期末复习重要考点03 《一元一次方程》十大考点题型（热点题型+限时测评）（解析版）

（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点03《一元一次方程》十大重要考点题型【题型1方程的有关概念】1．（2022秋•新城区校级期末）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④1x+2=0；⑤3x﹣2；⑥x﹣A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案．【解答】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②2x＞3是不等式，⑤3x﹣2，不是等式，不是方程，故方程有4个，故选：B．【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解此题的关键．2．（2023秋•贵州期末）下列各式中是一元一次方程的是（）A．x+y＝6 B．x2+2x＝5 C．x+1x=0【分析】由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．【解答】解：A．x+y＝6，含有两个未知数，不是一元一次方，不符合题意；B．x2+2x＝5，未知数的次数为2，不是一元一次方，不符合题意；C．x+1D．x2故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．3．（2022秋•古冶区期末）方程：①2x﹣1＝x﹣7，②12x=13x−1，③2（x+5）＝x﹣4，A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别计算各一元一次方程的解，然后判断作答即可．【解答】解：①2x﹣1＝x﹣7，移项合并得，x＝﹣6，符合要求；②12去分母得，3x＝2x﹣6，移项合并得，x＝﹣6，符合要求；③2（x+5）＝x﹣4，去括号得，2x+10＝x﹣4，移项合并得，x＝﹣14，不符合要求；④23去分母得，2x＝3x+6，移项合并得，﹣x＝6，系数化为1得，x＝﹣6，符合要求；综上分析可知，解为x＝﹣6的方程有3个，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的解方程．4．（2022秋•琼海期末）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．2 B．3 C．±3 D．﹣3【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，∴m＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．5．（2022秋•花山区期末）当m＝时，方程（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣3＝0是一元一次方程．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得结论．【解答】解：∵方程（m﹣3）x|m﹣2|+m﹣3＝0是一元一次方程，∴|m﹣2|＝1，且m﹣3≠0，解得m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．6．（2023秋•曾都区期中）若方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为．【分析】利用一元一次方程的定义，可列出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之可得出m的值，再将其代入|m﹣1|中，即可求出结论．【解答】解：∵方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，∴m2解得：m＝﹣1，∴|m﹣1|＝|﹣1﹣1|＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．7．（2023春•黄浦区期中）已知：（a+2b）y2−y13（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程x+26−x−12+3＝x−x−m3的解，求|a【分析】（1）先根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）把x＝a代入方程求出m的值，再代入代数式求解即可．【解答】解：（1）∵（a+2b）y2−y13∴a+2b=013a−（2）∵a＝4，x＝a是方程x+26−x−12∴1−32+3＝4−4−m∴|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+12|【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．【题型2等式的基本性质】1．（2023秋•洮北区期末）将等式m＝n变形错误的是（）A．m+5＝n+5 B．m−7=n−7 C．m−12=【分析】根据等式的性质可得答案．【解答】解：A、若m＝n，则m+5＝n+5，原变形正确，故此选项不符合题意；B、若m＝n，则m−7C、若m＝n，则m−12=D、若m＝n，则﹣2m＝﹣2n，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变．2．（2022秋•琼海期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若x＝y，则xa=ya D．若ac=【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确；B、若a＝b，则ac＝bc，此选项正确；C、若x＝y，当a≠0时xaD、若ac=bc（c≠0），则故选：C．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．3．（2023秋•新民市校级月考）下列等式变形不正确的是（）A．由x＝y，得到x+3＝y+3 B．由3a＝b，得到2a＝b﹣a C．由m＝n，得到4m＝4n D．由bm＝bn，得到m＝n【分析】根据等式的性质进行判断即可．【解答】解：A．将等式x＝y的两边都加上3得到的仍是等式，即x+3＝y+3，因此选项A不符合题意；B．将3a＝b的两边都减去a得到的仍是等式，即3a﹣a＝b﹣a，也就是2a＝b﹣a，因此选项B不符合题意；C．将m＝n的两边都乘以4仍是等式，即4m＝4n，因此选项C不符合题意；D．将bm＝bn的两边都除以b，当b＝0时就不能得到m＝n，因此选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查等式的性质，理解等式的基本性质是正确判断的关键．4．（2022秋•五华县期末）下列等式变形中，结果正确的是（）A．如果a＝b，那么a﹣m＝b+m B．由﹣3x＝2得x=−3C．如果|a|＝|b|，那么a＝b D．如果ac=bc【分析】根据等式性质1对A选项进行判断；根据等式性质2对B、D选项进行判断；根据绝对值的意义对C选项进行判断．【解答】解：A．如果a＝b，那么a﹣m＝b﹣m，所以A选项不符合题意；B．由﹣3x＝2，则x=−23，所以C．如果|a|＝|b|，那么a＝b或a＝﹣b，所以C选项不符合题意；D．如果ac=bc，则a＝故选：D．【点评】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．也考查了绝对值．5．（2022秋•保亭县期末）下列式子变形中，正确的是（）A．由6+x＝10得x＝10+6 B．由3x+5＝4x得3x﹣4x＝﹣5 C．由5x＝5得x＝5 D．由2（x﹣1）＝3得2x﹣1＝3【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．【解答】解：A．由6+x＝10得x＝10﹣6，故该选项不正确，不符合题意；B．由3x+5＝4x得3x﹣4x＝﹣5，故该选项正确，符合题意；C．由5x＝5得x＝1，故该选项不正确，不符合题意；D．由2（x﹣1）＝3得x−1=3故选：B．【点评】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．6．