2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 抛物线（含直线与抛物线的位置关系）（解析版）

第05讲抛物线（含直线与抛物线的位置关系）目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：抛物线定义 1题型二：抛物线中的距离及最值问题 3题型三：抛物线焦点弦（焦半径） 8题型四：直线与抛物线的位置关系 10题型五：抛物线中点弦问题 12题型六：：抛物线弦长（面积）问题 16题型七：抛物线中定点、定值问题 21题型八：抛物线中定直线问题 27题型九：抛物线中向量问题 31题型一：抛物线定义典型例题1．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设焦点为，则，解得．

故选：D2．（2023秋·高二课时练习）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．【答案】；【详解】根据题意，作图如下，设点在其准线上的射影为，由抛物线的定义得，欲使取得最小值，就是使最小，，当且仅当三点共线时，等号成立.所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标，设点的横坐标为，为抛物线上的点，，点的坐标为.

精练核心考点1．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，利用抛物线定义可知.故选：A2．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，设准线与轴的交点为，因为为靠近点的三等分点，可得，又因为，可得,又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为，即点点的纵坐标为.故选：C.

题型二：抛物线中的距离及最值问题典型例题1．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，抛物线的焦点为，，准线方程为，设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结，则长即为点到轴的距离，可得，根据抛物线的定义，得，，根据平面几何知识，可得，得.当且仅当､､三点共线时等号成立，，当､､三点共线时，的最小值为，即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为.故选：D.2．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.

3．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于，由抛物线定义可知，所以，则当共线时取得最小值，所以最小值为．故选：B．4．（2023秋·全国·高二期中）设点P是抛物线上的一个动点.(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.

（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为4.精练核心考点1．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】由抛物线可知其焦点为，准线方程为记抛物线的焦点为，

所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为3．故选：A．2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，即其最小值是.

故选：D3．（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为．【答案】【详解】设点，则，当时，，此时点.故答案为：.4．（2023·全国·高二课堂例题）已知点P在抛物线上，且，求的最小值．【答案】【详解】设点P的坐标为，则，而且，又因为，所以时，．因此所求最小值为.题型三：抛物线焦点弦（焦半径）典型例题1．（2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知A为抛物线上一点，为抛物线焦点，，点A到轴的距离为6，则（

）A．2 B．8 C．6 D．10【答案】B【详解】由题意A为抛物线上一点，点A到轴的距离为6，则点A的横坐标为，故由可得，即，故选：B2．（2023·甘肃陇南·统考一模）设为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为．【答案】4【详解】设，由，得，所以，解得．故答案为：4.3．（2023·全国·高一随堂练习）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求．【答案】答案见解析【详解】由抛物线方程得：，准线方程为：为中点，点在轴上，点的横坐标为，由抛物线定义知：，.精练核心考点1．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】设，抛物线，则，焦点恰好是的重心，则，故．故选：A．2．（2023秋·高二课时练习）设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是（

）A．8 B．6C．4 D．2【答案】A【详解】∵抛物线的方程为，∴其准线的方程为，设点到其准线的距离为，则，即，∵点到轴的距离是，∴，∴.故选：A3．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设点，抛物线的准线方程为，因为到直线的距离为，则，可得，所以，.故选：C.题型四：直线与抛物线的位置关系典型例题1．（2023·全国·高二课堂例题）已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程．【答案】或【详解】当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为．由消去未知数x得．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切．如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由方程组消去x，整理得．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且，因此可解得．此时直线l的方程为，即．综上可知，直线l的方程为或．2．（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，当为何值时，与：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.【答案】答案见解析【详解】联立消去，得（*），当时，（*）式只有一个解，此时直线与只有一个公共点，此时直线平行于轴．当时，（*）式是一个一元二次方程，，①当，即，且时，直线与有两个公共点，此时直线与相交；②当，即时，直线与有一个公共点，此时直线与相切；③当，即时，直线与没有公共点，此时直线与相离．综上所述，当或时，直线与有一个公共点；当，且时，直线与有两个公共点；当时，直线与没有公共点．精练核心考点1．（2023·全国·高二随堂练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？【答案】条【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，当时，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条．2．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.【答案】答案见解析【详解】

若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点；若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：，由得：；①当时，，解得：，此时，直线与抛物线有且仅有一个公共点②当时，方程的判别式；若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点；综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点.题型五：抛物线中点弦问题典型例题1．（2023春·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）已知A，B为抛物线C:上的两点，，若M为线段AB的中点，则直线AB的方程为.【答案】【详解】设，由题意，，因为A，B是抛物线上的两点，则易知在抛物线内部，所以，两式相减得，，整理得，因为线段AB的中点为，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.2．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)2【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.

3．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是抛物线C上一点，，且，所以根据对称性，不妨设点M在第一象限，解得，故抛物线C的方程为．（2）设，，则两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，故直线l的方程为．2．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由定义知，解得，所以抛物线的方程为.（2）设，，因为是线段的中点，所以，，则，所以直线AB的斜率，所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则，联立，得，所以，，所以，.3．（2023秋·云南楚雄·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，是拋物线上的点，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为.（2）当直线的斜率不存在，的中点不可能为，故直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，，，，则两式相减得，整理得因为的中点为，所以，所以，所以直线的方程为，即.题型六：：抛物线弦长（面积）问题典型例题1．（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知,所以.（2）由(1)知,抛物线,直线过,可设直线的方程为,联立设,不妨设，∴，当且仅当，即时取等号，∴面积最小值为.

