第10讲 幂函数、函数的应用（一）（5大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第10讲嘉函数、函数的应用（一）（5大考点）

Q考点考向

幕函数的概念、解析式、定义域、值域

【知识点归纳】

事函数的定义：一般地，函数y=/叫做基函数，其中x是自变量，。是常数.

P

解析式：y=/=

定义域：当“为不同的数值时，募函数的定义域的不同情况如下：

1.如果。为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果“为

偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数.

当x为不同的数值时，基函数的值域的不同情况如下：

1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数.

2.在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数.

而只有a为正数，0才进入函数的值域.

由于x大于。是对a的任意取值都有意义的.

幕函数的图象

【知识点归纳】

三.幕函数的性质

【知识点归纳】

所有的恭函数在（0,+8）上都有各自的定义，并且图象都过点（1,1）.

（I）当。＞0时，累函数y=/有下列性质：

“、图象都通过点（1,I）（0,0）；

仄在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

C、在第一象限内，。＞1时，图象开口向上；0＜4＜1时，图象开口向右：

d、函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8）上是增函数.

（2）当〃＜0时，幕函数有下列性质：

4、图象都通过点（1,1）；

仄在第一象限内，函数值随X的增大而减小，图象开口向上；

c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在）'轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴,

当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴.

（3）当〃=0时，幕函数＞=/有下列性质：

小y=x°是直线y=l去掉一点（0,1）,它的图象不是直线.

四.幕函数的单调性、奇偶性及其应用

【知识点归纳】

1、幕函数定义:

一般地，函数y=/（«GR）叫做哥函数，其中x是自变量，。是常数.

（1）指数是常数；

（2）底数是自变量；

（3）函数式前的系数都是1；

（4）形式都是＞=/,其中。是常数.

2、基函数与指数函数的对比

式子名称

aXy

指数函数：y底数指数暴值

塞函数：y=指数底数幕值

3、五个常用基函数的图象和性质

1

23

(1)y=x；(2)y—x；(3)y=x；(4)y=x2；(5)y=x

1

尸工y=7尸尸产”

y=2

定义域RRR[0,+8){4rW0}

值域R[0,+8)R[0,+8){把¥0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增xG[0,+8)时，增增xe(0,+8)

增时，减

(-8,0]xe(-8,o)

时，减时，减

公共点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

4、基函数的性质

（1）所有的基函数在（0,+8）都有定义，并且函数图象都通过点（1,1）.

（2）如果〃>0,则基函数的图象过点（0,0）,（1,1）,并在［0,+8）上为增函数.

（3）如果4<0,则募函数的图象过点（1,1）,并在（0,+8）上为减函数.

（4）当。为奇数时，基函数为奇函数，当a为偶数时，募函数为偶函数.

五.分段函数的应用

【分段函数的应用】

分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的.这个在

现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里

面都涉及到分段函数.

【具体应用】

正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现.下

面我们通过例题来分析一下分段函数的解法.

例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年

销售量为11.8万件.第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0<p<100,即销售100元要征收p

元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件幽元，预计年销售量将减少p万件.

100-p

（I）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成P的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？

（川）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

解：（I）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，

年销售收入为%L（11.8-p）万元，

100-p

政府对该商品征收的税收）=塾L（11.8-p）p%（万元）

100-p

故所求函数为y=———（11.8-p）p

100-p

由及p>0得定义域为0VpV11.8…（4分）

（〃）由y，16得8°（11.8-p）p216

100-p

化简得p2-12p+20<0,即（p-2）（p-10）<0,解得2WpW10.

故当税率在［0.02,0.1］内时，税收不少于16万元.…（9分）

（///）第二年，当税收不少于16万元时，

厂家的销售收入为g（p）=8000（11.8-p）（2Wp<10）

100-p

g（p）梁力（11.8-p）=800（io小乙）在⑵10］是减函数

100-p100-p

（p）max—g（2）=800（万元）

故当税率为2%时，厂家销售金额最大.

这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分

段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；

第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值：第三，注意累加的情况和仅仅

某段函数的讨论.

【考查预测】

修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答.

u考点精讲

一.幕函数的概念、解析式、定义域、值域（共8小题）

1.（2021秋•阳春市校级月考）已知嘉函数y=/（x）的图象过点（3,M）,则/（4）的值为（）

A.-2B.1C.2D.4

【分析】设暴函数的解析式为/（x）=y，代入点可求a的值，从而可求/（4）的值.