（2022秋•广平县期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么ac=bcC．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．故选：C．【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式性质：1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．7．（2022秋•颍州区期末）若a＝b，则下列等式：①﹣a＝﹣b；②2﹣a＝2﹣b；③am=bm；④a2＝b2；⑤ab【分析】根据等式的基本性质，解答即可．【解答】解：若a＝b，则下列等式：①﹣a＝﹣b；②2﹣a＝2﹣b；③am=bm，当m＝0时，分式不成立；④a2＝b2；⑤ab故答案为：①②④．【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，【题型3一元一次方程的解法】1．（2023春•蒸湘区校级期末）解方程x3A．5x＝1﹣3（x﹣1） B．x＝1﹣（3x﹣1） C．5x＝15﹣3（x﹣1） D．5x＝3﹣3（x﹣1）【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：x3去分母，方程两边同乘15得：5x＝15﹣3（x﹣1），故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．2．（2022秋•唐县期末）下列解方程的步骤中正确的是（）A．由x﹣5＝7，可得x＝7﹣5 B．由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x C．由16x＝﹣1，可得x=−D．由x−12=x4−3【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、由x﹣5＝7，可得x＝7+5，不符合题意；B、由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x，符合题意；C、由16x＝﹣1，可得xD、由x−12=x4−故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2022秋•广州期末）将方程x0.3=1A．10x3=10+12−3x2 B．C．10x3=1+12−3x2 【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：10x3=1故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．4．（2022秋•丹阳市期末）关于x的一元一次方程x2021−2022m=2023x的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程y−20212021+2023(2021−y)=2022m【分析】将关于y的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到y﹣2021＝2，进而可得y的值．【解答】解：将关于y的一元一次方程y−20212021+2023(2021−y)=2022m变形为∵关于x的一元一次方程x2021−2022m=2023x的解为∴y﹣2021＝2，∴y＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．5．（2022秋•张湾区期末）解方程：（1）1−2x−1（2）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x﹣1）．【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去分母得：6﹣（2x﹣1）＝2（2x+1），去括号得：6﹣2x+1＝4x+2，移项合并得：﹣6x＝﹣5，解得：x=5（2）去括号得：3x﹣7x+7＝3﹣2x+2，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1．【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．6．（2023秋•鼓楼区校级月考）解方程：（1）4x+1＝﹣5x+10；（2）x−12【分析】（1）直接移项、合并同类项，进而解方程得出答案；（2）直接去分母，再移项、合并同类项，进而解方程得出答案．【解答】解：（1）4x+1＝﹣5x+104x+5x＝10﹣1，合并同类项得：9x＝9，解得：x＝1；（2）x−12去分母得：6（x﹣1）＝2（x+7）+12，去括号得：6x﹣6＝2x+14+12，移项、合并同类项得：4x＝32，解得：x＝8．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．7．（2023秋•姑苏区校级月考）解方程：（1）2（x+3）＝5x；（2）x−30.5【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．【解答】解：（1）2（x+3）＝5x，去括号得：2x+6＝5x，移项合并同类项得：﹣3x＝﹣6，系数化为1得：x＝2；（2）x−30.5化简得：10x−3052x﹣6﹣5x﹣20＝1.6，移项合并同类项得：﹣3x＝27.6，系数化为1得：x＝﹣9.2．【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．8．（2022秋•中宁县期末）解方程：2x−1解：去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10……①去括号，得4x﹣2﹣5x+5＝10……②移项，合并同类项，得﹣x＝13……③系数化为1，得x＝﹣13……④（1）步骤①去分母的依据是；（2）上面计算步骤出错的是第步，错误的原因是；（3）请你写出这个方程正确的解法．【分析】（1）利用等式的基本性质判断即可；（2）找出出错的步骤，分析其原因即可；（3）写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）步骤①去分母的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；（2）上面计算步骤出错的是第二步，错误的原因是去第二个括号时，括号中第二项没有变号；故答案为：二，去第二个括号时，括号中第二项没有变号；（3）去分母得：2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣5＝10，移项得：4x﹣5x＝10+2+5，合并同类项得：﹣x＝17，解得：x＝﹣17．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．【题型4方程解中的遮挡问题】1．有一方程＝﹣1，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为x＝﹣1，那么处的数字应是（）A．5 B．﹣5 C．12 D．【分析】根据方程的解的定义（使得方程成立的未知数的值）解决此题．【解答】解：设处的数字是a．∴2−a3∴a＝5．故选：A．【点评】本题主要考查方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键．2．（2023秋•洮北区期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，解得：★＝1，即★处的数字是1，故选：A．【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2022秋•太原期末）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是．【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．【解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2022秋•馆陶县期末）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【分析】将y＝﹣1代入方程计算可求解这个常数．