河北省部分高中2023届高三三模数学 含解析

2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试

数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1,已知集合加={小2+5>640”2},汽=m2+5），+4叫，则“小八（）

A.[—6,1]B.{-4,-3,-2,-1}

C.[T,-1]D.{—6,-4,—3,—2,—1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式可分别求得集合",N,由交集定义可得结果.

【详解】由龙之+5x-6<（）得：,又xeZ,={-6,-5,—4,—3,-2,—1,0,1}；

由:/+5丁+4<0得：-4<y<-1,.,.?/=[-4,-1],

MN={-4,-3,-2,-1}.

故选：B.

2.已知复数z的共轨复数为1若z的实部为1,且满足（z+矶z-））=4i,则z的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】设z=l+历，beR,由此即可得出（z+W）（z—刁=4万，则可求出6的值，即可选出答案.

【详解】设复数z=l+8i,beR,

则5=1—次，z+z=2，z-z=2b\,

(z+z)(z-z)=4历=4i,解得人=1,

所以z=l+i，

所以z的虚部为1.

故选：D

3.已知下列各选项是函数y=/（x）的导函数的图象，则x=a是函数y=/（x）的极小值点的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】由极小值点的定义，导函数与原函数的关系，即可选出答案.

【详解】当/‘（x）＞o时，/（X）单调递增，当r（x）＜。时，f（x）单调递减,

要使X=。是函数＞=/（X）的极小值点，则需limf'M＜0,limf（x）＞0,

对于AB选项，》=。不是函数）=/（可的极值点；

对于C选项，％=。是函数〉=/（%）的极小值点，正确:

对于D选项，x=a是函数y=/（x）的极大值点.

故选：C

4.对于平面内»个起点相同的单位向量q（i=1,2,,n,n=2k,k&K）,若每个向量与其相邻向量的夹

角均为生，则q与阻++a”的位置关系为（

）

n

A,垂直B.反向平行C.同向平行D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量加法的运算法则即可得解.

【详解】根据题意可得4+4+•+«„=o,

=

所以a?++cifJ­q，

所以％与4++%的位置关系为反向平行.

故选：B.

22

5.已知双曲线---=Z（其中加>0,4/0）,若；1<0,则双曲线C离心率的取值范围为

m〃2+1

（）

A.（1,V2）B.（V2,+oo）C.（1,2）D.（2,^o）

【答案】A

【解析】

【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用加表示出离心率，进而可得其取值范围.

22

【详解】由双曲线C:色——工一=4（其中机〉0,4<0）,

mm+1

22

zryx_

得一4（用+1）-Am，

则双—再彳好隹笋G

因为m>0,所以机+1>1,则0<」一<1,

加+1

所以1<2-——<2,

772+1

所以1<e<0，即双曲线C离心率的取值范围为（1,夜）.

故选：A.

6.在锐角中，"tanA>l”是“A不是最小内角”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【解析】

【分析】举例即可判断充分性，若A不是最小内角，假设tanAWl,利用反证法即可判断必要性，即可得

解.

【详解】当A=50°,8=60°,C=70。时，tanA>l,

此时A是最小内角，故充分性不成立；

若A不是最小内角，不妨设。为最大角，则

假设tanAWl,由0°<A<90°,可得AW45。，

则3<45。，此时C>90。，与题意矛盾，所以tanA>l,

若锐角的最大角小于或等于45°,则三角形的内角和小于或等于135。，

这与三角形的内角和等于180°矛盾，

所以若A不是最小内角，则tanA>l,故必要性成立，

综上所述“tanA>1”是“A不是最小内角”的必要不充分条件.

故选：C.

7.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河

中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质.已知抛物线y2=4x,过

焦点的弦A3的两个端点的切线相交于点M，则下列说法正确的是（）

A.M点必在直线％=-2上，且以为直径的圆过M点

B.〃点必在直线行一1上，但以为直径的圆不过M点

C.M点必在直线x=-2上，但以A3为直径的圆不过M点

D.“点必在直线户一1上，且以AB为直径的圆过M点

【答案】D

【解析】

【分析】结合导数几何意义可证得过抛物线上一点（％%）的切线方程为%丁=2（%+/），由此

可确定在A3处的切线方程，进而结合M点坐标得到直线AB方程，代入尸（L0）可知点M必过直线

产一1；结合韦达定理可得《=-1,知例，/跖，由此可得结论.

