2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第06讲 数列与导数、概率统计等交汇综合问题（解析版）

第06讲数列与导数、概率统计等交汇综合问题目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：数列与导数 1题型二：数列与概率统计 8题型三：数列在实际问题中的应用 28题型一：数列与导数典型例题例题1．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以当时，，所以；当时，，所以，所以，又满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，当时，；当时，；所以，当时，递减，所以；当时，，设，则，令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以在时递减，在时递增，而，，且，所以；综上，的最小值为.例题2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知，．(1)求函数的单调区间；(2)容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：；(3)数列满足，，证明：．【答案】(1)减区间为，增区间为.(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为，定义域为，所以，令，解得，令，解得，所以函数的减区间为，增区间为.（2）构造函数，则，当时，函数单调递减，则，所以在恒成立，所以在单调递减，所以，所以在恒成立，又由（1）可知，当时，，所以当时，的图象始终夹在直线和直线之间，且的图象不会和直线和直线相交，又因为直线和直线的夹角为，因此恒成立，命题得证.（3），恒成立，且，所以当时，，又由（1）可知数在单调递减，在单调递增，因为，所以，，，，又因为，所以，所以，又因为在单调递减，所以，即即，所以，则，所以.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.【答案】(1)是上的“弱增函数”，理由见解析(2)1(3)所有可能的值为和【详解】（1）函数是上的“弱增函数”，理由如下：显然，是上的严格增函数，对于函数，，当时，恒成立，故是上的严格减函数，从而是上的“弱增函数”.（2）记，由题意得，，由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数，函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，令，则，当，即时，解得或，当时，，则函数在上单调递减，即函数是区间上的严格减函数，由是上的“弱增函数”，得，所以，所以的最大值为1.（3），由是“弱增数列”得，即.又因为d是偶数，所以，从而.故，由得，所以当时，，即，故若，则不存在和，使得.从而.若，解得，满足；若，解得，满足；若，解得，不满足.当时，，故不存在大于5的正整数，使得.综上，所有可能的值为和.2．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知函数.(1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值；(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由.【答案】(1)或(2)（i）

（ii），证明理由见解析.【详解】（1）由已知，定义域为，∵，∴，∴切点即，又∵，∴由导数的几何意义，函数在点处的切线斜率为，∴函数在点处的切线方程为，整理得，.若切线在两坐标轴上截距相等，则①当切线过原点时，，解得，切线方程为，②当切线不过原点时，斜线斜率，解得，切线方程为.∴的值为或.（2）（i）由（1）知，，令，解得，，若为正整数，则，∴当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，∴当时，的极小值，也是最小值为，若当时，恒成立，则的最小值，设，则，当时，，在区间上单调递减，∴当时，单调递减，又∵，，∴使的正整数的最大值为，∴当时，使恒成立的正整数的最大值为.（ii），理由证明如下：∵当且时，∴（），又∵，∴，①当时，，②当时，由（i）知，，恒成立，，∴当时，，，即恒成立，∴，∴，综上所述，当且时，，即有.题型二：数列与概率统计典型例题例题1．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，①当时，请直接写出数学期望与的关系；②求出关于的表达式.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2)①；②.【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，，，所以的分布列为012……的数学期望，显然，两式相减得，所以.（2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹，第次射击前，剩余空包弹的期望是，若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为，若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为，所以.②当时，弹巢中有发空包弹，即，由，得，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，而当时，满足上式，所以.例题2．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)可以；理由见解析【详解】（1）设计算机4次生成的数字之和为，则，则，，的可能取值为，则，，，所以的分布列为123（2）设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，由全概率公式可知则，，即，，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，则，所以恒成立，所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.例题3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为.(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：.【答案】(1)疫苗(2)答案见解析【详解】（1）第1位居民接种疫苗的概率分别为，若第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，，第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于，故第2位居民接种疫苗的概率最大；（2）因为，所以，故数列是公比为的等比数列.又，所以即，从而，同理，，所以，第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知棱长均为1的正三棱柱顶点处有一机器蚂蚁，机器蚂蚁每次随机等可能地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若机器蚂蚁初始位置位于底面的某一顶点．