【解答】解：将y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，解得＝10，故选：A．【点评】本题主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解题的关键．5．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设被污染的数字为y，将x＝9代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值．【解答】解：设被污染的数字为y．将x＝9代入得：2×6﹣y＝10．解得：y＝2．故选：B．【点评】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解得定义是解题的关键．6．（2022秋•临猗县期末）小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y−12=1A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．5【分析】设这个常数为x，已知此方程的解是y＝3，将之代入二元一次方程2y−12=1【解答】解：能，设被污染的常数为a，则2y−12=1∵此方程的解是y＝3，∴将此解代入方程，方程成立，∴2×3−12=解得a＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及它的解的意义．知道一元一次方程的解，求方程中的常数项，可把方程的解代入方程求得常数项的值．（把■作为一个未知数来看即可）．7．（2022秋•威县期末）嘉淇在解关于x的一元二次方程2x−13+■（1）嘉淇猜■是﹣1，请解一元一次方程2x−13（2）老师告诉嘉淇这个方程的解为x＝﹣7，求被污染的常数．【分析】（1）利用去分母，移项，合并同类项，系数化1，可得答案；（2）设被污染的正整数为m，则有2×(−7)−13【解答】解：（1）2x−13去分母得：4（2x﹣1）﹣12＝3（x+3），去括号得：8x﹣4﹣12＝3x+9，移项合并得：5x＝25，系数化为1得：x＝5；（2）设“■”的常数为m，由于x＝﹣7是方程的解，则2×(−7)−13解之得，m＝4，所以被污染的常数是4．【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．8．（2022春•西峡县期中）同学们在做解方程的练习时，卷子上有一个方程“2x−12=18x+□”中“□”没印清晰，小梅问老师，老师只说：“□是一个常数；该方程的解与当y【分析】把y＝3代入代数式5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4中进行计算，然后设小梅补上的这个常数是a，再把x＝4代入2x−12=18x+a【解答】解：当y＝3时，5（y﹣1）﹣2（y﹣2）﹣4＝5×（3﹣1）﹣2×（3﹣2）﹣4＝5×2﹣2×1﹣4＝10﹣2﹣4＝4，设小梅补上的这个常数是a，由题意得：把x＝4代入2x−12=12×4−12=8−12a＝8−1∴小梅补上的这个常数是7．【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的意义是解题的关键．【题型5求一元一次方程含参问题】1．（2022秋•洪山区校级期末）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2，则a的值为（）A．a＝3 B．a＝1 C．a＝2 D．a＝﹣1【分析】将x＝2代入原方程即可求出答案．【解答】解：将x＝2代入2x+a﹣5＝0，∴2×2+a﹣5＝0，∴a＝1，故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x＝2代入原方程，本题属于基础题型．2．（2022秋•庆阳期末）小磊在解关于x的方程x+43−x+k4=2A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．5【分析】把x＝﹣1代入方程x+43−x+k【解答】解：把x＝﹣1代入方程x+43−1+43方程两边都乘以12得，4（﹣1+4）﹣3（﹣1+k）＝24，解得：k＝﹣3，故选：B．【点评】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．（2022春•镇平县期中）若关于x的方程3（x+4）＝2a+5的解大于关于x的方程(4a+1)x4=a(3x−4)【分析】先求出两个方程的解，即可得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3（x+4）＝2a+5，∴x=2a−7∵(4a+1)x4∴x=−163∴2a−73＞−解得a＞7【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．4．（2023秋•椒江区校级期中）若不论k取什么实数，关于x的方程2kx+m3=2+x−nk6（m，n是常数）的解总是x＝1，求【分析】把x＝1代入方程计算，求出m与n的值，即可求出m+n的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：2k+m3=2去分母得：2（2k+m）＝12+1﹣nk，整理得：（4+n）k＝13﹣2m，∵不论k取什么实数，关于x的方程2kx+m3=2+x−nk6（m，∴4+n＝0，13﹣2m＝0，解得：n＝﹣4，m＝6.5，则m+n＝2.5．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．（2022秋•秦都区校级期末）若方程2（3x+1）＝1+2x的解与关于x的方程6−2k3=2（x+3）的解互为倒数，求【分析】解方程2（3x+1）＝1+2x得出x的值，根据方程的解互为倒数知另一方程的解，代入可得关于k的方程，解之可得．【解答】解：2（3x+1）＝1+2x，去括号，得6x+2＝1+2x，移项、合并同类项，得4x＝﹣1，化系数为1，得x=−1∵−1∴将x＝﹣4代入方程6−2k3则6−2k3∴6﹣2k＝﹣6．解得k＝6．【点评】本题考查了方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键是正确解一元一次方程．6．（2022秋•游仙区校级月考）如果关于x的方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解互为相反数，求2a2﹣a的值．【分析】求出第一个方程的解，根据两方程解互为相反数得出关于a的一元一次方程，求出a的值，然后代入2a2﹣a计算即可．【解答】解：解方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），得x＝10，∵关于x的方程2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解互为相反数，∴方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝﹣10，把x＝﹣10代入得，﹣40﹣（3a+1）＝﹣60+2a﹣1，解得，a＝4，∴2a2﹣a＝2×42﹣4＝2×16﹣4＝32﹣4＝28．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．7．（2022秋•如东县期中）已知关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3x+k4−【分析】根据同解方程的定义可得出关于x与k的方程组，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3x+k∴x＝2k﹣1，把x＝2k﹣1代入3x+k4−5x−18=解得k＝2，∴k的值为2．【点评】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出k的值是解题的关键．8．