【解答】解：设募函数的解析式为/（X）=/，

因为事函数y=f（x）的图象过点（3,M）,所以3a=料，解得a=2.

2

所以/（x）=4，f（4）=y=2.

故选：C.

【点评】本题考查了幕函数的解析式及幕函数的函数值，属于基础题.

2.（2022春•爱民区校级期末）已知幕函数/（X）="（蛇&aGR）的图象经过点（4,/），则％+a=

（）

A.AB.1C.3D.2

22

（k=l

【分析】由基函数/（x）=k*x°（keR,aGR）的图象经过点（4,工），得，al，求出k=l,a—-―,

2|4=2-2

由此能求出结果.

【解答】解：幕函数/（X）=妙小（kCR，aGR）的图象经过点（4,-1-）.

'k=l

.a1>解得％=1，a=-江，

4=—2

*2'

.•/+a=l-工」.

22

故选:A.

【点评】本题考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.(2022春•无锡期末)已知幕函数y=/(x)的图像过点(2,晋则/(16)=()

A.,AB.AC.-4D.4

44

【分析】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数/(X)的解析式，求出函数值即可.

【解答】解：令f(x)=*,

将点(2,喙)代入函数的解析式得：

2。=返_="5，解得a=-A,

2/2

1

故/(x)=2,/(16)=—,

x4

故选：B.

【点评】本题考查了塞函数的定义以及求函数的解析式，考查函数求值问题，是基础题.

4.(2022春•广陵区校级月考)若基函数f(x)=/的图象经过点(2,牛正)，则函数f(x)的解析式是

()

£1__A2_

A-f(x)=x3B,f(x)=x3C,f(x)=x3D,f(x)=x3

【分析】由题意，利用幕函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式.

【解答】解：•.•幕函数/G)=/的图象经过点(2,V16)1

3_4_

♦••2〃=相=2.解得罟，％但)=*§，

故选：A.

【点评】本题主要考查幕函数的定义和性质，属于基础题.

11121

5.(2022春•德州期末)幕函数f(x)=(1n2.-5)乂4"7在区间(0,+8)上单调递增，则八3)=()

A.27B.9C.AD.-L

927

【分析】根据嘉函数的概念及性质，求出实数〃?的值，得到基函数的解析式，由此能求出结果.

【解答】解：..•幕函数f(x)=(1n2旭一在区间(0,+8)上单调递增，

f2

.m+m_5=l

m2+2m-5是正数

解得加=2,

:・f(x)=x3,

：.f(3)=33=27.

故选：A.

【点评】本题考查幕函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.(2021秋•广西月考)已知基函数/G)的图象经过点(3,A).

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)设函数g(x)=S，写出函数g(x)的单调区间和值域.

【分析】(1)由题意，利用幕函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式.

(2)由题意，利用塞函数的性质，得出结论.

【解答】解：(1)幕函数/G)的图象经过点(3,工)，设，(X)="'，

3

则则〃=-1，

3

f(x)=x-1=—(X7^O)-

X

(2)因为g(x)=-2,f(x)=上，

X

函数g(x)的单调递增区间为(-8,0),(0,+8),无单调递减区间，

值域为{比孚0}.

【点评】本题主要考查基函数的定义和性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题.

7.(2022春•项城市校级期末)已知幕函数/(x)=(〃2-3〃+3)/为偶函数.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=/(x)+(2机-1)x-3在［-1,3］上的最大值为2,求实数机的值.

【分析】(1)根据基函数的定义及性质求出参数。，即可得解.

(2)首先得到g(x)的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求

出参数的值.

【解答】解：(1)因为f(x)=(/-3“+3)/为基函数，

所以cpTa+Sul,解得“=2或4=1,

因为f(x)为偶函数，

所以4=2,故/(X)的解析式/(X)=7.

(2)由(1)知g(x)=7+(2加-1)x-3,对称轴为x=『2m,开口向上，

当工：叫《1，即时，g（x）max=g（3）=3+6〃?=2,即皿=」；

226

当上券》］,即时，g（x）3=g（-1）=-1-2%=2,即！^-^；

综上所述：m=」或m=3.

