平面解析几何A辑（解析版）-2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020年）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题15平面解析几何A辑

应雷国氟题

1.12007高中数学联赛（第01试）】设圆。।和圆Q是两个定圆，动圆?与这两个定圆都相切，则圆P的圆心

轨迹不可能是（）

C.D.

【答案】A

【解析】设圆。和圆。2的半径分别是0/2，且|。1。21=2C,

则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为。，01，且离心率分别是上和产［的圆锥曲线.（当「尸，・2时，。。2的中

ri+r2|ri-r2l

垂线是轨迹的一部分，当C=0时，轨迹是两个同心圆）.

当q=上且G+「2<2c时,圆P的圆心轨迹如选项B;

当0V2CV匕一川时，圆尸的圆心轨迹如选项C；

当0厂2且R+72<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D.

由于选项4中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因而圆尸的圆心轨迹不可能是选项4

故选4

2.12005高中数学联赛（第01试）】方程.白〔弓+A，>=1表示的曲线是（）.

sinV2-smv3cosv2-cosV3'

A.焦点在X轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在〉轴上的双曲线

【答案】C

【解析】因为a+V3>7T,所以0V/—>J2<V3—^<p

故cos-夜）>cos（V5—0,即sinV^>sinV3,

又0V&V<V3<7T,所以cosV5>0,COSA/3<0,故cosV5—cosV3>0,

方程表示的曲线是椭圆

因为⑸门鱼—sinV3）—（cosV2—cosV3）

=2岳in学sin（等+：）①

而-E<W<0,所以sin=<0；<=<羽,

222224

故手<立声+汴兀，所以sin（座/+9>0.

于是式①小于0.即sinV^—sinV3<COSA/2—cosV3.

所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆.

故选U

3.12003高中数学联赛（第01试）】设°,bGR,ab*0,那么，直线ax—y+b=0和曲线匕/+=乱的图形

【答案】B

I解析】题设方程可变形为y=ax+匕和9+3=1，

则观察可知应选B.

4.12003高中数学联赛（第01试）】过抛物线炉=8（.计2）的焦点尸作倾斜角为60。的直线，若此直线与抛物线交

于4,B两点,弦的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的长等于（）

A.-B.-C.—D.8V3

333

【答案】X

【解析】易知此抛物线焦点尸与坐标原点重合，故直线的方程为y=8x,

因此，A,8两点的横坐标满足方程3——8x—16=0,

由此求得弦AB中点的横坐标%=/纵坐标y0=看

进而求得其中垂线方程为y

令产0,得点P的横坐标％=4+；=热即PF=y.

故选A.

5.12002高中数学联赛(第01试)】实数x,y满足(x+5)2+(y—12)2=142,则自产的最小值为()

A.2B.1C.V3D.V2

【答案】B

【解析】解法一(x+5)2+0—12)2=142是以点。(一5,12)为圆心，半径为14的圆.

设P为圆上任一点，则|OP|>|CP|-\OC\=14-13=1,

当点。，O,P共线时，等号成立，所以点尸到点。的最小值为1,

故选B.

解法TX=T+14COS8此时

胖佑一卜=12+14sin。'此」

x2+y2=142+122+52+28(-5cos0+12sin6»)》142+132-28V52+122=1.

第2题答案图

6.12002高中数学联赛(第01试)】直线升”1与椭圆三+<=1相交于1,3两点，该椭圆上点P,使得△

43169

刃5面积等于3,这样的点尸共有()

41个8.2个C.3个D4个

【答案】B

【解析】设Pi(4cosa,3sina)(0<a<习，即点Pi在第一象限的椭圆上，

如图，考虑四边形P/O8面积S,有

11

s=S&OAP、+SoBPr=2x4(3sina)+-x3(4cosa)

=6(sina+cosa)=6V2sina+:

因为=|x4x3=6为定值，所以的最大值为6鱼-6.

因为6夜-6<3,所以点尸不可能在直线48的上方，显然在直线48的下方有两个点尸，

故选B.