（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x=a由方程a+8x＝2+4x，得x=2−a又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，∴a12去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，去括号，得a﹣6+3a＝12，移项，得a+3a＝6+12，合并同类项，得4a＝18，化系数为1，得a＝4.5．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【题型6利用一元一次方程解决错解问题】1．（2023春•叙州区期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为．【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．2．（2022秋•献县期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为．【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可．【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，解得：a＝3，即原方程为6﹣5x＝21，解得x＝﹣3．故答案为：x＝﹣3．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．（2022秋•陇县期末）小明在解方程2x−13=x+aA．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a﹣1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，解得：a＝2，代入原方程，得：2x−13去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，移项、合并同类项，得：x＝0，故选：A．【点评】此题考查了一元一次方程的解法以及方程的解的定义．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键．4．（2023秋•道里区校级期中）某同学在解方程2x−13=x+a2−【分析】把x＝2代入看错的方程求出a的值，确定出所求方程，求出解即可．【解答】解：把x＝2代入4x﹣2＝3x+3a﹣1得：a=1∴原方程为2x−13去分母得2（2x﹣1）＝3（x+1去括号得4x﹣2＝3x+1﹣6，移项得4x﹣3x＝1+2﹣6，合并同类项得x＝﹣3．【点评】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2022秋•丰顺县校级月考）（1）已知关于x的方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，求a2020的值．（2）小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣3，求a的值和原方程的解．【分析】（1）根据方程的解互为倒数，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据乘方的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵2x+3＝﹣1，∴x＝﹣2，∵方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，∴2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解为−1∴2(−1解得，a＝﹣1，∴a2020＝（﹣1）2020＝1．（2）由题意得2x+ax＝﹣21，x＝﹣3为此方程的解，∴﹣6﹣3a＝﹣21，∴a＝5，∴原方程为2x＝5x﹣21，∴x＝7，原方程的解是7．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．6．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，解得：a＝3；（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，解得：x＝﹣3；（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，则27m+3n＝4，当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．【题型7一元一次方程的整数解问题】1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（）A．2 B．4 C．0或2 D．2或4【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可．【解答】解：解方程kx＝x+3得：x=3∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数，∴k﹣1＝1或k﹣1＝3，∴k＝2或4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键．2．（2022秋•南充期末）已知a为自然数，关于x的一元一次方程6x＝ax+6的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】解此题可先将一元一次方程进行移项、合并同类项等转换，得出x的解，再根据题意判断a的值．【解答】解：6x＝ax+6，6x﹣ax＝6，（6﹣a）x＝6，x=6因为x和a均为自然数，所以6﹣a可以被6整除，且6﹣a不等于0，分解质因数得6＝1×2×3，所以6﹣a只可能等于1、2、3、6，即a可能等于5、4、3、0，故只有选项B符合题意，故选：B．【点评】此题考查了自然数的定义，以及一元一次方程的解法，熟练掌握即可解答．3．（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程x−2−mx6=x+13A．﹣5 B．﹣16 C．﹣24 D．18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．【解答】解：解方程x−2−mx得：x=4根据题意可知x=44+m为整数，当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，44+m∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，故选：C．【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．4．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知关于x的方程a（x+1）＝a﹣2（x﹣2）的解都是正整数，则整数a的所有可能的取值的积为（）A．﹣12 B．1 C．8 D．0【分析】根据一元一次方程的解法求出x的表达式，然后根据题该方程的解都是正整数即可求出a的值．【解答】解：a（x+1）＝a﹣2（x﹣2），ax+a＝a﹣2x+4，ax＝﹣2x+4，（a+2）x＝4，由于x是正整数，故a+2＝1或2或4，即a＝﹣1或0或2，∴﹣1×0×2＝0，故选：D．【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．5．（2022•灌云县校级模拟）已知关于x的方程16ax+32【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：由16ax+ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x=−11∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x=−11综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．6．（2022秋•广州期中）已知关于x的一元一次方程ax+52=8x−3（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．【分析】（1）先求得方程x+1＝2（2x﹣7）的解，从而可得到关于x的一元一次方程的解，然后代入求得a的值即可；（2）先求得关于x的一元一次方程的解，再根据a为非零整数，且该方程的解为正整数求得a的值即可．