62

【点评】本题主要考查哥函数的定义，函数的奇偶性，二次函数的性质，属于基础题.

8.（2022秋•鸡东县校级月考）已知基函数/'（X）=（2川+9m-4）/在（-8,0）上为减函数.

（1）试求函数/（x）解析式；

（2）判断函数/（x）的奇偶性并写出其单调区间.

【分析】（1）根据基函数的定义，令2m2+9,〃-4=1,求出山的值，再判断〃?是否满足基函数在正（-8,

0）上为减函数即可.

（2）利用奇偶性的定义判断奇偶性，利用基函数的性质求出单调区间.

【解答】解：⑴V/（x）=（2层+9叫-4）”为幕函数,

,2m2+9m-4=1,即2/n2+9m-5=0,解得m=^或〃2=-5，

当时，函数/（x）在区间（-8,0）上无意义,

.\m=~5,则/（x）=x'5.

（2）Yf（x）=x/=W的定义域为（-8,o）u（0,+8）,其关于原点对称,

D

X

Vf（_）=_（X），...基函数为奇函数，

x（-X）5X5

当X>0时，根据嘉函数的性质可知/（X）=/5在（0,+OO）上为减函数，

♦.•函数/（x）是奇函数，.•.在（-8,o）上也为减函数,

故其单调减区间为（-8,0）,（0,+8）.

【点评】本题考查了幕函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的加值，属中档题.

二.幕函数的图象（共4小题）

9.（2021秋•西岗区校级月考）幕函数y=x"及直线y=x,y=l,x=l将平面直角坐标系的第一象限分成

八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则暴函数v=N的图象经过的“卦限”是（）

JX

y

D.①，⑤

【分析】结合暴函数的五种形式，再代入》=工和x=2,验证即可.

2

【解答】解：取尸■得，尸得）万=。=率6

(0,1）,故在第⑤卦限;

再取x=2得，>=2万=&€（1.2）,故在第①卦限,

故选：D.

【点评】本题考查基函数的图象，考查对函数图象的分析和理解，属于基础题.

10.（2021秋•凉山州期末）如图，①②③④对应四个暴函数的图像，其中①对应的基函数是（）

A.y=/B.x2C.y—xD.8

*vJ=A

【分析】由题意，根据①对应的寻函数图象是上凸型的，故有塞指数ae（0,1）,从而得出结论.

【解答】解：由于①对应的基函数图象是上凸型的，故有幕指数ae（0,1）,

故选：D.

【点评】本题主要考查基函数的图象特征，属于基础题.

11.（2021秋•大连期末）已知幕函数了=/与y=）的部分图象如图所示，直线x=/»2,x=m（0</«<1）

与丫=/，y=/分别交于A，B,C,。四点，且|43|=|C£>|,则/+/=（）

A.AB.1C.V2D.2

2

【分析】表示出|AB|,|C£>|,由幕函数的图象可得匕从而得(w2)a>(/M2)b,ma>mb,再由1ABi

=|C0|,代入化简计算能求出结果.

【解答】解：由题意，\AB\=(疡)。-(机2)bt\CD\=nf.mbt

根据图象可知b>\>a>0,

2

当OVfflVl时,(OT)0>(〃？)b,ma>mbt

V|AB|=|CD|>'.n?a-nrb=(ma+mb)(ma-mb'),

'Ctrf1-mb>0,.,.ma+mb=1.

故选:B.

【点评】本题考查寻函数的运算，考查幕函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2!

12.(2021秋•西固区校级期末)已知基函数/(x)=(/«-1)xm-4nH-3(weR)在(0,+°°)上单调递

增.

(1)求加的值;

(2)求函数g(x)=-卬f2(x)+4x-1在［0,2］上的最大值.

【分析】(1)直接利用基函数的定义建立方程组，求函数基函数的关系式；

(2)利用(1)的函数的关系式，进一步利用二次函数的对称轴和区间的关系，求出函数的最大值.

2z

【解答】解：(1)基函数/(x)=(w-1)xm-4n^3(wGR)在(0,+<«)上单调递增.

故/2=1,

m2-4m+3^0

解得：，"=0.

故：f(x)=J?;

(2)由于/(x)=?.