另解考虑到椭圆是圆压缩得来，而相应面积按比例得到.所以，我们可以在圆中考虑这个问题.

如果存在点P,题目要求，那么相应圆中三角形面积是gx4=4,

若点P在上，△巴8最大面积（4一2鱼）x^<4,

所以P不能在48上面.在AB下方，显然可以存在两个点满足题意.

7.12000高中数学联赛（第01试）】已知点X为双曲线x2—y2=i的左顶点，点B和点c在双曲线的右分支

上，△48C是等边三角形，则△48C的面积是（）

A.—B.—C.3V3D.6V3

32

【答案】C

【解析】不妨设点8在X轴上方，因为是等边三角形，故可知直线4B的斜率k=4，

又直线过点4—1,0）,故方程是、=枭+多

将其代入双曲线方程/-y2=i,得点8的坐标是（2,百）.

同理，可知点C的坐标是（2,-禽）.

故△XBC的面积是［2-（-1）］V3=3V3.

8.【2000高中数学联赛（第01试）】平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线尸|x+g的距离中的最小值

是（）

A.叵B.且C.2D.三

170852030

【答案】B

【解析】由题意，不妨设整点为可知它到直线25x—15y+12=0的距离是</=竺窖嬖詈=

,254+（-15），

125x0-15y0+121

5^，

又因为勺,%eZ,有25q-15yo是5的倍数，

所以125%一15%+121>2,

仅当事=-l,y0=-1时125比-15yo+121=2,

故所求最小值是卑.

85

9.【1999高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么，满足不等

式（㈤一I）2+（|y|-I）2<2的整点（x,月的个数是（）

A.16B.17C.18D.25

【答案】A

【解析】由（团一1）2+（仅|一1）2<2可知（团一1,仅|一1）是（0,0）,（0,1）,（0,-1）,（1,0）或（一1,0）.

所以（x,y）的取值共16个.

10.11997高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系中，若方程，，代+炉+2>i）=（x—2>3）2表示的曲线为椭

圆，则机的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,4-00）C.（0,5）D.（5,+8）

【答案】D

【解析】由已知得牛出竺苫=器，

x-2y+3'

Pi2+<-2）2i

这说明（x,切到定点（0,—1）与到定直线x-2y+3=0的距离之比为常数第，

由椭圆定义得曰<1,所以〃?>5.

yjm

引申同一个事物可以从不同的角度看，在解析几何里面，这主要是指对儿何对象可以通过方程去加深“代数”的

认识，也可以通过其几何特性去把握它.当然，通常要结合这两种观点一起看，才会对问题的认识更全面.

对本题，条件给的是“代数”的，我们从几何观点来看的话，就会知道左右两边实际上都是某个距离的平方再乘

上某个系数.根据椭圆的第二定义（几何特性），很快就能知道答案.

11.11996高中数学联赛（第01试）】把圆N+8—1）11与椭圆9*+51）2=9的公共点，用线段联结起来所得到

的图形为（）.

A.线段B.不等边三角形C.等边三角形D.四边形

【答案】C

［解析】解方程/+义卢=x2+（y-得到尸2或y=

然后把相应值带入圆方程解得『0或x=士多

于是我们得到这两个图形的三个交点4（0,2）,&（曰（），&（十彳），

考虑到选项有不等边三角形和等边三角形，我们来判断这三个交点是否构成等边三角形.

易得I414J=1441=\A2A3\,于是所得图形是等边三角形.

12.11994高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系中，方程用+守=1（〃，方是不相等的两个正数）所

2a20

代表的曲线是（）

A.三角形B.正方形

C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形

【答案】D

【解析】将直角坐标系xQy绕原点逆时针旋转45°,

得到新坐标系xQ",点P在坐标系xQ"中的坐

（X=义（x+y）

标为（x「y）,在坐标系中的坐标为（x,y）,则｛；2,

U'=&（T+y）

题中方程必+0=1①

2a2b

显然，式②代表的曲线关于x釉、y釉对称，在xQ/的第1象限内，式②成为［+?=

即为线段其中4（&a,0）,8（0,V5b）.