【详解】设（毛，为）为抛物线上一点，

当先>。时，由y=24得：>'=2，在（%,为）处的切线方程为：

2，2、2

即>一%=一%一叠'1.=2元+&=2（九+%）；

为I4J2

同理可得：当先<0时，在（小，%）处的切线方程切线方程为为y=2（x+Xo）；

经检验，当/=0,%=0时，切线方程为x=0,满足为旷=2（%+/）,

，过抛物线y2=4x上一点（小,%）的切线方程为：y0y=2（x+x0）；

设4（石,y）,8（孙名），川（王，％），

则抛物线在A8处的切线方程为yy=2（x+xj和y2y=2（x+w）,.・・《：八_:3

・♦.点A8满足直线方程：劝=2（x+x,）,又直线A3过焦点尸（1,0），

.•.2（1+毛）=0,解得：下=-1，；•M点必在直线x=-l上；AC错误；

由题意知：丫产0,N2H0，

224

^kMA—--，^kMB—-->,■,~kMA-~kMB一-：

M%y%

设直线AB方程为：尤=（y+l,

由，2A得：y~—4（y—4=0,-=一I，即MA_LMB，

y=4x

二以AB为直径的圆过M点；B错误，D正确.

故选：D.

8.在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题

等.某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向

规定只能由西向东、由北向南前行）.若从这个城市的最西北角A处前往最东南角8处，则有70种走

法，如图2.现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3,则从点P到点。的最短距

图1图2图3

A.60B.70C.80D.90

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由西向东、由南向北前行共有种不同的走法，再由6个位置能向上走一步，得

到C；种不同的走法，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2

步，所以共有C；C；=10种不同的走法，

又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有C：=6种不同走法，

根据分步计数原理得，从点P到点。的最短距离走法种数共有10x6=60种.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列不等式一定成立的是（）

A.空'B.若m>〃,则加

bb+m

C.|x-«|+|x-/?|>|a-/?|D.a^J->4ab

【答案】BC

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断B,举反例排除AD,根据绝对值不等式判断C.

na4-ni

【详解】对于A,取。m=0,,满足一=-―故A错误；

bh+m

对于B,若m>>0,,则加若m>〃,『=（）,,则加产=〃/，mt2>nt2»故B正确；

对于C,根据绝对值三角不等式人一。|+上一4引（工一。）—（工-3|=快一4=|。—。］,C选项正确.

对于D,a<O,b<0,,故D错误.

2

故选：BC.

10.在不透明的罐中装入大小相同的红、黑两种小球，其中红球。个，黑球个，每次随机取出一个球，

记录颜色后放回.每次取球记录颜色后再放入。个与记录颜色同色的小球和d个异色小球（说明：放入

的球只能是红球或黑球），记B,表示事件“第i次取出的是黑球”，勺表示事件“第/次取出的是红球”.则

下列说法正确的是（）

/、2

A.若a=4,/?=3,c=l,d=O,则尸=,

B.若c=i,d=o,则p（44）#尸（A&）

4

C.若a=2,b=l,c=l,d=1,则P（4鸟）=不

D.若以Hb,c=l,d=l,则P（44）HP（A&）

【答案】CD

【解析】

【分析】根据古典概型概率公式和概率的乘法公式即可求解.

343

【详解】选项A：共有8个球P（B,A]=—x—=—,故A错误;

a=4,b=3,c=l,d=0,1317814

选项B：c=l,d=O,0（旦&）=-^x-:、,P（A,B2）=-^—X-

a+ha+（Z?+l）a+b（a+l）+b

所以2（44）=尸（4不）,故B错误；

224

选项C：a=4,/?=l,c=l,d=l,P（AS）=----x-=一，故C正确；

'、一）1+2515

选项D：P（44）='-x"+1,P（AB,）=，-x"1,

''=）a+ba+b+2v'"a+ba+b+2

由于出b,所以0（44）式2（4坊），故D正确.

故选：CD.

11.在棱长为1的正方体ABC。-4耳G。的侧面ABB】A内（包含边界）有一点P,则下列说法正确

的是（）

A.若点P到直线A3与到直线与G距离之比为2:1,则点P的轨迹为双曲线的一部分

B.若点尸到直线A3与到直线与G距离之比为1:1，则点尸轨迹为抛物线的一部分

C.过点P,c,。三点作正方体A8CD-的截面，则截面图形是平行四边形

D.三棱锥P—A3c体积的最大值为工

6

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A：如图，以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点P（x,O,z）,由点P到直线A6与到

直线耳G距离之比为2:1求得点P的轨迹；对B：根据抛物线的定义得点P的轨迹；对C：过点P作

分别交于M,N,则过点产,。,力三点的截面为平行四边形MNC。；对D：当点p

在A片上时，三棱锥P-ABC体积最大.