(1)求机器蚂蚁移动2次后仍在底面上的概率；(2)求机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由很可能性不妨设机器蚂蚁的初始位置在顶点，由树形图，共有9个不同结果，其中在底面上的结果有5个，所以机器蚂蚁移动2次后仍在底面上的概率．（2）机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率，则移动次后仍在底面上的概率为，依题意，，即，令，，展开得，解得，于是，而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以机器蚂蚁移动次后仍在底面上的概率.例题5．（2023春·湖南·高二校联考期中）从甲､乙､丙等10人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，求次传球后球在甲手中的概率．【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）依题意，可能取值为，，，，，所以随机变量的分布列为：0123（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，则有，所以即，所以，且所以数列表示以为首项，为公比的等比数列所以，所以即次传球后球在甲手中的概率是.例题6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．【答案】(1)，(2)证明见解析；(3)时，，当时，，统计含义见解析【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,,即，所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，（3），由得,即,当时，，当时，，当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．例题7．（2023·全国·高三专题练习）绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【详解】（1）（千米）.

（2）（i）由..

（ⅱ）依题意有，所以.

（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种；①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为.②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为.，.

时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．，，，…，..

∴获胜的概率，失败的概率..∴获胜的概率大.∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．精练核心考点1．（2023·海南海口·校考模拟预测）某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；(2)求第次表演者是甲组的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)【详解】（1）依题意某组表演一次节目后仍然是该组表演的概率为，则为另外一组表演的概率为，则的可能取值为、、，所以，，，所以的分布列为：所以.（2）设在第次表演表演者是甲组的概率为，显然，当时，即，所以，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以，即第次表演者是甲组的概率为.2．（2023春·高二单元测试）某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分．(1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率是，若．①求和；②写出与之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小．【答案】(1)(2)①，；②，甲的可能性的大【详解】（1）该小组抽中会操作的实验题目的情况有种，该小组抽取实验题目的所有情况有种，故该小组在第一轮得20分的概率为．（2）①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以，则，；②由第次回答的是甲的概率是，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，则，则与之间的关系式，以上关系式可化为，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，，，，所以，所以第9次回答的是甲的可能性比第10次回答的是甲的可能性的大．3．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.(1)求的分布列；(2)求数列的通项公式；(3)求的期望.【答案】(1)答案见解析(2)(3)1【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.4．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列（表格表示）：(2)设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①用表示；②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析(2)①；②王先生积极响应该市政府的号召，理由见解析【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，，，由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；；；．所以随机变量X的分布列为X123P（2）①设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知．所以．②由①知，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召．5．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．①求随机变量的分布列；②证明：单调递增，且小于3．【答案】(1)分布列见解析(2)①分布列见解析；②证明见解析【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3，，，，因此的分布列为123（2）①可取值为1，2，…，，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：123……②由①知：（，）．，故单调递增；由上得，故，∴，故．6．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则，(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元.【详解】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：；（2）∵，∴.（3）由题可知，遥控车移到第格有两种可能：①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，∴，∴时，，又∵，∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，∴，以上各式相加，得，∴时，，∴到达“胜利大本营”的概率，∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，∴的期望，∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元7．（2022·山东泰安·统考模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为，求的分布列与数学期望；(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.【答案】(1)分布列见解析，(2)【详解】（1）甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为，依题意，所有可能的取值为