据对称性，在第0象限内，方程②是线段8C,其中C（一夜a,0）；

在第in象限内，方程②是线段。，其中。（0,—或与；

在第W象限内，方程②是线段4D

由对称性知又由于a翔，故4C力80.

所以是非正方形的菱形.

13.11993高中数学联赛（第01试）】若”=｛（x,y）||tan?ry|+sin27rx=0｝,N=｛（x,y）||x2+y2\<2｝,则Mn

N的元素个数是（）

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【解析】由tanzry=。得y=k(fceZ),sinzrx=0.

得％=k'(fc*eZ),

又》2+y?42,所以k=—1,0,1»k1=—1,0,1.

如图共有9个点，因此答案是。.

14.【1993高中数学联赛(第01试)】若直线％£被曲线C:(%-arcsina)(%—arccosa)+(y—arcsina)(y+

arccosa)=0所截得的弦长为d,当。变化时，d的最小值是()

A.-B.-C.-D.TT

432

【答案】C

【解析】由题设知，曲线C是以Pi(arcsina,arcsina),P2(arccosa,-arccosa)两点为直径端点的圆，其圆心的横坐

I-uarcsina+arccosan

标为q=-----------------=彳，

故直线丫=工过圆心，”就是该圆的直径.

4

2

ffijd2=2[(arcsina)2+(arccosa)2]>(arcsina+arccosa)2=7r.

所以又当arcsina=arccosa时，相应的d=巴.

22

故答案是c.

15.11993高中数学联赛(第01试)】设〃7,〃为非零实数，i为虚数单位，zee,则方程|z+市|+|z-mi|=

n①

与|z4-ni\—\z—miI=—m②

在同一复平面内的图形(Q,B为焦点)是()

【答案】B

【解析】由题意

（1）表示以0（0,-八）,尸2（0,6）为焦点的椭圆；

（2）表示以外（0,-n）,6（0,m）为焦点的双曲线的一支.

从情形⑴知«>0,以及n=|z+ni|+|z—mi|>|n+m|,

故再从情形（2）即得|z+ni|+|z—》-m,且-m<n.

于是Fi,F2的位置只可能是8或。，

且知双曲线上的点离B较近，故情形如8所示.

16.11992高中数学联赛（第01试）】对于每个自然数"，抛物线产（层+刈炉一（2”+1户+1与x轴交于4,以两

点,以14nBM表示该两点的距离,则I4B/+M2B2I+…+|4992丛9921的值是（）

.1991„1992_1991_1993

A.----B.----C-.----D.----

1992199319931992

【答案】B

【解析】因为y=（n%-l）[（n+1）*—1],

当尸。时，求得%i=：,%2=W，

所以14n故Mi'il+出即H----hM199281992I

=（1一,+G—二）+…+（--------=1--=—.

\27\23/V19921993/19931993

17.11992高中数学联赛（第01试）】已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的

方程是（）

A.(x+yjl-y2)(y+V1—x2)=0

B.(x-yjl—y2)(y—V1—x2)=0

C.(x+y/1-y2)(y-V1-x2)=0

D.(x-Jl—力④+V1—x2)--0

【答案】D

【解析】因曲线是右半单位圆和下半单位圆的并集，

右半单位圆方程是x-=0,下半单位圆的方程是y+6不=0.

18.11991高中数学联赛(第01试)】方程|x-y2|=1一团的图像为()

【答案】D

【解析】把方程整理为以一旷2|+团=1可知，MWI,即x的取值范围是-l4x4l.

这样/,3被排除；当x=1时，产0,1,—1,

说明方程图像只能是D

19.11990高中数学联赛(第01试)】设双曲线的左右焦点是乙,尸2,左右顶点是M,N,若△尸的顶点尸在

双曲线上，则的内切圆与边尸尸2的切点位置是().