2

所以：函数g(x)=-A/f(x)+4x-1,

=-7+4x-l=-(x-2)2+3,

函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为x=2.

所以g(x)在［0,2］上的最大值为g(2)=3.

【点评】本题考查的知识要点：基函数的定义的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力

和转化能力，属于基础题型.

三.幕函数的性质(共9小题)

13.(2022•黑龙江开学)下列关于幕函数丫=L的命题中正确的有()

A.基函数图象都通过点(0,0),(1,1)

B.当基指数a=l,3,7时，辱函数y=#的图象都经过第一、三象限

C.当基指数a=l,3,-1时，幕函数y=A«是增函数

D.若a<0,则函数图象不通过点(0,0),(1,1)

【分析】由基函数的图象与性质逐一分析四个选项得答案.

【解答】解：对于4,为基函数，其图象不过(0,0),故A错误；

对于8,幕函数y=x,y=^,y=x”都经过第一•、三象限，故8正确；

对于C,当基指数a=l,3时，哥函数>=档是增函数，当基指数a=-l时，基函数y=#不是单调函数,

有两个减区间，为(-8,0),(0,+8),故C错误；

对于。，若a<0,则函数图象不通过点(0,0),但通过点(1,I),故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查幕函数的图象与性质，是基础题.

14.（2021秋•遵义期末）“m=l”是“寻函数fG）=（川一3〃?+3）P"在（0,+~）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据幕函数的定义求出机的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.

【解答】解：若/（x）为需函数，则序-3，W+3=1,解得力=1或机=2,

都满足/G）在（0,+8）上单调递增，

故=1”是“塞函数『（X）在（0,+8）上单调递增”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查哥函数的定义，是基础题.

1

2

15.（2021秋•威宁县期末）若累函数f（x）=（a-4a-4）在（0,+~）上单调递增，则a=（）

A.1B.6C.2D.-1

【分析】由题意，利用事函数的定义和性质，求得。的值.

1

【解答】解：：基函数f（*）=（22-42-4）*下&在（0,+8）上单调递增，

.,.a2-4a-4-1,且一包＞0,

2

求得a=-1,

故选：D.

【点评】本题主要考查基函数的定义和性质，属于基础题.

16.（2021秋•虎林市校级期末）已知塞函数/（x）=在区间（0,+°°）上是减函数，则a

的值为（）

A.3B.-1C.-3D.1

【分析】由题意利用幕函数的性质，求得a的值.

【解答】解：•幕函数/CO=（/-2a-2”f在区间（0,+8）上是减函数，

."2-24-2=1,且aVO,求得a=-l,

故选：B.

【点评】本题主要考查基函数的性质，属于基础题.

17.（2022秋•凉州区校级月考）愚函数/（x）=（%2+2%-2）在区间（0,+~）上单调递减，则实数相

的值为-3.

【分析】利用募函数的定义与性质列出不等式组，求解即可.

【解答】解：•.•幕函数f(x)=(m2+2m-2)在区间(0,+~)上单调递减，

f9

....m+2m-2=l,.“-3,

m<0

故答案为：-3.

【点评】本题考查了黑函数的定义与性质，是基础题.

18.(2022•河南开学)已知基函数f但)="2-31[1+3)乂N《"语为奇函数.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若f(a+1)</(3-2a),求a的取值范围.

【分析】(1)由己知结合事函数的定义及性质可求；

(2)结合函数的单调性即可求解.

【解答】解：(1)由题意得，〃2-3〃什3=1且1112曲4为奇数，

22

解得m=\或m=2,

经检验〃?=1符合题意，

3

所以f(JC)=x；

(2)由(1)得f(x)在R上单调递增，

由)(a+D<f(3-2a)得a+l<3-2a,

解得a<2，

3

故a的取值范围为{a|a<2}.

3

【点评】本题主要考查了幕函数的定义及性质的应用，属于基础题.

19.(2021秋•高州市期末)已知嘉函数/(x)=(相-1)2”2-4,时2在(0,+8)上单调递增，函数g(x)

=2x-k.

(1)求"7的值；

(2)当炉[1,2)时，记/(x),g(x)的值域分别为集合4,B,设p：xGA,q：xEBf若p是4成立的必

要条件，求实数k的取值范围.

【分析】(1)根据幕函数的定义求出机的值，根据函数的单调性确定相的值即可；

(2)分别求出A,B,根据集合的包含关系求出A的取值范围即可.

