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文档简介

4.4.1方程的根与函数的零点第4章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.结合学过的函数图象,了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.(数学抽象、直观想象)2.了解函数的零点与方程解的关系,能借助函数图象判断零点个数.(数学抽象、直观想象)3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.(逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习情境导入请观察右图,这是气象局测得的某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被不小心擦掉了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?知识梳理知识点一:函数的零点1.二次函数的零点:一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函数y=ax2+bx+c的零点,也就是该函数图象与x轴交点的横坐标.2.方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.微练习函数f(x)=x2-1的零点是(

)A.(±1,0)

B.(1,0)C.0 D.±1答案

D解析

解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.知识点二:零点存在定理一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0,则存在点x0∈(a,b),使得f(x0)=0.要点笔记定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f(a)·f(b)<0.两个条件缺一不可.微思考若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)·f(b)<0吗?提示

不一定,如函数f(x)=|x|在区间(-1,1)内有零点0,但是f(-1)f(1)>0.微练习函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(

)A.[-2,-1]

B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]答案

B解析

因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.课堂篇探究学习探究一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.反思感悟

1.因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解

由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.探究二函数零点个数的判断例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.(3)(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.反思感悟

判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等实数解的个数就是函数f(x)零点的个数.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.变式训练2(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) (2)函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)B

(2)B解析

(1)由题知,函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数解,即Δ=4-4a<0,解得a>1,故选B.(2)函数对应的方程为ln

x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln

x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).由图象知,函数y=3-x2与y=ln

x的图象只有一个交点,即方程ln

x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln

x+x2-3有一个零点.探究三判断函数的零点所在的大致区间例3(1)函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间为(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)(2)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值:x123456y113-35-4811.5-5.67.8则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

)A.2个 B.3个

C.4个 D.5个答案

(1)B

(2)C解析

(1)f(1)=2-6<0,f(2)=4+ln

2-6<0,f(3)=6+ln

3-6>0,f(4)=8+ln

4-6>0,f(2)f(3)<0,则f(x)的零点所在区间为(2,3).故选B.(2)由零点存在定理可知,连续函数y=f(x)在(1,2),(3,4),(4,5),(5,6)上至少各有一个零点.故选C.反思感悟

1.若函数连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数零点存在定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的区间的端点建立不等式求参数的取值范围.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若能直接解方程,则求出根后判断,若不能够解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点存在定理转化为求函数的零点.3.函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.变式训练3若函数f(x)=x2--1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

A探究四已知零点个数求参数的取值范围例4(2021江苏无锡期末)已知函数f(x)=若函数F(x)=2(f(x))2-mf(x),且函数F(x)有6个零点,则非零实数m的取值范围是(

)A.(-2,0)∪(0,16)B.(2,16)C.[2,16)D.(-2,0)∪(0,+∞)答案

C反思感悟

已知函数有零点(方程有根)求参数的方法(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的图象易画出],在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.变式训练4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是

.

答案

(1,+∞)解析

函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).素养形成函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用典例

关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正解和一个负解;(2)方程的两个解都大于1.解

令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图1,2所示.(2)当方程的两个解都大于1时,f(x)对应的草图可能如图3,4所示.方法点睛若二次方程的根(或二次函数的零点)在一个区间上,则要考虑二次方程(或二次函数对应的方程)判别式Δ≥0,方程相对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号(求解此类问题可以画出相应的函数图象求解).当堂检测1.(2021吉林农安期末)函数f(x)=2x+3x的零点所在的区间为(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-2,-1) D.(1,2)答案

A解析

∵函数f(x)=2x+3x是R上的连续函数,且单调递增,f(-1)=2-1+3×(-1)=-2.5<0,f(0)=20+0=1>0,∴f(-1)f(0)<0.∴f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(-1,0).故选A.2.若函数f(x)=x2+(m-3)x+m的零点都在(0,+∞)

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