【解答】解：（1）解方程x+1＝2（2x﹣7），x+1＝4x﹣14，解得x＝5．∵方程ax+52=8x−32−∴方程ax+52=8x−3∴﹣5a+52=−40−去分母得：﹣10a+5＝﹣80﹣3+10a，移项、合并同类项得：﹣20a＝﹣88，∴a＝4.4；（2）解关于x的一元一次方程ax+52=8x去分母得2ax+5＝16x﹣3﹣2ax，移项、合并同类项得（4a﹣16）x＝﹣8，∴x=2∵a为非零整数，且该方程的解为正整数，∴a＝2或3．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【题型8一元一次方程中的新定义问题】1．（2022秋•东莞市校级期中）定义一种新运算“a⊕b”：a⊕b＝2a﹣b2，若c⊕1＝15，则c的值为（）A．17 B．13 C．7 D．8【分析】根据新运算的运算法则，进行计算即可．【解答】解：由题意，得：c⊕1＝2c﹣12＝15，解得：c＝8；故选：D．【点评】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b=3a−b，a≥ba−3b，a＜b，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，12∗1=12−3×1=−A．4 B．5 C．21 D．5或21【分析】根据“*”的定义，分别当x≥3和x＜3时写出对应的方程并求解即可．【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．综上，x＝5，故选：B．【点评】本题考查解一元一次方程等，熟练掌握求解一元一次方程的方法是本题的关键．3．（2022秋•赤峰期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{3，﹣6}＝3．则方程max{x，﹣x}＝﹣5x+6的解为（）A．x＝1 B．x=32 C．x＝1或32 【分析】分x大于﹣x，x小于﹣x两种情况化简方程，求出解即可．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝﹣5x+6，解得x＝1；∵x＞﹣x，∴x＝1符合题意；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝﹣5x+6，解得x=3∵x＞﹣x，∴x=3∴方程max{x，﹣x}＝﹣5x+6的解为1，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程ax+b＝0的步骤是：去分母（含有分母的一元一次方程），去括号，移项，合并同类项，系数化1．4．（2022秋•滨湖区期末）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）⊕2＝（3※x）﹣2的解是（）A．x=52 B．x＝﹣1 C．x=67【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算．根据a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，可以求得题目中方程的解．【解答】解：∵a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，（x+1）⊕2＝（3※x）﹣2，∴2（x+1）+2＝32⋅x﹣2，整理得7x＝6，解得：x=6故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程、有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键．5．（2022秋•罗湖区期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗b=13a−14b，比如：6⊗4=13×6−14×4=【分析】根据定义直接求解即可．【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x，∴13x−解得x=10故答案为：107【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，结合新定义，能将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键．6．（2022秋•霍邱县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x=ba，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且2=4（1）判断3+x＝5是不是“商解方程”．（2）若关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．【分析】（1）求出方程的解是x＝2，再进行判断即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于m的方程，最后求出方程的解即可．【解答】解：（1）3+x＝5，x＝2，而2≠5所以3+x＝5不是“商解方程”；（2）6+x＝3（m﹣3），6+x＝3m﹣9，x＝3m﹣9﹣6＝3m﹣15，∵关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，∴3(m−3)6=3解得：m=27【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．7．（2023春•鲤城区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；（2）若关于x方程12023x−1=0与12023x+1=3x+k是“美好方程”，求关于【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可．（2）求得方程12023x−1=0的解，利用“美好方程”的定义得到方程12023x+1=3x+k的解，将关于y的方程【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”，理由如下：解方程4x﹣（x+5）＝1得x＝2，解方程﹣2y﹣y＝3得y＝﹣1，∵x+y＝2+（﹣1）＝1，∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”．（2）解方程12023x−1=0得∵关于x方程12023x−1=0与∴方程12023x+1=3x+k的解为将12023(y+2)+1=3y+k+6变形为∴y+2＝﹣2022，∴y＝﹣2024，∴方程12023【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键．8．（2023秋•天长市期中）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．（1）若关于x的方程4x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝4．（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m÷n的值．（3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“反对方程”3x﹣c＝0与c⋅x﹣3＝0的解均为整数，可得c3与3【解答】解：（1）∵方程4x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，∴c＝4，故答案为：4；（2）将4x+3m+1＝0写成4x﹣（﹣3m﹣1）＝0的形式，将5x﹣n+2＝0写成5x﹣（n﹣2）＝0的形式，∵4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，∴−3m−1=5n−2=4∴m=−2n=6∴m÷n=(−2)÷6=−1（3）3x﹣c＝0的“反对方程”为c⋅x﹣3＝0，由3x﹣c＝0得，x=c3，当c⋅x﹣3＝0，得∵3x﹣c＝0与c⋅x﹣3＝0的解均为整数，∴c3与3∵c也为整数，∴当c＝3时，c3=1，当c＝﹣3时，c3=−1，∴c的值为±3．