4.2 直线、射线、线段（解析版）

4.2直线、射线、线段一、直线1、概念：直线就是经过两点的一条线。直线两端是可以无限延伸的，没有长度。2、性质：（1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（两点确定一条直线）（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了。3、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（一条直线上的两点）表示；4、点与直线的位置关系：点在直线上：一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点5、直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。二、射线1、概念：射线就是直线上的一点和它一旁的部分。这个点就是射线的端点，从这个点伸出的一条线就是射线。射线只有一端是无限延伸的，没有长度。2、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点写在前面+除端点外的射线上的一点）表示。三、线段1、概念：直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两边有端点；线段是有长度的，可以度量的。2、性质—线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有连线中，线段最短（两点之间、线段最短）。3、两点间的距离（1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离；注：平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度。注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形。线段的长度才是两点的距离。可以说画线段，但不能说画距离连接两点间的线段的长度。4、表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母（端点）表示。5、“作一条线段等于已知线段”的方法：（1）度量尺作图：先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段；（2）尺规作图（用无刻度的直尺和圆规）：用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段长度。6、线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。7、比较线段的长短：度量比较法、重合比较法。就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。题型一直线、射线、线段的联系与区别【例1】下列说法错误的是（

）A．直线AB和直线BA是同一条直线 B．两点之间，直线最短C．射线AB和射线BA不是同一射线 D．两点确定一条直线【答案】B【解析】解：直线AB和直线BA是同一条直线，故A不符合题意；两点之间，线段最短，故B符合题意；射线AB和射线BA不是同一射线，故C不符合题意，两点确定一条直线，故D不符合题意；故选B【变式1-1】如图，已知平面中有A、B、C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，下列选项中，画出的图正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：依题意，平面中有A、B、C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC所以画出的图正确的是，故选：A【变式1-2】下列说法正确的是（

）A．点O在线段AB上 B．点B是直线AB的一个端点C．射线OB和射线AB是同一条射线 D．图中共有3条线段【答案】D【解析】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误；B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误；C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误；D、图中共有3条线段，选项说法正确；故选：D．【变式1-3】图中直线、射线、线段能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、因为线段不可无限延长，两线没有交点所以A选项不符合题意，故不选A；B、因为直线两端都可以无限延长的线，射线另一边无限延长后两线有交点所以B选项符合题意，故选B；C、因为直线两端都可以无限延长的线，射线另一边无限延长后两线没有交点所以C选项不符合题意，故不选C；D、因为两直线无限延长没有交点所以D选项不符合题意，故不选D．【变式1-4】①用一个小写字母来表示．即表示为．②用直线上的两个大写字母表示．即表示为．【答案】直线l直线AB【解析】①用一个小写字母来表示．即表示为直线l．②用直线上的两个大写字母表示．即表示为直线AB．题型二画出直线、射线、线段【例2】下列关于作图的语句中叙述正确的是（

）A．画直线AB＝10cm C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 D．延长线段AB到点C，使BC【答案】D【解析】对于A选项，画直线AB＝10cm，直线是不可度量的，故对于B选项，画射线OB＝10cm，射线也是不可度量的，故对于C选项，已知A，B，C三点，过这三点画一条直线，如果这三点不在一条直线上，过这三点是画不出来直线的，故C选项不符合题意；对于D选项，延长线段AB到点C，使BC＝AB，这个描述是正确的，可以做到，故D正确；故选：【变式2-1】如图，已知线段AB，点C在AB上，点P在AB外．

（1）根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，连接PC；（2）写出图中的所有线段．【答案】（1）见解析（2）PA【解析】（1）解：如图，直线PA，射线PB，连接PC；

（2）图中的所有线段为PA、【变式2-2】如图，已知三点A，B，C，按下列语句画出图形：（1）画直线AB；（2）画射线BC；（3）连接AC．【答案】见解析【解析】（1）如图，直线AB即为所求．（2）如图，射线BC即为所求．（3）如图，线段AC即为所求．【变式2-3】作图题：已和直线m（如图）．（1）在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间．（2）在直线m外任取一点D，作直线DA，射线CD，线段BD．【答案】画图见解析【解析】（1）解：如图，A，C，B即为所求；

