1,所以z=-i,故z=i，故三的虚部为1.

故答案为：1.

14.已知如图，在正六边形ABCDEF中，与。4—相等的向量有.

①CT；②A。；③ZM；④BE；⑤CE+BC；®CA-CD⑦AB+AE-

【答案】①

【解析】化简。4—OC+CD=CA+CD=CF，①合题意；

由正六边形的性质，结合图可得向量A。、。4、32与向量方向不同，

根据向量相等的定义可得向量AD、DA>BE与向量CT不相等，

②③④不合题意；

因为++"=，⑤不合题意；

CA—CD=DAHCF，⑥不合题意；

AB+AE=AD^CF-⑦不合题意，故答案为①.

15.如图，已知A5c的面积为14cm2,D,E分别为边A3,上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1,

AE,CD交于点P,则△APC的面积为cm2.

【答案】4

2-.1--

【解析】设=8。=人，以°,b为一组基底，则AE=a+DC=§a+4

•••点AP,E与煎D,P,。分别共线，

21

...存在实数力和〃，使AP=4AE=Xa+§/l沙DP=/^DC=—/Lia+/Lib.

又,/AP=AD+DP=[g+；〃卜+,

21

A=—+一〃,

337

解得

I24

SS22

^AB=^MBC=14x1=8（cm）,5APBC=14x^1-^=2（cm）,

2

•••^c=14-8-2=4（cm）.

______兀

16.如图，在z\A8c中，M为边BC上一点，BC=4BM，ZAMC=—,AM=2,AABC的面积

为贝1J|CM|=；cosZfiAC=.（本题第一空2分，第二空3分）

【答案】6—上

7

3

【解析】BC=4BM，；-CM=—CB,

又△ABC的面积为46，,3厂，

SAAMC=zSAABC=303

ii/?解得|CM|=6,

S^^-AM-CM-smZAMC^-x2-CM-^-=3yJ3

CB=8,BM=2,

在A4CM中，由余弦定理得，

AC=y/AM2+CM--2AM-CM-cosZAMC=J22+62-2X2X6X13=2^,

27r

在八/如以中，-7i-ZAMC=—,由余弦定理得,

AB=VAM2+BM2-2AM-BM-cos2后

△ABC中，由余弦定理得,

V21

cosABAC-

2ABAC2x20x2小~r

故答案为：6；

7

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）己知，为虚数单位，关于尤的方程（6+i）x+9+切=0（aeR）有实数根b.

（1）求实数。，6的值；

⑵若复数z满足归―a—沅卜2忖=0,求z为何值时，忖有最小值，并求出目的最小值.

【答案】（1）a=b=3-,（2）Izl.=0

IImin

【解析】（1）b是方程d—（6+i）x+9+az,=0（aeR）的实数根,

6b+9=o

1

{b-6Z?+9)+(a-Z?)，=0,解得a=Z?=3.

a=b

⑵设z=x+W(x,yeR),由其一3—34=2忖，得(x—3y+[—(丁+3)丁=4(/+y2

即J(x+l)2+(y—l)2=20,它表示复数z对应的点Z到点(-1,1)的距离为20，

构成的图形是以&（-1,1）为圆心，2&为半径的圆，如图所示.

当点Z在。a所在的直线上时，目有最大值或最小值，|。«|=四，半径「=2及，

二当z=l-z•时，目有最小值，且目

18.（12分）在平面直角坐标系中，已知a=（l,—2）,b=（3,4）.

（I）若（3a叫〃（a+妨），求实数人的值;

（II）若（a—仍），入求实数f的值.

【答案】（I）—；（II）—.

35

【解析】（I）Q«=（l,-2）,1=（3,4）,...3£—〃=3（1,—2）—（3,4）=（0,—10）,

〃+左5=（1,—2）+左（3,4）=（3左+1,4左一2）,

（3。一/?）〃（〃+左b）,「.一10（3左+1）=0,解得左二一；；

（II）u—tb-（1,—2）—，（3,4）=（1-3，,-2-4%）,

（a-tb）_Lb,「.（a—仍）,/?=3x（1—3%）+4x（―2—4%）=—25/—5=0,角军得1=—g.

a:

19.（12分）在锐角AAHC中，。、b、。分别为角A、B、C所对的边，且示1=—

（1）确定角。的大小.

（2）若c=J>,且A46c的面积为孚，求的值.

JT

【答案】（1）c=—；（2）13

3

【解析】（1）号=—=:，；.sinC=3，

sinAsmC2

・・,0<NC=90。，・・・NC=60。.

/c、1，c〃2+/一不]

（2）i3._9at）—o?cosCz---------------——,

SMBC=-absinC=-^32ab2

•**a2+Z?2=13.

20.（12分）设两个向量万，彳满足同=2,g=l.

⑴若伍+涕）但求彳与1r的夹角；

(2)若方与3的夹角为60°,向量45+75与5+区的夹角为钝角，求实数f的取值范围.

(后、

【答案】(1)120°；(2)-7,--

<2)2

【解析】⑴由伍+亦=可得：,+司阵OS&r-2忖=1

整理得：cos(a,^--,又向量夹角为[0,180°],故左与后的夹角为120°.

(2)因为2疝+7犷与彳+齿"的夹角为钝角，

故：同+7»啊+册<0。即：2M+7村+（*+7）|司限0

整理得：2i'+l5f+7<0，解得：-7<f<--

2

又当2疝+7,与彳+点共线时，

⑵=4,、

设25+7,=周（?+芬）,（4<0）。‘7="'解得"=7・

.当t=一时,女方+7方与彳+曲的夹角为1加"

2

-向量以5+7,与彳+区的夹角为钝角时，

f的取值范围是-7.-

22）

21.（12分）如图，有一位于A处的雷达观察站发现其北偏东45°，与A相距20匹海里的3处有一货船正

匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A点北偏东45°+0（其中cose=^5），且与A相距5届海

（1）求该船的行驶速度；

（2）在A处的正南方向20海里E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）.如果货船继续行驶，它是否有触礁的

危险？说明理由.

【答案】（1）156海里/小时；（2）有.

【解析】（1）由题意，AB=20A/2,AC=5^3,ABAC=0

COSe=-^=,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACcos6=125,/.BC=575

726

••.航行时间为20分钟。.•.该船的行驶速度口=半=15际（海里/小时）;

3

(2)