【点评】此题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义．【题型9解含绝对值的一元一次方程】1．（2021春•井研县期末）方程|2x+1|＝5的解是（）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3【分析】绝对值等于5的数有±5，根据题意列出方程2x+1＝5或2x+1＝﹣5，然后解出答案．【解答】解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x＝2或x＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查绝对值和一元一次方程的解法，注意有两种情况，不要漏解．2．（2022秋•开江县校级期末）解方程|1−x2|=3，则x＝【分析】先去绝对值，然后解方程．依据绝对值的意义，±3的绝对值是3，从而将原方程可化为两个方程（1）1−x2=3，（2）1−x2【解答】解：根据绝对值的意义，将原方程可化为：（1）1−x2=3；（2）解（1）得x＝﹣5，解（2）得x＝7．故填﹣5或7．【点评】本题结合方程考查了绝对值的意义，解题时要注意分类讨论．3．（2022春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则A．14或134 B．14 C．54 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x−1所以x−1解得x=32或x因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−1所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3x+2当x=32时，m当x=−12时，m所以m的值为：134或1故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．4．解下列方程：（1）|2x−3（2）|x−1【分析】根据解含有绝对值符号的一元一次方程的方法求解即可．【解答】（1）由|2x−3则2x−35=1解得：x＝4或x=16（2）|=x+1，则x−13解得：x＝﹣2或x=−1∵x+1＞0，∴x＞﹣1，∴x＝﹣2舍去，∴x=−1【点评】本题考查解含有绝对值符号的一元一次方程，掌握方法是关键．5．已知x＝﹣3是方程|2x﹣1|﹣3|m|＝﹣1的解，求代数式3m2﹣m﹣1的值．【分析】先把x＝﹣3代入方程|2x﹣1|﹣3|m|＝﹣1中，求出m的值，再把m的值代入代数式3m2﹣m﹣1中，求出答案即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程|2x﹣1|﹣3|m|＝﹣1得：|2×（﹣3）﹣1|﹣3|m|＝﹣1，7﹣3|m|＝﹣1，解得：m=±8把m=±83代入3m2﹣3×(83)或：3×(−83所以代数式3m2﹣m﹣1的值是：533【点评】此题考查了方程的解、绝对值；解题的关键是先把m的值求出来，不要漏解；解题时要细心．6．阅读下列例题，并按要求回答问题：例：解方程|2x|＝1．解：①当2x≥0时，2x＝1，解得x=1②当2x＜0时，﹣2x＝1，解得x=−12．所以原方程的解是x=12（1）以上解方程的方法采用的数学思想是．（2）请你模仿上面例题的解法，解方程：|2x﹣1|＝5．【分析】（1）根据题目解方程|2x|＝1的特点解决问题．（2）参照题干中解含有绝对值的方程的思路，运用分类讨论的思想解决此题．【解答】解：（1）分类讨论．（2）当2x﹣1≥0时，即x≥12，2x﹣1＝5，解得当2x﹣1＜0时，即x＜12，﹣2x+1＝5，解得∴原方程的解是x＝3或x＝﹣2．【点评】本题主要考查绝对值以及解一元一次方程，熟练掌握绝对值以及解一元一次方程是解决本题的关键．7．知识回顾：若|x|＝2，则x＝±2，所以若已知非零有理数a的绝对值，则a有两个值，一个正数，一个负数．阅读材料：解方程|x+3|＝2．解：当x+3为正数时，x+3＝2，解得x＝﹣1；当x+3为负数时，x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．解决问题：（1）解方程：|2x﹣1|﹣3＝0；（2）若方程|x﹣3|＝1的解也是方程2x+n＝3x+4的解，求n的值．【分析】（1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解；（2）先求得x的值然后代入2x+n＝3x+4，即可得到n的值．【解答】解：（1）由题意可得：|2x﹣1|＝3，∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，∴x＝2或x＝﹣1；（2）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，∴x＝4或x＝2，当x＝4时，8+n＝16，n＝8，当x＝2时，4+n＝10，n＝6，∴n＝8或6．【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键．【题型10实际问题与一元一次方程】1．（2022秋•铜仁市期末）我县为了美化城市采取了多项措施，如对城区主干道进行绿化．现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔8米栽1棵，则树苗缺16棵；如果每隔9米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．8（x+16﹣1）＝9（x﹣1） B．8（x+16）＝9（x﹣1） C．8（x+16﹣1）＝9x D．8（x+16）＝9【分析】设原有树苗x棵，由栽树问题栽树的棵数＝分得的段数+1，可以表示出路的长度，由路的长度相等建立方程求出其解即可．【解答】解：因为设原有树苗x棵，则路的长度为8（x+16﹣1）米，由题意，得8（x+16﹣1）＝9（x﹣1），故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．2．（2023•荔湾区校级二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（）A．3x+10（5﹣x）＝30 B．x3C．x10+30−x3=5 【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据一共有30斗谷子列出方程即可．【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．3．（2022秋•滕州市期末）某单位要从商场购入A、B两种物品，预计需要花费620元，其中A种物品每件4元，B种物品每件10元，且购买A种物品的数量比B种物品的2倍还多20件．（1）求购买A、B两种物品各多少件？（2）实际购买时正赶上商场搞促销活动，A种物品按8折销售，B种物品按9折销售，则该单位此次购买可以省多少钱？【分析】（1）设购买B种物品x件，则购买A种物品（2x+20）件，根据“需要花费620元”找到等量关系，列出方程并解答即可；（2）根据节省的钱数＝原价﹣优惠后的价格，即可求出结论．【解答】解：（1）设购买B种物品x件，则购买A种物品（2x+20）件，依题意得：4（2x+20）+10x＝620，解得：x＝30．所以2x+20＝80．答：购买A种物品80件，购买B种物品30件；（2）620﹣4×80×0.8﹣10×30×0.9＝94（元）．答：学校此次购买可以省94元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键4．（2022秋•单县期末）某校开展校园艺术节系列活动，派张老师到文体商店购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与张老师的对话内容，解答下列问题．商店老板：如果你再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省17元！张老师：那就多买一个吧，谢谢！（1）求张老师原计划购买多少个文具袋？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元．求张老师购买的钢笔和签字笔各有多少支？