高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题五 第三讲 空间向量与立体几何 理

专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何一、选择题1．以下命题中，不正确的命题个数为()A．0B．1C．2解析：由向量的和运算知①正确．∵a，b，c为空间一个基底，则a，b，c为两两不共线的非零向量．不妨假设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0.∵a、b、c两两不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝0,1－y＝0,x＋y＝0))，不存在实数x、y使假设成立，故②正确．③中若加入x＋y＋z＝1则结论正确，故③错误．答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1答案：A∴∠DBC是锐角．同理可证∠DCB，∠BDC都是锐角．∴△BCD是锐角三角形．答案：B4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF是A1D、AC的公垂线C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，答案：D5.(·山东烟台)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为()A.150°B．45°C．60°D．120°答案：C二、填空题答案：3a＋3b－7.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,8.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BC－DE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所在角的大小等于________．答案：90°9.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和ACA1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．,解析：分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，,∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，答案：平行三、解答题10.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2eq\r(3)，AA1＝eq\r(3)，AD⊥DC，AC⊥BD，E为垂足．(1)求证：BD⊥A1C(2)求二面角A1－BD－C1的大小；(3)求异面直线AD与BC1所成角的余弦．解：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1∵A1A⊥底面ABCD∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C(2)如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．连结A1E、C1E、A1C1，与(1)同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角；由A1(2,0，eq\r(3))，C1(0,2eq\r(3)，eq\r(3))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，11．(·山东，19)如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2eq\r(2)，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P－ACDE的体积．解：(1)证明：在△ABC中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝2eq\r(2)，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝8，因此AC＝2eq\r(2).故BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90°.又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，所以CD⊥PA，CD⊥AC.又PA、AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.(2)解法一：因为△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2eq\r(2)，因此PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝4.又AB∥CD.所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．由于CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(2)，所以PC＝4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离．所以B到平面PCD的距离为h＝2.设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(h,PB)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6).解法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2eq\r(2)，又AC＝2eq\r(2)，因此A(0,0,0)，B(2eq\r(2)，0,0)，C(0,2eq\r(2)，0)，P(0，0,2eq\r(2))，因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，故CD＝AE·sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，所以D(－eq\r(2)，2eq\r(2)，0)．因为eq\o(CP,\s\up6(→))＝(0，－2eq\r(2)，2eq\r(2))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0,0)，设m=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则m·eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，m·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，解得x＝0，y＝z，取y=1，得m=（0，1，1），又eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，0,2eq\r(2))，设θ表示向量eq\o(BP,\s\up6(→))与平面PCD的法向量m所成的角，因此直线PB与平面PCD所成的角为eq\f(π,6).(3)因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，故CD＝AE·sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，ED＝AC－AE·cos45°＝2eq\r(2)－2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，所以S四边形ACDE＝eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\r(2)＝3.PA⊥平面ABCDE.∴VP－ACDE＝eq\f(1,3)×3×2eq\r(2)＝2eq\r(2).12．(·福建)如图圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1，棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设AB＝AA1.在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p(ⅰ)当点C在圆周上运动时，求p的最大值；(ⅱ)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°<θ≤90°)．当p取最大值时，求cosθ的值．解：解法一：(1)证明：∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC.又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝eq\f(1,2)AC·BC·2r＝AC·BC·r.又∵AC2＋BC2＝AB2＝4r2，∴AC·BC≤eq\f(AC2＋BC2,2)＝2r2，当且仅当AC＝BC＝eq\r(2)r时等号成立．从而，V1≤2r3.而圆柱的体积V＝πr2·2r＝2πr3，故p＝eq\f(V1,V)≤eq\f(2r3,2πr3)＝eq\f(1,π)，当且仅当AC＝BC＝eq\r(2)r，即OC⊥AB时等号成立．所以，p的最大值等于eq\f(1,π).(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，OC⊥AB.于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz(如图)，则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r，2r)．∵BC⊥平面A1ACC1，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(r，－r,0)是平面A1ACC1的一个法向量．设平面B1OC的法向量n＝(x，y，z)，取z＝1，得平面B1OC的一个法向量为n＝(0，－2,1)．解法二：(1)同解法一．(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1＝eq\f(1,2)AC·BC·2r＝AC·BC·r.设∠BAC＝α(0°<α<90°)，则AC＝ABcosα＝2rcosα，BC＝ABsinα＝2rsinα，由于AC·BC＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，当且仅当sin2α＝1即α＝45°时等号成立．故V1≤2r3.而圆柱的体积V＝πr2·2r＝2πr3，故p＝eq\f(V1,V)≤eq\f(2r3,2πr3)＝eq\f(1,π)，当且仅当sin2α＝1即α＝4