．（2）如图，直线AC，射线CD，线段BD即为所求；

．【变式2-4】画线段AB，延长AB至点C，使BC=2AB，反向延长AB至点E，使AE=AB，计算：（1）如果AB=1.5cm，求线段CE（2）直接写出线段AC是线段CE的几分之几？（3）直接写出线段CE是线段BC的几倍？【答案】（1）6cm（2）3【解析】（1）解：画图如下：∵AB=1.5cm，BC=2∴AE=1.5∴CE=（2）解：设AB=x，则∴CE=AE+∴ACCE（3）解：∵BC=2x，∴CE÷∴线段CE是线段BC的2倍．题型三点与线的位置关系【例3】如图，请用直尺判断在线段AB延长线上的点是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】D【解析】解：让直尺一端与AB重合，可知点Q在AB的延长线上故选：D【变式3-1】以下关于图的表述，不正确的是（

）A．点A在直线BD外 B．点D在直线AB上C．射线AC是直线AB的一部分 D．直线AC和直线BD相交于点B【答案】B【解析】解：A、点A在直线BD外，正确；B、点D在直线AB外，故原说法错误；C、射线AC是直线AB的一部分，正确；D、直线AC和直线BD相交于点B，正确；故选：B．【变式3-2】如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（

）A．点P在直线AB外 B．点C在直线AB外C．点M不经过直线AB D．点B经过直线AC【答案】B【解析】解：A、点P在直线AB外，符合图形描述，选项正确；B、点C在直线AB上，故此选项不符合图形描述，选项错误；C、点M不经过直线AB，符合图形描述，选项正确；D、点B经过直线AC，符合图形描述，选项正确．故选：B．【变式3-3】直线AB，①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线【答案】①③④【解析】解：由图可得，①点B在直线BC上，正确；②直线AB不经过点C，错误；③直线AB，④点B是直线AB，故答案为：①③④．【变式3-4】用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句）【答案】见解析【解析】解：（1）点A在直线l上；（2）点B在直线l上；（3）点P在直线l外；（4）点P不在直线l上；（5）直线l经过点A；（6）直线l经过点B；（7）直线l经过点A和点B；（8）直线l不经过点P．题型四直线相交的交点个数问题【例4】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（）A．0个或1个 B．1个或2个C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个【答案】D【解析】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：①三条直线互相平行，有0个交点；②一条直线与两平行线相交，有2个交点；③三条直线都不平行，有1个或3个交点；综上分析可知：交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D．【变式4-1】若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（

）个部分．A．7或8 B．8 C．8或9 D．10【答案】C【解析】如图，

所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分，故选C．【变式4-2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【答案】B【解析】解：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有1+2个交点；③四条直线相交最多有1+2+3个交点；……由此可得10条直线相交交点个数最多为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个），故选：B．【变式4-3】平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线．若平面上5条直线两两相交，交点最多有a个，最少有b个，则a+b=（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】解：平面上有5条直线相交，则这5条直线最多有5×5−1∴a=10，∴a【变式4-4】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个，n条直线两两相交的直线最多有个交点．【答案】115n【解析】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：1=2×1若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：1+2=3×2若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：1+2+3=4×3若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：1+2+3+4=5×4则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即1+2+3+4+5=6×5若平面内有n条直线两两相交，则最多有nn故答案为：1，15，nn题型五线段的应用【例5】从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（）A．12种 B．10种 C．6种 D．4种【答案】A【解析】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备4×3=12（种），故选：A．【变式5-1】如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【答案】A【解析】解：如图，根据规则可得：A→一共有3种不同的走法．故选：A．【变式5-2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是2厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2022厘米的线段CD，则线段CD盖住的整点个数有（

）A．1011个 B．1010个 C．1010个或1011个 D．1011个或1012个【答案】D【解析】解：依题意得：①当线段CD起点在整点时，则2022cm长的线段盖住20222②当线段CD起点不在整点时，则2022cm长的线段盖住20222【变式5-3】从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有种．【答案】10【解析】解：由题意可知共有5个站点，∴共有5×4=20种车票，但往返两个站点的票价相同，即有20÷2=10种票价，故答案为：10．【变式5-4】将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【解析】解：∵绳子长72cm，∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：72÷12−1＝5（个），∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．故选：B．题型六两点确定一条直线【例6】已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（