【分析】（1）设张老师原计划购买文具袋x个，根据“再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省14元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设张老师购买了钢笔y支，签字笔x支，根据题意列出一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设张老师原计划购买文具袋x个，依题意，得：10x﹣85%×10（x+1）＝17，解得：x＝17．答：张老师原计划购买文具袋17个．（2）设张老师购买了钢笔y支，签字笔x支，依题意，得：0.8[8y+6（50﹣y）]＝272解得：y＝20．x＝50﹣y＝30，答：张老师购买了钢笔20支，签字笔30支．【点评】本题考查一元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．5．（2022秋•蕉城区校级期末）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米2.6元计费；超过10立方米的部分按每立方米3.5元计费：（1）若每月用水量为16立方米，需交水费多少元？（2）设每月用水为n立方米（n＞10），用含有n的代数式表示每月的水费．（3）小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米？【分析】（1）根据题意中每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米2.6元计费，超过10立方米的部分按每立方米3.5元计费，即可算出答案；（2）根据题中每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米2.6元计费，超过10立方米的部分按每立方米3.5元计费，由因为n＞10，即可列出代数式；（3）先算出用水10立方米的钱数，和33进行比较，然后根据题意和（2）中结论列出方程即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：10×2.6+6×3.5＝47（元），答：需交水费47元；（2）∵每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米2.6元计费；过10立方米的部分按每立方米3.5元计费，且n＞10，∴每月的水费为：10×2.6+（n﹣10）×3.5＝（3.5n﹣9）元；（3）根据题意可知，当10×2.6＝26元＜33元，∴3.5n﹣9＝33，解得：n＝12，答：她家11月共用水12立方米．【点评】本题主要考查的是列代数式和一元一次方程的应用，解题关键：根据题意列出代数式．6．（2023秋•双辽市期末）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面还未来得及刷：同样的时间内5名徒弟粉刷了10个房间的墙面之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名师傅比徒弟一天多刷10m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）已知每名徒弟每天的工钱为180元，现有28间房需要1名徒弟单独完成粉刷，需支付工钱多少元？【分析】（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，表示出师傅和徒弟各自粉刷墙面积分别为8x−503，10x+405（2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，然后根据总量求出需要的天数，最后求得费用．【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，根据题意得，8x−503解得：x＝52，答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52m2；（2）1名徒弟1天可粉刷墙面面积：10×52+405=112（m2），答：需支付工钱2340元．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是巧设未知数，正确建立方程求解．7．（2023秋•中原区校级月考）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足|a+10|+|b﹣70|＝0．（1）写出a、b及AB的距离：a＝，b＝，AB＝；（2）若动点P从点B出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度向右匀速运动．若P、Q同时出发，问：①设P、Q在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数；②经过多长时间P、Q在数轴上相距30个单位长度，并写出此时P点对应的数．【分析】（1）利用绝对值的非负性，可求出a，b的值，进而可得出线段AB的长；（2）设x秒设P、Q在数轴上的C点相遇，3x+80＝5x解得即可；（3）由点P，Q的出发点、速度可得出：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t+8，点Q表示的数为5t﹣5，根据点Q追上点P，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵|a+10|+|b﹣70|＝0．∴a＝﹣10，b＝70，∴AB＝70﹣（﹣10）＝80．故答案为：﹣10；70；80．（2）设x秒设P、Q在数轴上的C点相遇，∴3x+80＝5x，x＝40，70+40×3＝190，∴C点对应的数是190；（3）当运动时间为t秒时，点P的路程为3t，点Q表示的路程为5t，依题意，得：3t+30＝5t，解得：t＝15．答：点Q运动15秒追上点P．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．8．（2022秋•海阳市期末）某校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现每个篮球的定价为120元，每根跳绳的定价为20元．某体育用品商店提供A，B两种优惠方案，方案A：买1个篮球送1根跳绳；方案B：篮球和跳绳均按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x根（x＞50）．（1）分别求出按A，B两种方案购买，各需费用多少元？（用含x的代数式表示，结果需化简）（2）当x＝100时，请说明用哪种方案购买较为划算？（3）x取何值时，A，B两种方案购买费用相等？【分析】（1）根据“费用＝售价×数量”即可列出方案A、方案B所需费用；（2）将x＝100代入（1）中所求的代数式中，再比较得出的结果即可求解；（3）由题意易得20x+5000＝18x+5400，解此一元一次方程即可．【解答】解：（1）方案A：50×120+（x﹣50）×20＝（20x+5000）元，方案B：（50×120+20x）×0.9＝（18x+5400）元，∴按A方案购买费用为（20x+5000）元，按B方案购买费用为（18x+5400）元；（2）（2）当x＝100时，方案A：20×100+5000＝7000（元），方案B：18×100+5400＝7200，∵7000＜7200，∴用方案A购买较为划算；（3）由题意，得20x+5000＝18x+5400，解得：x＝200，∴当x＝200时，A，B两种方案购买费用相等．【点评】本题主要考查列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用，解题关键是找出题中所蕴含的等量关系．1．（2021秋•柘城县期末）下列方程：①3x﹣y＝2：②x+1x+2＝0；③x2=1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：下列方程：①3x﹣y＝2：②x+1x+2＝0；③x2=1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程．2．（2022秋•新化县期末）若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．1 B．任何数 C．2 D．