微专题18 小船过河问题-2025版高中物理微专题

微专题18小船过河问题【核心要点提示】小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．(3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝eq\f(d,v1)(d为河宽)．②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝eq\f(v2,v1).③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cosα＝eq\f(v1,v2)，最短航程：s短＝eq\f(d,cosα)＝eq\f(v2,v1)d.【微专题训练】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq\x\to(OA)＝eq\x\to(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为()A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙C．t甲>t乙 D．无法确定解析：选C设水速为v0，人在静水中的速度为v，eq\x\to(OA)＝eq\x\to(OB)＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝eq\f(x,v＋v0)；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝eq\f(x,v－v0)。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝eq\f(x,v＋v0)＋eq\f(x,v－v0)＝eq\f(2vx,v2－v02)。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝eq\r(v2－v02)，故乙所用时间t乙＝eq\f(2x,v′)＝eq\f(2x,\r(v2－v02))。eq\f(t甲,t乙)＝eq\f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正确。一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则()A．船渡河的最短时间75sB．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5m/s【解析】当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(300,4)s＝75s，故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5m/s，故D错误．【答案】A【巩固习题】1.(2014·四川·4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A.eq\f(kv,\r(k2－1))B.eq\f(v,\r(1－k2))C.eq\f(kv,\r(1－k2))D.eq\f(v,\r(k2－1))【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝eq\f(d,v0)，回程渡河所用时间t2＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,0)－v2)).由题知eq\f(t1,t2)＝k，联立以上各式得v0＝eq\f(v,\r(1－k2))，选项B正确，选项A、C、D错误．【答案】B2.一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时t1.当发生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直河岸渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，水速是船相对于静水的速度大小的一半)()A.eq\r(2)t1B．2t1C.eq\r(3)t1D.eq\f(2\r(3),3)t1【解析】设河宽为L，船相对于静水的速度为v，则河水不流动时，船垂直渡河时间：t1＝eq\f(L,v).当河水速度为eq\f(v,2)时，要垂直河岸渡河，则有：v′＝eq\r(v2－\f(v,2)2)＝eq\f(\r(3),2)v，船垂直渡河时间：t2＝eq\f(L,v′)＝eq\f(L,\f(\r(3),2)v)＝eq\f(2,\r(3))·eq\f(L,v)＝eq\f(2\r(3),3)t1，选项D正确．【答案】D3.如图所示，船从A点开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4m/s，则船从A点开出的最小速度为()A．2m/s B．2.4m/sC．3m/s D．3.5m/s解析：选B设水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，船沿AB方向航行时，运动的分解如图所示，当v2与AB垂直时，v2最小，v2min＝v1sin37°＝2.4m/s，选项B正确。【答案】B4.如图所示，河的宽度为L，河水流速为v水，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列判断正确的是()A．甲船正好也在A点靠岸B．甲船在A点左侧靠岸C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇D．甲、乙两船到达对岸的时间相等答案BD解析甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t＝eq\f(L,vsin60°)，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则有v水＝vcos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos60°＋v水)eq\f(L,vsin60°)＝eq\f(2,3)eq\r(3)L<2L，甲船在A点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A、C错误，B、D正确。5.(多选)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则()A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5m/s解析：要使船以最短时间过河，船头应始终与河岸垂直，tmin＝eq\f(d,v船)＝100s，选项A错误，B正确；船的轨迹由合速度确定，因v船⊥v水，v水发生变化，则合速度的大小和方向均发生变化，轨迹是曲线，选项C错误；vm＝eq\r(42＋32)m/s＝5m/s，选项D正确。答案：BD6.(2016·辽宁辽阳市高三质检)小河宽为d，河水中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离成正比，v水＝kx，k＝eq\f(4v0,d)，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，则下列说法中正确的是()A．小船渡河时的轨迹为直线B．小船渡河时的轨迹为曲线C．小船到达距河对岸eq\f(d,4)处，船的渡河速度为eq\r(2)v0D．小船到达距河对岸eq\f(3d,4)处，船的渡河速度为eq\r(10)v0【解析】小船在沿河岸方向上做变速直线运动，在垂直于河岸方向上做匀速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故B正确，A错误；小船到达距河对岸eq\f(d,4)处，水流速为v水＝keq\f(d,4)＝v0，则v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,0))＝eq\r(2)v0。故C正确；小船到达距河对岸eq\f(3d,4)处，水流速为v水＝eq\f(4v0,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(3d,4)))＝v0，则船的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,0))＝eq\r(2)v0，故D错误。【答案】BC7.(多选)如图7甲、乙所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定目标的最近距离OC＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则()A．运动员放箭处离目标的距离为eq\f(v1,v2)dB．运动员放箭处离目标的距离为eq\f(\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2)),v2)dC．箭射到固定目标的最短时间为eq\f(d,v2)D．箭射到固定目标的最短时间为eq\f(d,\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))【解析】联系“小船渡河模型”可知，射出的箭同