【解答】解：(1)由基函数的定义，得解得m=0或机=2,

当加=2时，f(x)=/2在(0,+8)上单调递减，与题设矛盾，舍去，

当帆=0时，f(x)=f在(0,+8)上单调递增，符合题意，

综上，可知〃?=0.

(2)由(1),得f(x)=?,

当去”,2)时，f(x)6[1,4),BPA=[l,4),

当疣[1,2)时，g(x)G[2-k,4-Jt),BPB=[2-k,4-k),

由p是q成立的必要条件，则8UA,显然8r0,

则解得OWE,

I4-k44

所以实数k的取值范围为[0，1].

【点评】本题考查了塞函数的定义，函数的单调性，考查集合的包含关系以及转化思想，是中档题.

20.(2021秋•武汉期末)已知哥函数,f(x)=(加2-5〃?+7)Z,+l(meR)为奇函数.

(1)求f8)的值；

(2)若f(2a-1)>f(a),求代数式a4^支的最小值.

a-1

【分析】(1)利用幕函数的定义，列出方程，求出，〃的值，然后由幕函数的奇偶性，确定，"的值，得到了

(x)的解析式，即可得到答案；

(2)利用了(X)的单调性去掉“尸，求出”的取值范围，然后利用基本不等式求解最值即可.

【解答】解：(1)函数/(x)=(〃/-5，〃+7)/"I为幕函数，

所以“2-5〃?+7=1,解得〃?=2或m=3,

因为函数/G)为奇函数，

所以m=2,

则f(x)=?，

所以f得)=皮)3=/

(2)函数/(x)=/为R上的单调递增函数，

不等式/(2a-1)>f(a),等价于24-1>小解得a>l,

则a+，=a-l++1>2\/(a-1)*+1=5'

a-1a-1Va-1

当且仅当a-卜勺，即a=3时取等号，

所以代数式的最小值为5.

【点评】本题考查了基函数图象与性质的理解与应用，函数单调性的应用，函数与不等式的综合应用，利

用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.

21.(2021秋•营口期末)幕函数/(x)=”是偶函数,

(I)求〃?的值，写出/G)解析式；

(II)g(x)=于(x)+ln(x+4)+ln(4-x).

(i)判断g(x)的奇偶性，并用定义证明；

(ii)指出g(x)的单调递减区间(无需证明)，并解关于实数f的不等式g(r)<g(1-f).

【分析】(I)由题意，利用幕函数的定义和性质，求出加的值，可得f(x)解析式.

(II)(i)先求出函数的定义域，再根据数的奇偶性的定义，从而得出结论.

(ii)写出g(x)的单调递减区间，并利用函数的奇偶性和单调性，解关于实数t的不等式g(/)<g(1

-f),求出r的范围.

【解答】解：(I)由f(x)=(m2-//z-5)/是基函数，可得序-,“-5=1,解得〃z=-2或3；

因为f(x)还是偶函数，所以“=-2,/(%)=/2.

(II)(i)'：g(x)=f(x)+ln(x+4)+ln(4-x)是偶函数，

%卉0

...满足,x+4>0,

4-x>0

解得-4<x<4,xWO,

g(x)定义域为(-4,0)U(0,4).

；g(x)—x2+ln(16-/),g(-x)=(-x)2+ln(16-(-x)2)—x2+ln(16-(-x)2)—x~+ln

(16-x2)=g(x),

：.g(x)是偶函数.

(ii)单调递减区间为(0,4),

因为g(x)为偶函数，g(?)<g(1-r)可化为g(|r|)<g(|1T),

由g(x)在(0,4)单调递减可得加>|1-t\,

又由g(x)定义域为(-4,0)U(0,4),

’0<|t|<4

可得，0<|1-t|<4,

It|>|l-t|

解得且'WL

...不等式的解集为(/,1)U(1,4).

【点评】本题主要考查某函数的定义和性质，函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题.

四.事函数的单调性、奇偶性及其应用(共5小题)

£2_J_

22.(2021秋•南岗区校级期末)已知，b=45，c=25,，则()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

_£2_2L2.

【分析】。=2§=£，6=4耳，。=25于=55，结合事函数的单调性，可比较小b,C,进而得到答案.