，

所以的分布列如表所示所以；（2）依题意，，，“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，所以，则所以又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故即；综上，为E(X)=，.题型三：数列在实际问题中的应用典型例题例题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天（视作2个月）的稳健型（不会亏损）理财方案.方案一：年化率，且有的可能只收回本金；方案二：年化率，且有的可能只收回本金；已知老张对每期的投资本金固定（都为10万元），且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有的可能选择另一种理财方案进行投资.(1)设第次投资（）选择方案一的概率为，求；(2)求一年后老张可获得总利润的期望（精确到1元）.注：若拿1千元进行5个月年化率为的投资，则该次投资获利元.【答案】(1)(2)2255元【详解】（1）由题意知，，整理得，，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，那么；（2）当某期选择方案一时，获利期望值为元；当某期选择方案二时，获利期望值为元；那么，在一年间，老张共投资了6次，获得的总利润的期望为元，即一年后老张可获得的利润的期望约为2255元.例题2．（2023·全国·高三专题练习）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的技术领先世界．目前某区域市场中智能终端产品的制造由公司及公司提供技术支持．据市场调研预测，商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用公司技术的产品中有20%转而采用公司技术，采用公司技术的仅有5%转而采用公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．(1)用表示，并求实数，使是等比数列；(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）【答案】(1)，(2)至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上【详解】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为．易知经过次技术更新后，则，即，由题意，可设，∴，又，从而当时，是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可知，，又，则，∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比．由题意，令，得，则，故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．例题3．（2023·全国·高三专题练习）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；(2)求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】(1)；；；,(2)证明见解析(3)【详解】（1）棋子开始在第站是必然事件，∴，棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，∴；棋子跳到第站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，∴；棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为，故，棋子跳到站只有一种情况，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，∴．（2）证明：由（1）可得且，∴数列为等比数列，且公比为．（3）由（2）可知，∴．∴玩该游戏获胜的概率为．例题4．（2023·云南昆明·统考模拟预测）雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kochsnowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设，并作了如下探究：…边数31248192…从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．(1)填写表格最后一列，并写出与的关系式；(2)根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；(3)从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）【答案】(1)填表见解析；(2)(3)第7个【详解】（1）图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是．P1P2P3P4…Pn边数31248192…从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…所以，即．（2）当时，，又因为，符合上式，所以．（3）由，得，则，所以，故，由，，故，又因为，所以，所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．例题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知曲线及曲线.从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列.(1)试求与之间的关系，并证明：；(2)若，求的通项公式.【答案】(1)，证明见解析(2)【详解】（1）由已知，，从而有，因为在上，所以有，所以，由及，知，下证：，因为，所以与异号，因为，所以，所以，即；（2）由可得，两式相除得，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，则，解得.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设绿洲面积为a1万平方千米，第n年绿洲面积为a万平方千米．(1)求第n年绿洲面积a（单位：万平方千米）与上一年绿洲面积a-1（单位：万平方千米）之间的数量关系；(2)求数列{a}的通项公式；(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%（参考数据：lg2≈0.301）？【答案】(1)(2)(3)6年【详解】（1）由题意得，；（2）由（1）知，，可变形为：，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．∴，故；（3）由（2）知，，令，即，∴，∵，即，∴，∵，∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%；综上，，，至少经过6年，绿洲面积可超过60%.2．（2023春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里).(1)确定与的递推关系(即把，用表示)(2)证明:数列是等比数列，并求；(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？(参考数据:)【答案】(1).(2).(3)经过5年,该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.【详解】（1）.（2），，，所以数列是等比数列.解得.（3）由（2）知，解得,是递减的指数函数，当时,当时.经过5年,该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二兵团二中校考阶段练习）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m²），其中拥有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m²）的旧住房.(1)分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积表达式，并写出第n年年末与第n+1年年末实际住房面积的关系式.(2)如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30％，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取）【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）第1年年末的住房面积：；第2年年末的住房面积：；若记第n年年末的实际住房面积为，则第n年年末与第n+1年年末的住房面积：.（2）由（1）中的递推关系式，将等式两边同时减10b，得，首项为，当时，数列是等比数列，公比，则有，当时，数列是常数列，满足上式，于是，可得，由，解得，所以每年应拆除的旧住房面积为.4．（2023·安徽黄山·统考二模）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中