【详解】如图，以为为坐标原点，以44,BtC,分别为x,y,z建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,设侧面内（包含边界）点P（x,0,z）,（0WxWl,0WzWl）,

对于A：点p到直线AB的距离为1一z，

由正方体知B©1面,又P&u面ABB.A,,所以B£1PB.,

,------1-Zcr2[Z+

所以点p到直线8c距离为P5^故,彳=2,整理得L+S_：

1\lx2+z214

39

所以点尸的轨迹为椭圆的一部分，故A错误；

对于B：点尸到直线AB与到直线SG距离之比为1:1,即尸到直线AB与到定点与的距离相等,

根据抛物线定义知点P的轨迹为抛物线的一部分，故B正确；

对于C：过点P作阴V〃AB分别交于M,N,连接CN,DM,

则MN〃CD且MN=CD,所以四边形MNC。是平行四边形，

则平行四边形MVCD为过点P,C,。三点的截面，故C正确;

Z,-«=cosl-12l-2sin^-lZ=l-2sin2l227,

318618186

因为sin—<一,所以/?—a=2(「—sirr7]>0,故/>>〃,

661366)

综上：c>b>a,A正确，B错误；

令”x)=e*—x—l,x>0,则.1(x)=e*—l,

当x>0时，/'(x)=e'—1>0,故/(x)在(O,+8)上单调递增,

19

所以/>/(0)=0,所以

18T8

令g(x)=lnx-x+l,x>0,则g'(x)=——1=--

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>l时，g'(x)<0，g(x)单调递减,

.(35),3535,小…3535,17

故⑷「l=ln———+l<g(l)=°n，故In—<---1=—,

1818181818

故d>a>m,C正确，D错误；

故选：AC

【点睛】方法点睛:我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有e*Nex，eNx+1,

lnx<x-l(x>0),In—<--1,—<ln[4+1]<」等.

XX1+X〈XJX

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若数列T,a,-4,8,。为等比数列，则log“网=.

【答案】4

【解析】

【分析】根据等比数列的性质列出方程，求出。力，从而计算出答案.

【详解】由题意得Ta=-8,-4Z?=82.解得a=2,〃=—16,

故logjq=log216=4.

故答案为：4

14.己知四面体ABCQ中，AB=AC=BD=CD=2,BC=2g，则该四面体体积的最大值为

【答案】走##，百

33

【解析】

【分析】取BC的中点。，连接易得OO，BC,OA_LBC,OO=1,OA=1,则可得当QD_L

平面ABC时，该四面体体积取得最大值，进而可得出答案.

【详解】取BC的中点。，连接OA,。。，

因为AB=AC=BO=CO=2,BC=，

所以OD，8C,OA，BC,OD=I,OA=1,

SABC=；x1x2^3=5/3,

当O£)_L平面A8C时，该四面体体积取得最大值，

最大值为ABC-0D=2.

3桢。3

故答案为：昱.

3

G*

15.函数y=-3/的值域是.

1一COSX

【答案】:,+8

L4;

【解析】

【分析】函数y=2--111¥的儿何意义是在直角坐标平面内定点4(1,2)与动点例(cosx,sinx)连线的斜

1-COSX

率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案.

【详解】函数y=2Tll1y的几何意义是在直角坐标平面内定点A(l,2)与动点M(cosx,sinx)连线的斜

1-COSX

率，

易知动点M在以(0,0)为圆心，1为半径的圆除(1,0)以外的点上,

易知直线A"的斜率存在，设为左，则直线A〃为y-2=k(x—l)即区—y+2—左=0,

2-左3「31

则I।«1,解得即值域为-,+oo.

7^71414)

「3、

故答案为：二,+8

16.己知P,。分别是函数y=ge2\y=@言史图象上动点，则|PQ|的最小值为.

【答案】@

2

【解析】

【分析】由题意易知两函数关于了=%对称，由此即可将问题转化为点产到直线＞=》距离的最小值的2

倍，再由当曲线y=]e2x在点p出的切线与＞=%平行时，点P到直线＞=%的距离有最小值，由此即可

求出答案.