4_2_

【解答】解：・・・〃=2'=£，

2_2±±

h=2^2^

2_2_4_

c=253=5,>屋=2?="'

综上可得：b<a<c,

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，累函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度

中档.

m~~2

32

23.(2021秋•渝中区校级期末)“机2+4机=0”是“基函数f(X)=(m-m-20m+l)x亍为偶函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由题意利用基函数的定义和性质，求得基函数/(x)中，〃的值，解，/+4〃?=0,求得,"值，利用

充要条件的定义即可判断答案.

m-2

【解答】••«f(x)=(m3_m2_20m+1)x—为偶函数，

：.m3-m2-20〃?+1=1,且三2为偶数，

3

求得m=-4,

由他2+4m=0,解得加=0或-4,

m-2

故由“混+4"=0"不能推出"基函数f(x)=(m3-m2-20m+l)x亍为偶函数。

m-2

32

由“事函数f(x)=(m-m-20m+l)X-为偶函数”能够推出“渥+4，W=0"，

m-2

32

故“川+而尸。”是“幕函数f(X)=(m-m-20m+l)x~为偶函数”的必要不充分条件，

故选:B.

【点评】本题主要考查幕函数的定义和性质，充要条件的判断，属于基础题.

24.(2021秋•成都期末)对于函数/(%)定义域中任意的M,X2,当o〈x,<xc〈生时，总有①

122

(、

fX,)-f(x?)._X,+x9f(xj)+f(X)

--------------------->0:②f(-V^)>2,都成立，则满足条件的函数y=/（x）可以是

xl-x222

()

A.y=10'B.y=lgxC.y=j?D.y=cos2x

【分析】根据题意，分析可得满足题意的函数在区间（0,―）上递增，且图象增加变换越来越慢，由此

2

分析选项可得答案.

【解答】解：根据题意，满足题意的函数在区间（0,三）上递增，且图象增加变换越来越慢,

2

据此分析选项:

对于A，y=10*是指数函数，在（0,―）上递增，但图象增加变换越来越快，不符合题意;

2

对于By=lgx,是对数函数，在（0,—）上递增，且图象增加变换越来越慢，符合题意；

2

对于C,y=/,是二次函数，在（0,2L）上递增，但图象增加变换越来越快，不符合题意;

2

对于。，y=cos2x,若xe(0,—1,),则2隹（0,IT）,则区间（0,2L）上递减，不符合题意,

22

故选:B.

【点评】本题考查函数单调性的性质，涉及函数变化趋势的分析,属于基础题.

221.

25.（2022春•丽江期末）若@二（稣b吗汽c呜"则。、b、C的大小关系是（）

A.B.c«bC.b<c<aD.b<ci<c

2_2_

【分析】由了=*5在第一象限内是增函数，知a=/）3〉b=（1）3.由y吗「是减函数，知

21

a=/）3<c=g）3.由此可知“、b、c的大小关系.

2_

【解答】解:在第一象限内是增函数,

jA

22

a=(y)3>b=()3,

*'y=是减函数，

21

a=(y)3<c=/)九

所以b<a<c.

故选：D.

【点评】本题考查指数函数和暴函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性.

26.（2021秋・12月份月考）已知暴函数y=xmJ2nr3（皿6N*）的图象关于V轴对称，且在（°，+8）上是

mm

减函数，求满足（a+l）^<（3-2a的实数。的取值范围.

【分析】基函数的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数.则必须满足a为偶数且a<0,

mm

则易得〃?的值.再根据暴函数的单调性，求满足（a+i）了<（3.2a）号的。的取值范围.

【解答】解：•••函数在（0,+8）上递减，

・••机2-2m-3<0即-又

・,・机=1或2,又函数图象关于y轴对称，

-2m-3为偶函数，故m=\为所求.

1

工函数y=x可在R上为增函数，

mm

二（a+l）3<（3-2a）3等价于心a+l,

3

故a的取值范围为（-8,2）.

3

【点评】基函数y=/,a<0时则为减函数；a>0时，幕函数为增函数.要注意a的不同，其定义域是不

同的.解不等式时要注意.