2．（2023秋·高二课时练习）已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求线段AB的长及的面积.【答案】(1)(2)；【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为.（2）由（1）可知，抛物线方程为，则，则直线的方程为，即，设，，联立直线与抛物线方程可得，消去可得，化简可得，则，由抛物线焦半径公式可得，；由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离，则.3．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，

设，.将代入，消去整理得.当时，，.，化简得：，解得，经检验，此时，故.精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线.其焦点为F.(1)求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形面积的最小值．【答案】(1)2x－y－1＝0(2)32【详解】（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于,则,又,所求直线方程为,即.（2）

依题意知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,与抛物线方程联立,得，消去,整理得,设其两根为,则.由抛物线的定义可知，,同理可得,四边形的面积.当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32.2．（2023秋·全国·高二期中）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，点在第一象限，且.(1)求直线的斜率；(2)若，求抛物线的方程.【答案】(1)；(2).【详解】（1）解：设因为，所以到准线的距离为即，所以,代入抛物线方程可得，即，又因为，所以直线的斜率为；（2）解：由（1）知，直线的斜率为，设直线的方程为，则，由，得，所以，因为，所以，所以该抛物线方程为.3．（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线交于两点，.(1)求；(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.【答案】(1)2(2)32【详解】（1）设，由，可得，易得，所以，则，即，因为，所以.（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.联立，化简可得，则，

设，则，则，因为，所以.题型七：抛物线中定点、定值问题典型例题1．（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到y轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线的方程；(2)在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）选①：如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，在梯形中，由中位线性质可得，所以，又，所以，由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为：.选②：设动圆的圆心为，则，由圆与轴相切可得，即，整理可得.（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，点，由，得，则.又，同理可得，则有.若为定值，则，此时点为定点.又当时，，所以，存在点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值1．2．（2023春·江西赣州·高二校考阶段练习）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点F到直线的距离为．(1)求C的标准方程；(2)若直线与C交于与点O不重合的A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，点F到直线的距离，所以，C的标准方程为．（2）设，，则，，所以直线OA，OB的斜率之积为，所以，由题意知，由得，

代入得，所以，．此时，所以．精练核心考点1．（2023秋·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【详解】（1）设，则，由题意线垂直于轴，与交于两点，知，过点且平行于轴的直线方程为：，直线的方程为：，令，得，即，由得，因为在抛物线上，即，则，化简得，由题意知不重合，故，所以曲线的方程为

（2）由（1）知曲线的方程为，点在直线上运动，当点在特殊位置时，两个切点关于轴对称，故要使得，则点在轴上．

故设，曲线的方程为，求导得，所以切线的斜率，直线的方程为，又点在直线上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，，当时，恒成立，所以存在定点，使得恒成立．

2．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）已知拋物线的顶点在原点，对称轴为​轴，且经过点​.(1)求抛物线方程;(2)若直线​与抛物线交于​两点，且满足​，求证:直线​恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)(2)定点，证明见解析【详解】（1）由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为​，因为经过点​，所以​，解得​所以，抛物线的标准方程为:​.（2）如图，设直线​的方程为:​，联立方程​消​有：​由于交于​两点，设​，则​，即​，​，由​.则​.解得:​，验证满足条件.所以直线​的方程为​，即证直线​恒过定点.题型八：抛物线中定直线问题典型例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．【答案】（1）①③，；（2）点P在定直线上；证明见解析；定直线．【详解】（1）若有①，则，，此时②不能满足，，③能满足，若有②，则，①③都不能满足．故能同时满足①③，抛物线方程为；（2），，，，，；，由韦达定理得，同理，；因为即，同理，；消去y得，，，，．所以点P在定直线上．2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.（1）求和的值；（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），联立方程，消去后整理为，因为直线与抛物线相切，所以，得，故，.（2）证明：直线的方程为，联立方程，解得或，则点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为联立方程，消去整理为，有，，，由得或，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，化为，直线的方程为，化为，联立直线、的方程消去后得，得，因为直线与不重合，所以，所以，故点在定直线上.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.（1）证明：线段的中点在定直线上；（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.【答案】（1）证明见解析；（2）点，，三点共线.【详解】（1）设，则，因为点在第一象限，所以，对两边求导得：，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，则，所以，所以线段的中点为所以线段的中点在定直线上.（2）若，则.所以，，因为，所以，所以，直线.由得，所以或2，所以，由得，所以或8，所以.因为，，，所以，，所以点，，三点共线.2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.（1）求抛物线C的方程.（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，代入解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线，则，设,，所以切线PM的方程为，即,同理切线PN的方程为，联立解得点，设直线MN的方程为，代入，得，所以，所以点P在上，结论得证.题型九：抛物线中向量问题典型例题1．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N