A.在线段的V内部B.在线段Fi"内部或线段N6内部

C.点〃或点ND.不能确定的

【答案】C

(解析】设内切圆切FXF2于点G,切尸A于H,切PF.于K.

当P在右支上时,得|G&|一|GFzl=阳&|—区外1=(旧&1+|叫)-(.\KF2\+|KP|)=IPFJ-\PF2\.

由双曲线定义知，G在双曲线上，于是G与M重合，

同理，若点尸在左支上，则G与N重合.

20.【1990高中数学联赛(第01试)】已知椭圆捻+、=l(a>b>0)通过点Q,1),则这些椭圆上满足[y|>1的

点的集合用阴影表示是下面图中的()

【答案】C

【解析】因为点(2,1)在椭圆上，所以专+专=1,即〃=生①

因为。2>62,所以。2>4,a2>5.

az-4

将式①代人椭圆方程，得。2=电手，于是与手>5②

yz-ly£-l

当例>1,式②可化为"+y2V5,故椭圆上满足飙>1的点的集合为｛(x,y)|%2-y2V5,|y|>1].

21.【1988高中数学联赛(第01试)】已知原点在椭圆42一+必一4依+2收+/一1=。的内部，那么参数人

的取值范围是()

A.\k\>1B.|fc|*1C.-1<fc<1D.0<|/c|<1

【答案】D

【解析】椭圆外部的点可以离原点很远，它的坐标x,y的绝对值可以很大，使得方程左边大于0,所以内部点

的坐标使方程左边小于0,用原点的坐标代入方程左边得公一1<0,又厚0(否则方程不表示椭圆)，所以答D

引申判断点尸(。，人)在曲线作，)，尸0的哪一侧(上方或下方，内部或外部)的标准就是看人)的符号.这是由/

(X,仍的连续性决定的：如果有点Pi，P2，/(Pi)f(P2)<0，则线段八户2上必有点。在曲线上.

22.11988高中数学联赛(第01试)】平面上有三个点集“，N,P-.M={(x,回|网+例<1},N={(x,y

)|J(X-1)+(y+|)++0+(y-1)<2A/2],P={(x,y)||x+y\<l,|x|<l,|y|<1}.则()

A.MuPuNB.MuNuPC.PuNuMD.A,B,C都不成立.

【答案】A

【解析】如图，M是正方形8CEF内部，P是六边形/8C0EF内部，N是以X。为长轴的椭圆内部，易知正方

形顶点在椭圆内.

23.11988高中数学联赛(第01试)】在坐标平面上，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，我们用/表示所有直

线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多

个整点的直线的集合，那么表达式(1)MUNUP=/；(2)MH0；(3)NH0：(4)Pf0中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】直线严|不通过任何整点，所以表达式(3)正确；

直线)/=夜¥,恰好通过一个整点(0,0),所以表达式(2)正确；

直线.尸x通过多个整点，所以表达式(4)正确.

我们来证明，若ax+b%+c=0,通过两个整点(%,%),(无2，%)，则通过无穷多个整点(%i+攵(%2-%1)，%+攵

(%-%))#EZ.

事实上Q+[%!+k(x2-xi)]+力(71+k(72—％)]+c=Q》i+byi+c+k{ax2+by2+c)—k(ax1+byx+c)=

0.

24.【1987高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系中，纵、横坐标均为有理数的点称为有理点.若。为无

理数，则过点（。，0）的所有直线中（）

A.有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

氏恰有〃（29<+oo）条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点

D.每条直线至多通过一个有理点

【答案】C

【解析】若直线/过点（m0）且通过两个有理点（右,比）,（石，九），则必有血右

若不然，，的方程必为x=a,于是/=x2=a.

这与（万1，%），（冷，内）是有理点矛盾.

又直线/的斜率为"=91=_21_,从而y=一（为a）.