）A．一定有三条 B．只能有一条C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对【答案】C【解析】有两种情况如图所示：，故选：C．【变式6-1】书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．两点能够确定多条直线 D．点动成线【答案】B【解析】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线，故选：B．【变式6-2】下列语句正确的个数为（

）①两点之间的线段叫做两点间的距离

②两点之间，直线最短

③两点之间，线段最短

④两点确定一条直线

⑤一条直线长5cm⑥过平面上的四点作线段最多可以作6条

⑦两直线相交只有一个交点A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【解析】解：两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故①错误；两点之间，线段最短；故②错误，③正确；两点确定一条直线，故④正确；直线无法度量，故⑤错误；过平面上的四点作线段最多可以作6条；故⑥正确；两直线相交只有1个交点；故⑦正确；故选C．【变式6-3】要把木条固定在墙上至少要钉两个钉子，这是因为【答案】两点确定一条直线【解析】解：要把木条固定在墙上至少要钉两个钉子，这是因为两点确定一条直线．【变式6-4】木工师傅在锯木料时，先在木板上取出两点，然后弹出一条墨线，这是利用了的原理【答案】两点确定一条直线【解析】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的利用了两点确定一条直线．题型七作线段（尺规作图）【例7】如图，已知线段b，借助圆规和直尺作一条线段AB，使得AB=3b（保留作图痕迹，不要求写出作法）．

【答案】见解析【解析】解：如图所示，AB即为所求．

【变式7-1】已知：线段a，b(a>b)．求作：线段AB=a−b（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

【答案】见解析【解析】解：如图所示，线段AB即为所求；先作射线AC，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧与射线AC交于D，再以D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段AD于B，线段AB即为所求．

【变式7-2】如图，已知线段a，b，用圆规和直尺画线段AB=2b−a，要求：不写做法，保留作图痕迹．

【答案】图见解析【解析】解：如图，线段AB即为所求；

【变式7-3】如图所示，已知线段a，b，c（a>b＋c），求作线段AB，使AB=a−b−c．下面利用尺规作图正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】A、错误，图中AB=a+b+C、错误，图中AB=a−【变式7-4】按要求解题：（1）A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：①连接AB；②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；③连接AN，BM，它们相交于点P；（2）在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE【答案】（1）见解析（2）DE【解析】（1）解：如图：（2）解：如图：∵AB=3cm，∴BC=6∴AC=又∵D为AB的中点，E为AC的中点，∴AD=12∴DE=题型八线段中点的有关计算【例8】已知点A，B，C在同一条直线上，线段AB=8cm，BC=12AB，点D是线段AC的中点，那么A，【答案】2或6【解析】解：点C位于AB的延长线上，如图所示，∵AB=8∴BC=AC=∵点D是线段AC的中点，∴AD当点C位于AB之间，如下图所示，∵AB=8∴BC=∴AC=4∵点D是线段AC的中点，∴AD=综上，A，D两点间的距离为2或6．【变式8-1】如图，线段AB=10cm，点C在线段AB上且AC=6cm，其中点D是AC的中点，点O是AB的中点，求【答案】2【解析】解：∵AB=10cm，点O是∴AO=∵AC=6cm，点D是∴AD=∴DO=【变式8-2】如图，已知点C为AB上一点，AC=30cm，BC=25AC，D，E分别为

【答案】6【解析】解：∵AC=30cm，∴BC=∴AB=∵D，E分别为AC,∴AD=∴DE=【变式8-3】如图，已知点C是线段AB上一点，AC<BC，

点M、N分别是AB、BC的中点．MN=4，BC=10，求线段AB的长．【答案】18【解析】解：∵点M、N分别是∴AM=∵MN=4，∴CN=12∴BM=∴AB=2BM【变式8-4】如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D、E分别是AC、（1）求AD的长度；（2）求DE的长度；（3）若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM【答案】（1）6cm（2）4cm；（3）26cm【解析】（1）由线段中点的性质，AD=（2）由线段的和差，得AB=由线段中点的性质，得AE=由线段的和差，得DE=（3）当M在点B的右侧时，AM=当M在点B的左侧时，AM=∴AM的长度为26cm或14题型九线段n等分点的有关计算【例9】如图，C、D是线段AB的三等分点，若AB=9，则线段CB的长度为（

