正弦函数、余弦函数的图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象第五章三角函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元4

三角函数的图象与性质图象是函数的直观表示,也是函数性质的集中体现.本单元系统学习正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质,也为后面进一步学习三角恒等变换打基础.本学习单元的最终目标是掌握三角函数的图象与性质,具体掌握“五点法”画出正、余弦函数的图象,并根据图象研究三角函数的性质,培养数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.本单元的研究路径为:正弦函数、余弦函数的图象——正弦函数、余弦函数的性质——正切函数的图象性质.这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:学习目标1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.(数学抽象)2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤与方法,能利用“五点法”画出简单的正弦、余弦函数图象.(直观想象)3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点一:正弦函数的图象1.正弦曲线正弦函数y=sin

x,x∈R的图象叫做正弦曲线.2.正弦函数图象的画法(1)几何法:①利用正弦线画出y=sin

x,x∈[0,2π]的图象;②将图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).(2)“五点法”:①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0),用光滑的曲线连接;②将所得图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).微思考用五点法画正弦函数图象,是用哪五个点?为什么用这五个点?知识点二:余弦函数的图象1.余弦曲线余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做余弦曲线.2.余弦函数图象的画法

名师点睛对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.微思考由于余弦函数图象可以看成是正弦函数图象向左平移

个单位之后形成,所以类比正弦函数,用五点法画图时,应取哪五个点?重难探究·能力素养速提升问题1函数的研究思路之一是根据定义画出函数图象,再结合图象研究性质.对于正弦函数来讲,可否根据其定义画出图象?问题2三角函数是描述周期现象的重要函数模型,借此,可否直观想象三角函数图象的整体特征,从而简化三角函数的作图过程?探究点一用“五点法”作三角函数的图象问题3作图的基本方式是列表、描点、连线.如何快速画出三角函数的图象?图象中的哪些点具有代表性?【例1】

用“五点法”作出下列函数的图象:(1)y=sin

x-1,x∈[0,2π];(2)y=1-cosx,x∈[-2π,2π].解(1)列表:描点、连线,如图.(2)列表:描点、连线,得到函数y=1-cos

x在区间[0,2π]上的图象,再将该图象向左平移2π个单位长度即可得到函数在区间[-2π,2π]上的图象,如图.规律方法

用“五点法”画函数y=Asin

x+b(A≠0)或y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤(1)列表:x0π2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)yb(或A+b)A+b(或b)b(或-A+b)-A+b(或b)b(或A+b)(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:

,这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin

x+b(y=Acos

x+b)(A≠0)的图象.作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度.探究点二利用“图象变换法”作三角函数的图象问题4正弦、余弦函数的图象能通过描点画出,但对于正、余弦型的函数,仍这样画就显得非常麻烦,可否借助于基本的正、余弦函数图象通过变换得到?【例2】

利用图象变换法作出下列函数的图象:(1)y=1-cosx,x∈[0,2π];解

(1)作出函数y=cos

x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到函数y=-cos

x的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得函数y=1-cos

x的图象(如图1).图1(2)y=|cos(x+)|=|sin

x|,先作出函数y=sin

x在区间[0,4π]上的图象,再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象以x轴为对称轴翻折到上方,即得函数y=|sin

x|的图象(如图2实线部分).图2延伸探究在本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?解

y=sin|x|=为偶函数,首先作出函数y=sin

x,x∈[0,2π]的图象,再将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象,即得x∈[-2π,0]的部分.如图所示即为所求图象.规律方法

图象变换的规律(1)平移变换①函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;②函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.(2)对称变换①函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分关于x轴为对称轴翻折到x轴上方得到;②函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其关于y轴为对称轴翻折到y轴左侧得到;③函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;④函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;⑤函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.探究点三正弦(余弦)函数图象的应用问题5如何利用正、余弦函数的图象研究函数的定义域、值域,函数的性质等?问题6对于正、余弦函数的值域,试着从代数与几何两个角度思考,可以应用解决哪些问题?【例3】(1)函数

的定义域为

.

(2)在同一平面直角坐标系中,作函数y=sin

x和y=lg

x的图象,根据图象判断出方程sin

x=lg

x的解的个数.解

用五点法作出函数y=sin

x,x∈R的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg

x的图象,如图所示.由图象可知方程sin

x=lg

x的解有3个.规律方法

1.用三角函数图象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法(1)作出y=a,y=sin

x(或y=cos

x)的图象.(2)确定sin

x=a(或cos

x=a)的x值.(3)确定sin

x>a(或cos

x>a)的解集.2.利用三角函数图象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法(1)找出使sin

x=a(或cos

x=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.学以致用·随堂检测促达标12345678910A级必备知识基础练1.用“五点法”画函数y=1+sinx的图象时,首先应描出五点的横坐标是(

)B12345678910A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移

个单位长度,得g(x)的图象D.向右平移

个单位长度,得g(x)的图象D123456789103.若sinx=2m+1且x∈R,则m的取值范围是

.

[-1,0]解析

因为sin

x∈[-1,1],所以-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.123456789104.函数

的定义域是

.

123456789105.利用正弦曲线,写出函数

的值域是

.

[1,2]123456789106.利用“五点法”画出函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的简图.解

(1)取值列表如下:(2)描点连线,图象如图所示:123456789107.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为(

)C12345678910解析

作出函数y=sin

x和y=cos

x在(0,2π)内的图象,∵sin

x>cos

x,∴函数y=sin

x的图象在函数y=cos

x的图象上方的区间就是sin

x>cos

x的解集,即为

.故选C.12345678910C1234567891012345678910B级关键能力提升练9.(多选题)下列说法正确的是(

)A.y=sin|x|的图象与y=sinx的图象关于y轴对称B.y=cos(-x)的图象与y=cos|x|的图象相同C.y=sin|x|的图象与y=sin(-x)的图象关于x轴对称D.y=cosx的图象与y=cos(-x)的图象相同BD解析

对于A,y=sin|x|是偶函数,而y=sin

x为奇函数,故y=sin|x|与y=sin

x的图象不关于y轴对称,故A错误;对于B,y=cos(-x)=cos

x,y=cos|x|=cos

x,故两图象相同,故B正确;