Q—X]Xi-a/1x2-xt

因为“为无理数，所以上式成立的充分条件是

故过点（。，0）且过两个有理点的直线有且只有一条，它的方程为y=0.

25.11985高中数学联赛（第01试）】?。为经过抛物线产=2/»•焦点的任意一条弦，MV为尸0在准线/上的射

影，P。绕/旋转一周所得的旋转面面积为S,以MN为直径的球面面积为S2，则下面的结论中，正确的是（

）

A.S]>S2B.S]VS?C.S、〉S2

【答案】C

【解析】在4B,C,。四个答案中，C包含着4,即若4正确，则C必定正确，因此不必考虑4又当过焦点

的弦尸0的倾角（与x轴夹角）很小时，尸。绕旋转一周所得旋转体（圆台）的母线很长，而相应的高却很短，亦即球

的直径很小，因此8不成立.下面，将通过计算，判断是C或D圆台的侧面积由母线尸。和两底半径PM,QN

的长确定根据抛物线的定义|PM|=\PF\,\QN\=\QF\

（其中F为焦点）.若取PQ的倾角a为参数，

设|PF|=Pi.,\QF\=p2,则|PM|=pt，\QN\=p2,\PQ\=Pi+p2-

222

于是Si="（pi+P2）<S2=n-\MN\="sin2a（pi+p2）.

显然工》52,且当a=：时取到等号.

26.11985高中数学联赛（第01试）】在下列四个图形中，已知有一个是方程机/+及y=0与"?/+”炉=1。存0,畔

0）在同一坐标系中的示意图，它应是（）

【答案】力

【解析】因为m/+ny2=1,且7n・nH0,所以根，〃不可能都是负数.

若m>0,n>0,因为椭圆的长轴在x轴上，所以OVmVii,

这时抛物线？nx+ny2=0,即/=—

开口应向左，显然答案不是C

又因0Vm<n,所以0V9VI,

n

这样，抛物线y2=与直线y=-x当一1<x<0时应有交点.

由于。的图形与此不符，故答案亦非。（Q图中标有单位1）.

若,”，〃异号，则抛物线y2=一;x的开口应向右，所以答案肯定不是8,

因此可知，4是正确的，例如，取n=2,m=—2即可得到图/.

27.11984高中数学联赛（第01试）】对所有满足1999的"3",极坐标方程p=「表示的不同双曲

71—TC^COSa

线条数是（）

A.15B.10C.7D.6

【答案】D

【解析】圆锥曲线的极坐标方程p=总需.当且仅当e>l时表示双曲线，因此木题方程必须满足C*>1.

又由于1<n<m<5,

所以可得6个不同的值：cLc!，cl，clcl,cJ.

28.11983高中数学联赛（第01试）］已知出｛（x,y）［y>x2］,N=｛（x,回年+任一40｝.那么，使W1N=N成立的

充要条件是()

A.a>1-B-a=*C.a>1D.0<a<1

4

【答案】A

【解析】如图，已知时=｛。力)|丫》/｝.是表示抛物线产/开口内且包括周界的区域.

N=｛(x,y)|x2+(y-a)2<1｝是表示以点(0,a)为圆心，1为半径且包括圆周的圆域.

使MCN=N成立的充要条件是：

2

圆产+(y-a)-1在抛物线y=/的开口内，且与其可有公共点.

设(x,y)为抛物线尸x2上的任意点，由它与圆心(0,0)距离的关系，得到所求的充要条件为

x2+(y-a/》1

y=x2>

、a>1

(y2—(2a—l)y+a2-1>0

所以｛y=x2①

Ia>1

因式①对于任何yd成立的充要条件为4=(2a-I)2-4(a2-1)<0,

解得a>

4

于是得到历CN=N的充要条件是a>1-.