五.分段函数的应用（共4小题）

Z

ox-2x〉n

27.（2022秋•辽宁月考）已知函数/（x）满足f（x）='，若/（a）>/（-a）,则实数a的

2-2-x,x<0

取值范围是（）

A.（-1,0）U（0,1）B.（-1,0）U（1,+8）

C.（-8,-1）U（1,+8）D.（-8,-1）U（0,1）

【分析】判断函数的奇偶性，结合图像即可求解结论.

2x-2,x>0

【解答】解：；函数/（x）满足f（X）

2-2-x,x<0

作出函数/(x)的图像，看出函数/(x)为奇函数，且，(1)=0,/(-1)=0,

/(X)在(-8,0),(0,+°°)上都为增函数，

由/(“)>/(-«)=-7•(〃)，得到4(4)>0,即/(“)>0,

由图像可得xe(-1,0)u(1,+8).

故选：B.

【点评】本题主要考查分段函数的性质以及函数奇偶性的应用，属于基础题.

28.(2022秋•武功县校级月考)解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三

角级数论都有重要贡献.以他名字命名的狄利克雷函数D(x)=11'x为有'中,以下结论错误的是

0,X为无理数，

()

A.D(V2)<D(1)

B.函数(x)不是周期函数

C.D(。(%))=1

D.函数y=D(x)在(-8,+CO)上不是单调函数

【分析】根据已知条件，结合狄利克雷的定义，即可依次求解.

【解答】解：D(V2)=0.D(1)=1,

则。(V2)<£>(1)，故A正确，

对于8,对于任意非零有理数T,若x为任意有理数，

则x+T也为有理数，

所以D(x+T)=D(x)=1,

若x为任意无理数，

则x+T也为无理数，D(x+D=D(x)=0,

所以任意非零有理数r,x为实数，都有。(x+T)=D(x),即有理数T为函数的周期，故8错误，

对于C,当x为有理数时，D(D(x))=D(1)=1,当x为无理数时，D(D(x))=D(0)=1,

故(x))=1,故C正确,

对于。，对于任意xi，X2CR,且xi〈x2，

若XI，也都为有理数或都为无理数，

则D(XI)=D(X2),

若xi为有理数，X2为无理数，

则D(制)=1>O(%2)=0，

若为为无理数，X2为有理数，

则D(xi)=0<£>(X2)=1,

故函数(x)在(-8,+8)上不是单调函数，故。正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查分段函数的定义，考查转化能力，属于中档题.

29.(2022秋•武功县校级月考)已知函数/(x)=x\m-x\(x€R),且/(4)=0.

(1)求实数〃?的值；

(2)作出函数的f(x)图象，并根据图象指出了(X)的单调递增区间和单调递减区间.

【分析】(1)根据已知条件，结合/(4)=0,即可求解.

(2)结合(1)求出/(x)的分段函数，画出函数图象，结合图象，即可求解.

【解答】解：(1)V/(x)=x\m-x\(xeR),且/(4)=0,

•*.4|m-4|=0,解得，*=4.

(2)由(1)可知，机=4,代入函数f(x)的解析式可得，/(x)=x\4-x\=l

X2-4X,x>4

从图象上可得，函数的单调增区间为(-8,团和［4,+8),单调递减区间为(2,4).

【点评】本题主要考查分段函数的应用，属于中档题.

-x2+2ax+l,x》2a

30.(2022秋•香洲区校级月考)已知函数f(x)匚

x?-2ax+l,x<2a

(1)当。=1时，求函数y=/(x)的零点；

(2)当aE(0,Q求函数y=/(x)在回，2］上的最大值；

(3)对于给定的正数a,有一个最大的正数7(a),使T(a)］时，都有(x)|<1,试求出这个正

数TCa)的表达式.

【分析】(1)求出a=l时的解析式，分别在x22和x<2时，令/(x)=0,解方程可得函数的零点；

(2)分析解析式可知最大值在/(1),f(2),f(2a)中取，分别讨论0<2aWl,a<l<2.<2和lWa<2

<2”时，函数的最值情况即可；

(3)由x>0时，函数的最大值为1,将问题转化为在给定区间内/G)恒成立，分情况讨论即可.

-X2+2X+1,X>2,

【解答】解：(1)«=1时，/(%)=，

X2-2X+1,X<2

当x22时，令-7+2x+l=0,解得x=l+^；

当xV2时，令7-2x+l=0,解得x=l,

故