1或3【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可列出式子求出m的值．【解答】解：由一元一次方程的特点得|2m−3|=1m−2≠0解得：m＝1．故选：A．【点评】解题的关键是根据一元一次方程的定义，未知数x的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解题．3．（2022秋•黔东南州期末）下列方程中变形正确的是（）A．方程3x﹣2＝2x﹣1移项，得3x﹣2x＝﹣1﹣2 B．由x−10.2−x0.5=1得5（C．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x＝2﹣5x+5 D．方程23x=−3【分析】各项中方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、由3x﹣2＝2x﹣1移项，得3x﹣2x＝﹣1+2，选项不符合题意；B、由x−10.2−x0.5=1C、由3﹣x＝2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x＝2﹣5x+5，变形正确，符合题意；D、由23x=−3故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2022秋•龙亭区校级月考）若方程2x+a2=4（x﹣1）的解为x＝3，则A．﹣2 B．10 C．22 D．2【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．就得到关于a的一个方程，解方程就可求出a．【解答】解：把x＝3代入方程得：6+a解得：a＝10故选：B．【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝3是方程的解实际就是得到了一个关于字母a的方程．5．（2022秋•怀集县期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（）A．x3+3(100−x)=100 B．C．x3−3(100−x)=100 【分析】设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，根据3×大和尚人数+小和尚人数÷3＝100，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，根据题意得：x3+3（100﹣故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．（2022春•黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3=m3+x的解满足|xA．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．就得到一个关于m的方程，解方程就可求出m．【解答】解：∵|x|＝1∴x＝±1当x＝1时，代入方程得：2﹣3=m解得：m＝﹣6；当x＝﹣1时，代入方程得：﹣2﹣3=m解得：m＝﹣12∴m＝﹣6或﹣12故选：C．【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知|x|＝1即已知方程的解是±1，方程的解实际就是得到了两个关于m的方程．7．（2022秋•江北区校级期末）已知关于x的方程x−2a−ax6=A．﹣24 B．﹣6 C．﹣19 D．﹣13【分析】先解一元一次方程可得x＝2+4a+4，再由方程的根为正整数，则a+4＝1或a+4＝2或a+4＝4或a+4＝﹣4，求出【解答】解：x−2a−ax6x﹣2a+ax＝2x+12，（4+a）x＝12+2a，∵方程有解，∴4+a≠0，∴x=2(a+6)a+4=∵方程的解是正整数，∴a+4＝1或a+4＝2或a+4＝4或a+4＝﹣4，解得a＝﹣3或a＝﹣2或a＝0或a＝﹣8，∴整数a的所有可能的取值的和为﹣13，故选：D．【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．8．（2022秋•五华县期末）某市采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（）m3．A．38 B．28 C．34 D．44【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答．【解答】解：设他家该月用水xm3，根据题意得：20×2+（x﹣20）×3＝82，解得：x＝34，答：他家该月用水34m3．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．（2022秋•新城区校级期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣2b＝5的解，则6a﹣4b+3的值为．【分析】将x＝3代入ax﹣2b＝5中得3a﹣2b＝5，将3a﹣2b＝5整体代入6a﹣4b+3中即可得出答案．【解答】解：将x＝3代入ax﹣2b＝5得：3a﹣2b＝5，∴6a﹣4b+3＝2（3a﹣2b）+3＝2×5+3＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键．10．（2022秋•长安区期末）小明同学在解方程32（1−■−x3）＝x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．【解答】解：设“■”表示的数为a，将x=−43代入方程得：解得a＝5，即“■”表示的数为a＝5，故答案为：a＝5．【点评】本题主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．11．（2022秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程2kx+a3−x−bk6=2无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）【分析】将x＝1代入原方程，可得出（4+b）k+2a﹣13＝0，结合原方程的解与k值无关，可求出a，b的值，再将其代入（2a+3b）2022中，即可求出结论．【解答】解：将x＝1代入原方程得2k+a3∴（4+b）k+2a﹣13＝0．∵关于x的一次方程2kx+a3−x−bk6=2∴4+b＝0，2a﹣13＝0，∴b＝﹣4，a=13∴（2a+3b）2022＝[2×132+3×（﹣4）]2022故答案为：1．【点评】本题考查了一元一次方程的解，由方程的解与k值无关，求出a，b的值是解题的关键．12．（2023秋•南岗区校级月考）解方程．（1）2﹣5x＝3x+4；（2）13（3）3y−14（4）0.1x−20.3【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；（3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得y的值；（4）先把原方程变形，然后通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．【解答】解：（1）2﹣5x＝3x+4，移项，得﹣5x﹣3x＝4﹣2，合并同类项，得﹣8x＝2，系数化为1，得x=−1（2）13去分母，得2x﹣1+3＝18（2x﹣1），去括号，得2x﹣1+3＝36x﹣18，移项，得2x﹣36x＝﹣18+1﹣3，合并同类项，得﹣34x＝﹣20，系数化为1，得x=10（3）3y−14去分母，得3（3y﹣1）﹣2（5y﹣7）＝12，去括号，得9y﹣3﹣10y+14＝12，移项，得9y﹣10y＝12+3﹣14，合并同类项，得﹣y＝1，系数化为1，得y＝﹣1；（4）0.1x−20.3原方程可化为x−203去分母，得4（x﹣20）+3（30﹣7x）＝12，去括号，得4x﹣80+90﹣21x＝12，移项，得4x﹣21x＝12+80﹣90，合并同类项，得﹣17x＝2，系数化为1，得x=−2【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．13．（2022秋•惠东县期末）如果关于x的方程x−14−1=−a2的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+【分析】先分别求出