4

29.11982高中数学联赛(第01试)】极坐标方程。=口；热而所确定的曲线是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】C

【解析】该方程可写成「=•,尸号。方令夕=。++得P=;春…前

1-0cos(e+g4L1-\眨cos夕

在极轴Ox经顺时针旋转N所得到的新极坐标系中，可知其曲线是e=«的圆锥曲线，它是双曲线

4

30.11982高中数学联赛(第01试)】由方程|%-1|+仅一1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是()

A.1B.2C.71D.4

【答案】B

【解析】该方程确定的曲线是以点(I,0),(2,1),(1,2),(0,1)为顶点的正方形，其边长为VL因此，面积

为2.

31.11981高中数学联赛(第01试)】下面四个图形中，哪一个面积大().

A.△ABCZ=60°,/B=45"。=遮

B.梯形:两条对角线长度分别为鱼和百，夹角为75°

C.圆:半径为1

D.正方形:对角线的长度是2.5

【答案】C

【解析】选项“凰MC=今泮2sin60°sin75°_3+VJ

2sin45n-4'

选项反：若兄%为对角线长，夕为对角线的夹角，则

S-12-sin?=1V6-sin75°=

选项C.:S，t\=nR2=n.

选项。.：S正方彩=3.125.

因为兀＞3.125＞为金所以圆的面积最大.

4

32.【1981高中数学联赛(第01试)】在坐标平面上有两个区域M和N,M是由疙0,Q和珠2-x这三个不

等式确定的.N是随，变化的区域，它由不等式区在什1所确定的，/的取值范围是0WW1.设M和N的公共面积是

函数/⑴，则/⑺为().

A.-t?+tH—B.-2t2+2tC.1—t?D.—(t—2)2

222k7

【答案】A

【解析】如图1,区域M/SE/+l(00WI)是坐标平面内的带状区域；如图2,区域M:yK),双和球2-r是坐标

2

平面内的三角形区域*和N的公共区域(图3)面积可看作SMEF-SAO”B-所以f(t)=l-1t-l(l-t

)2=一尸+t+*04t(1)

N

图3

幽解物题遢颂B

1.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么，满足不等式(|x|-1尸+(|y|-1)2<2的整

点(x,y)的个数是().

A.16B.17C.18D.25

【答案】A

【解析】

由(|x|-1)2+(|训-1)2<2,可得(|川一1,加-1)为(0<),(0,1),(0,-1),(1,0)或(一1,0).从而，不难得到

(x,y)共有16个.故答案为：A

2.设椭圆C：橙+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，尸2，其焦距为2c,.点N(季，字)在椭圆的内部，点M

是椭圆。上的动点，且|MF/+|MN|<2KI&F2I恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是()

A.(0净B.1,1)C.阴,1)D.阴净

【答案】D

【解析】

由N(£,苧)在椭圆的内部，得篇+条<1，

即9b2c2+2a2c2<4a2b2,从而4a4_15a2c2+9c4>。，

得到9/—i5e2+4>0,因此(3?2-1)(3/-4)>0.

因为0<内1,所以3/—4<0,故3/<1,得到0<e(虫.

3

又由IMF/+\MN\<2百因玛1恒成立，即2a+\MN\-\MF2\<4百c恒成立，

等价于(2a+\MN\-|MF2|)max<4Kc,亦即2a+|NF21V48c.

等价于2a+於—)2+/<4恁，即2a(竽，得到e>等.

综上，得延<e<遗.

213

故选：D.

3.已知尸1、尸2分别为双曲线盘一《=1(。>0/>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若错的最小

值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围是()。

A.(1,3]B.(1,2]C.[2,3]D.[3,十8)

【答案】A

【解析】

7

=吆"甲=—+|Pf2|+4a>274a+4a=8a.

IPF2I\PF2\\PP2\121

当且仅当篇=|PF2l，即|"2l=2a时，上式等号成立，这时|PF/=4a.

严2I

又IPFJ+IP切NIPF1P&I，即4a+2aN2c,

因此，1<?=£w3・选A.

a

4.已知Fi、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且N&PF2=60。.则该椭圆与双曲线的离

心率之积的最小值为().