【详解】因为y=工e?x反解得x=卜2+g,

22

所以y=ge2*与y=主互为反函数，关于＞=%对称，

所以|PQ|的最小值为点P到直线＞=%的距离的最小值的2倍，

当曲线y=]e2*在点p处的切线与＞=%平行时，点p到直线y=x的距离有最小值，

y'-e2j令y'=i,解得了=(),所以则点P到直线工》的距离d

所以|PQ|的最小值为21=孝

故答案为：e

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

a

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为"c,且cosB+,cosA=1

>Ja2+b2G+b2

(1)判断一ABC的形状;

3

(2)若。=3/=4,点。,E,b分别在边BC,AC,A8上，且CD=2DB,AE=3EC,AF=—FB,求

2

二DEF的面积.

【答案】(1)_ABC是直角三角形

(2)1.5

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；

(2)根据SDEF=SABC-SAEF—SCDE—SRDF求解即可.

【小问1详解】

anb

BicosB+..cosAk=1,

।十口+M/日+。2―矿/27V

由正弦定7T理m得---+--c*-*-—--b-~-+-b-~---------=4/+/,

2c2c

化简得。2="+〃，

所以_A3C是直角三角形；

【小问2详解】

由(1)得。=乙TT，

2

因为。=3/=4,所以c=+02=5,

43

则cosA=—=sin氏cos8=《=sinA,

3

因为CD=2DB,AE=3EC.AF=—FB,

2

3

所以CO=2O8=2,A£=3EC=3,A/=—所=3,

2

113

S=—AE-AFsinA=—x3x3x—=2.7,

烟225

114

SBDF=-BDBFsinB=-xlx2x-=0.S1

S=—CE-CD=—xlx2=1,

CrZnJIrL22

SABC=3。山=6,

所以SDEF=SABC—SAEF—SCDE—SBDF=6—2.7—0.8—1=1.5.

18.已知等差数列｛%｝,首项q=l,其前〃项和为s〃，点在斜率为1的直线上.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若“=」一£为数列也,｝的前〃项和，求证：

anan+\32

【答案】⑴a„=2n-l

（2）证明详见解析.

【解析】

【分析】（1）求出S.，再根据可与S“的关系求出为即可；（2）根据裂项相消法求和再求最值即可.

【小问1详解】

S

设斜率为1的直线为y=x+〃，则一i=〃+5,

n

当〃=1时，；=1+力，所以：=l+b,因为q=l,所以A=0,

所以S.=〃2,

当〃22时，S,I=（〃—1）2,

所以=S“-S”।="2=2〃-1,经检验，〃=1也成立.

所以a“=2n-\.

【小问2详解】

证明：由（1）可得,

则7；=4+仇+4++bn

+-[―___M

213）2〔35）2〔57）+21（2〃-1）（2〃+1）,

if1111111

2（33557（2n-l）（2〃+1）,

斗，]

2（2H+1）

n

一2〃+1'

n+1n1

因为n-2n+3-2/?+l-（2n+l）（2n+3）＞n'

所以数列｛（,｝是一个单调递增数列，

又因为工=§,且当"一”时，

所以;4（

19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCO是菱形，其对角线AC,8。交于点。，且尸。工平面

ABC。,OC=1,QD=OP=2,M是PO的中点，N是线段CD上一动点.

（1）当平面0MN〃平面P8C时，试确定点N的位置，并说明理由；

21

（2）在（1）的前提下，点。在直线MN上，以PQ为直径的球的表面积为一元.以。为原点，

4

OC,O£»,OP的方向分别为x轴、＞轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。一型，求点。的坐标.

【答案】（1）N是CO的中点

1318

（2）黑0,

【解析】

【分析】（1）根据面面平行的性质证明MN〃PC，即可得解；

（2）先根据球的体积求出PQ,然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.

【小问1详解】

因为平面OMN〃平面PBC,

平面'平面PCD=MN,平面PBCc平面PCD=PC,

所以MN//PC,

因为M是PO的中点，所以N是。。的中点；

【小问2详解】

由题意4兀x（学）=子兀，解得「°=理，

设MQ=/lMN,/leR,

由题意，P（O,O,2）,M（O,l,l）,7V^,l,oj,

则PM=（0,1,—1）,MN=（；,0,—1）,

则+=浮,解得4=i或兄=—日，

当;1=1时，MQ=MN,则

B13（1313、

当;t=_"时，MQ=w=—,0,—,

55I105J

（1313

设。（x,y,z）,贝|」加。=（%广一1,2-1）=卜6,0,二

1313

x=--X------

1010/-s、

,则（-而13।18、）

所以，y-l=0,解得＜y=i4I"