）

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】∵C、D是线段AB的三等分点，AB=9∴BC=【变式9-1】如图，线段AB=18cm，点N、C把线段AB分成三部分，其比是AN:NC:CB=2:3:4，M是AB（1）求线段AC的长；（2）求线段CM的长．【答案】（1）10cm（2）【解析】（1）解：∵点N、C把线段AB分成三部分，其比是AN:∴设AN=2x，NC=3∵线段AB=18∴2∴∴AC（2）∵M是AB∴AM=1【变式9-2】如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成2:3两部分，点N将线段AB分成4:1两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？【答案】线段AM，NB的长分别是8，4【解析】解：∵点M将AB分成2:3两部分，∴AM∵点N将AB分成4:1两部分，∴AN又∵AN∴45∴AB∴AM∴NB故AM=8，NB答：线段AM，NB的长分别是8，4．【变式9-3】在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且(a＋4)2+|c－6|=0．b是最小的正整数．（1）a=______________，b=______________，c=______________．（2）请你把点A，B，C表示在数轴上；（3）若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值．【答案】（1）－4；1；6（2）见解析（3）6或8【解析】（1）解：(a＋4)2+|c－6|=0，∴(a＋4)2≥0，|c－6|≥0，∴a+4=0，c解得：a=−4，c∵b是最小的正整数，∴b=1；（2）解：如图，（3）解：∵点E是线段OC的三等分点，∴OE=13当OE=∵OC=6∴OE=∴AE=②当OE=∵OC=6∴OE=∴AE=综上所述，AE=6或8．题型十与线段有关的动点问题【例10】已知点M是线段AB上一点，若AM=14AB，点N是直线AB上的一动点，且AN−BN=MN，则【答案】1或1【解析】解：分两种情况：当点N在线段AB上，如图：

∵AN−BN∴BN∵AM∴BN∴MN∴MN当点N在线段AB的延长线上，如图：

∵AN−BN∴AB∴MN综上所述：MNAB的值为1或1【变式10-1】已知线段AB=6，点P是射线AB上的一个动点，点M是线段AP的中点，点N是线段MB的中点．当MN=1.6时，AP的长为．【答案】5.6或18.4【解析】∵点P是射线AB上的一个动点，∴①点P在直线AB之内，如图1，∵点M是线段AP∴AM∵点N是线段MB的中点，∴M1∴BM∴AM∵AB=6∴AM∴AM∴AP②当点P在直线AB之外，如图2，∵AM2=∴BM∴AM∵AM∴AP故答案为：5.6或18.4．【变式10-2】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有个．【答案】5【解析】解：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA，∵BC和AD中点是同一个，∴发出警报的点P最多有5个．【变式10-3】如图，动点B在线段AD上，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B的运动时间为t秒0≤t≤10（1）当t=2时，①AB=________cm；②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．【答案】（1）①4；②3cm（2）2t【解析】（1）解：①当t=2时，AB②∵AD=10cm，∴BD=10−4=6∵C是线段BD的中点，∴CD=（2）解：∵B是线段AD上一动点，沿A→∴当点B沿点A→D运动时，AB点B沿点D→A运动时，AB∴综上所述，AB=2tcm（0≤t≤5【变式10-4】如图，C是线段AB中点，且AB=10cm，N、M两点分别从C、B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿线段BA（1）当点M追上点N时，求t的值．（2）若点M，N相距2cm【答案】（1）t=2.5s（2）t【解析】（1）解：由题意得：3解得：t=2.5∴当点M追上点N时，t的值为2.5s（2）当点M未追上点N时，3t−t当点M追上点N后，3t−t综上，当t=1.5s或t=3.5题型十一两点之间线段最短【例11】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是()A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．线段的长度可以测量 D．两点之间线段最短【答案】D【解析】解：把弯曲的公路改成直道，其道理是两点之间线段最短．故选：D．【变式11-1】如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．四边形周长小于三角形周长 D．直线是向两方无限延伸的【答案】B【解析】解：如下图所示：

根据两点之间，线段最短，AE＋AD∴AE＋AD＋BD＋EC＋BC>DE＋BD＋∴AB＋AC＋BC>DE＋BD＋即△ABC的周长>四边形BCED【变式11-2】下列四个生活中产生的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】解：①②属于两点确定一条直线，不符合题意；③④属于两点之间，线段最短，符合题意．故选：D．【变式11-3】下列说法中，不能用“两点之间，线段最短”来解释的有（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的