A.—B.坦C.1D.V3

32

【答案】B

【解析】

设|PFJ=m,IPF2I=n(m>n)•

椭圆方程为苴一看=1,

双曲线方程为K=i

两曲线的半焦距为q、C2,且Q=C2.

由圆锥曲线定义得

m+n=2al,m-n=2a2・

于是，巾=。1+。2，几=Qi­。2•

又由余弦定理得

222a2

m+n-mn=4cf=4cj=>（%+a2）+（。1—2）-（4+@2）（。1~。2）=4cf=4—

=>冠+3a1=4cf=4登

=及i,”3/.

由均值不等式得4=}+j22J篇n0送2>y-

当q=亨，©=当时，上式等号成立.

从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为组.

2

5.点P（0,2）关于直线x+2y-l=0的对称点坐标是

A.（-2,0）B.（-1,0）C.（0.-1）D.

【答案】D

【解析】

—+2（—+1）—1=0,

2

解一：设点P（0,2）关于直线x+2y—l=0的对称点是P，（久°,y。），则{?y（>_2,即

6

『斛*懈之得Y：二’

.»'（一也一|）.故选D.

解二：设点「'（&》（））为所求的对称点，利用pp，的中点在直线x+2y—1=0上，这样可否定B..

♦.•x+2y-l=0的斜率为一点

.:ppt的斜率为2.

而满足这个条件的点仅是（一:一》故选D..

6.已知一双曲线的两条渐近线方程为x—V5y=0和8x+y=0,则它的离心率是（）.

A.V2B.V3C.2V2D.V3+1

【答案】A

【解析】

解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以产土x为渐近

线的双曲线方程为G-y2=H0），它的离心率为混，故答案为：A.

7.设F「尸2分别是椭圆《+卷=1（。>力>0）的左、右焦点，P为该椭圆上一点，满足"PF?=90。.若4PaF2

的面积为2,则b的值为（）.

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】

设|PFJ=m,|PF2|=n,则

m+n=2a,①

m2+n2=4c2=4(a2—b2),②

|mn=2.③

由①②③得乂=2,即b=V2.

故答案为：B

8.椭圆?+?=1的左焦点为广，直线y=与椭圆在第一象限的焦点为M,过M作椭圆的切线交x轴于点N.

贝必MNF的面积是().

A.遮+誓B.遮+等

C.2遍+等D.26+争

【答案】C

【解析】

如图，由椭圆方程立+加=1,可得a2=4/2=3,c2=l.

43

所以，F(-1,O).

设M(%,y。)，易知过点M的切线方程为华+等=1.

令y=o,解得孙=9故|FN|=l+2.

%0XQ

所以，工”种=“1+?。=济+署.

设%o—yo—3sin',

因缓号tan”0所以，tan”2.

显然，0e（0,S，则sin。=管,yo=V3sine=

因此，S4MNF=W+24

故答案为：C

9.如图，已知椭圆捺+、=l（a>b>0）,直线i与椭圆切于点P，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点4、

C.y/a2—b2D.y/a2+b2

【答案】A

【解析】

易知，切点2（出,尢）在第一象限.则切线，的方程为翳+餐=1.

分别令y=o,x=0,得A偿,0）、8（0卷）.

由伊川=力得偿一出）+必=炉，即管一死）=疝示

因为竺>x0>0>

x0

所以，B*。=京。=就=/则光=g（a2-x^）=g（a2-^）=总

故|PB|=J瑶+偿_yo）2=J诏+圻2b2+赭

=+b（a+b）-2b2+念=a-

故答案为：A

10.顺次联结双曲线町/=20与圆/+/=41的交点得到一个凸四边形.则此四边形的面积为（）.

A.18B.20C.22D.30

【答案】A

【解析】

设AOo，%)g>0,yo>0).