।1318

z-l=—z=­

5、5

/1\/1□IQ

综上所述点。的坐标为—,1,0I,I--,1,—

\乙J\,1\*J

20.邮件管理是一类非常常见的二元分类问题.如果将“非垃圾邮件”归类为正类邮件，“垃圾邮件”归类为

负类邮件，试回答以下问题：

（1）若在邮件中正类邮件与负类邮件的占比分别为鼻和;，由于归类模型的误差，归类判断可能出错的

概率均为0.05.若某个邮件归类为正类邮件，求它原本是正类邮件的概率；

（2）在机器学习中，利用算法进行归类，常用7P,刀V,EP,FN分别表示将正类邮件归类为正类邮件的

个数，将负类邮件归类为负类邮件的个数，将负类邮件归类为正类邮件的个数，将正类邮件归类为负类

邮件的个数.统计发现，收到邮件的种类可能与是否在工作日有关.为了验证此现象，在一段时间内，

从数据库中随机抽取若干邮件，包含有正类邮件和负类邮件，按照机器学习的方法进行分类后，得到以

下数据：TP=60,n1=TO,FP=15,FN=15.并给出了下表，试回答以下问题：

\时间

邮件、工作日休息11合计

正类70

负类18

合计

（i）求”（〃充分大）封邮件归类正确的概率；

（ii）补充上表，依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析收到邮件的种类与是否在工作日有关?

2

2_n(ad-he)

力(a+Z?)(c+d)(a+c)仅+d)，n=a+b+c+d

a0.100.050.0010.005

42.7063.8416.6357.879

【答案】（1）—

21

（2）（i）0.7（ii）认为收到邮件的种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

【解析】

【分析】（1）由条件概率和全概率公式求解即可：

（2）（i）由古典概率的公式即可求出"（〃充分大）封邮件归类正确的概率；（ii）补全列联表，计算

Z2并对照卡方表完成检验.

【小问1详解】

设事件A="该邮件为正类邮件”，B="该邮件归类为正类邮件”，

所以尸（以力=0.95,P（4）=；,尸（司=|,F（8团=0.05,

P(AB)_P(A)P(B|A)

所以P（A⑻

P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

-x0.95

319

1221

-x0.95+x0.05

33

【小问2详解】

（i）因为TR7N表示将邮件归类正确,

60+1070

所以邮件归类正确的概率为0.7,

60+10+15+15100

所以“（”充分大）封邮件归类正确的概率是0.7.

（ii）补全列联表如下:

\时间

工作日休息日合计

邮件

正类70575

负类71825

合计7723100

零假设为“0：收到邮件的种类与是否在工作日无关，

2100(70x18—5x7)2

根据列联表中的数据，经计算可得:y-=-x--4-5-.-2-->--6-.-6-3-5--=-x-001，

77x23x75x25

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断/不成立，

即认为收到邮件种类与是否在工作日有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

22

21.己知椭圆E:二+多=1（。>。>0）,其焦距为4人，连接椭圆E的四个顶点所得四边形的面积为

a~b~

6.

（1）求椭圆£的标准方程；

（2）已知点P（l,0）,过点。（9,0）作斜率不为0的直线交椭圆E于不同两点A,8,求证：直线PAPB

与直线）=2所成的较小角相等.

【答案】（1）—+y2=\

9

（2）证明见解析

【解析】

2c=472

【分析】（1）由题意可得,1•2人2。=6,进而解方程求解即可；

2

a1=b2+c2

⑵设直线AB的方程为丁=人（%一9）,k^Q,设A（/x）,3（电,必），联立直线和椭圆方程，利

用韦达定理得到斗+々、x/2,转化直线PAPB与直线y=2所成的较小角相等为原人+即p=0,进而求

证即可.

【小问1详解】

2c=4痣

由题意得，H2a-2b=6,

2

a2=b2+c2

解得a2=9>/?2=1>c2=8>

所以椭圆E的标准方程为y+y2=l.

【小问2详解】

证明：由题意，直线A8的斜率一定存在，

设直线AB的方程为〉=攵（％-9）,ZHO，设4（X],y）,B（x2,y2）,

y=攵(工-9)

联立,/,,整理得(1+9小卜2一162储x+729-一9二0,

19+y=1

91

所以△=(162^2)—4(1+942)(729.2—9)>0,BPk2<—,且上w0,

162k2129k2-9

…=由