由两曲线既关于原点对称又关于y=x对称知，另外的三个交点坐标为8(y(),Xo)、C(-x0,-y0),。(一y。,一n).由

此知四边形4BC。为矩形，

其面积为|4例•|4。|=J2(x()-%)2-J2ao+先)2=2J欧+%一2了0兀-V^o+7o+2xo7o

=2741-2x20•V41+2x20=18.

故答案为：A

11.已知双曲线。三一4=1的右焦点为F,P是第一象限内C上的点，Q为双曲线左准线上的点.若。P垂直平分

FQ,则双曲线的离心率e的取值范围是().

A.(l,+oo)B.(V2,+oo)

C.(V3,+co)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】

由|。尸|=|0Q|,可得

QVa2+c2)>F(c,0).

所以，%〃=咚?=一高.又0P1FQ,则岫「=年・

C

依题意有近至<幺即£?(£?+c2)<b4=(c2-a2)2,

ba

化简得3a2vc?.从而，e=^>V3.

12.抛物线y=-营/的准线与y轴交于点4过4作直线交抛物线于点M、N,点8在抛物线对称轴上，且(BM+

O

等)1MN.则|。8|的取值范围是().

A.(3,+oo)B.(4,+00)C.(5,+oo)D.(6,+oo)

【答案】D

【解析】

注意到点4(0,2).过4作直线MN,其方程设为y=kx+2.代入抛物线方程得

x2+8kx4-16=0.

而4>0.则>l,x1+x2=—8k.

设点8(0,b),MN中点为C(-4k,-41+2).

由（8M+丝）±MN=8C1MN=b=-4k2-2<-6.

则|08|的取值范围是(6,+8).

13.已知F为椭圆1+4=1的焦点，过焦点的直线与双曲线三一号=1的两条渐近线小"分别交于点M、N,

与椭圆交于点A、B.若。M-MN=O,FA=^AN,则椭圆的离心率是().

B.咕Q，5±、厅D.v’5-、万

933

【答案】C

【解析】

如图3,由。M-MN=O,得。M±MN.由K0M=-，知直线1的斜率为:，焦点F(c,O).于是，直线，:—

_CL(、Q222

c).由｛‘一〃:解得『一］故点N卢，段).由尸4=，N,得4笔+£,力，代入椭圆方程有堂堂+尊=

y=—X.V=—Cc344C4C2。2

azca

1.化简得9e,-10e2+2=0.

解得e2=也Z.

9

14.设有心圆锥曲线5+?=1(血>I川>0)上一点尸与两个焦点&、尸2的连线互相垂直.则Rt^PFiF2的面积

是().

A.|n|B.mC.n2D.不确定

【答案】A

【解析】

n>0,曲线为椭圆.则|P&|+|PFz|=2标，①

PFl+PFl=4(m-n).②

①2—②得|P川|P%I=2n,SNAFZ=|n|.

类似地，n<0时，S“FFZ=1n1'

15.己知点尸（1,2）既在椭圆条+，=1内部（包括边界），又在圆/+/=贮詈!外部（包括边界）.若以be

R+.则a+b的最小值为（）.

A.V5+2B.V6+V3

C.2V5D.V3+V5

【答案】B

【解析】

由已知有专+表41且a?+2b2<15.于是，念^<a2<15-2b2-

化简得（炉-5）（炉一6）W0.化简得（4—5）（4一6）W0.

从而，5W炉w6•

又t<2,故其等价于2（d+4+>/6）>V3t+y]t（t+4）•

由26之8t及22班，知上述不等式成立.

故a+b>V3+V6•

当a?=3,川=6时符合条件且取到最小值乃+百.选B.

16.过椭圆C：?+?=1上任一点P作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q,使|HQ|=4|

PH|（A>1）.当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）.

A.（0,目B.弓，争C.惇,1）D.（今1）

【答案】C

【解析】

设P（xi,yi）>Q（x,y）.

因为右准线方程为x=3,所以，H（3,y）.

又丽=丽则黄=总

由定比分点公式得

3(1+A)—x

{"一A一

y-L=y-

代入椭圆方程得点Q的轨迹方程为