高中数学必修一集合经典题型总结高分

慧诚教化2017年秋季中学数学讲义

必修一第一章复习

学问点一集合的概念

1.集合

一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象构成的集合（或集），通

常用大写拉丁字母4B,。，…来表示.

2.元素

构成集合的叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.

3.空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为。.

学问点二集合与元素的关系

1.属于

假如a是集合力的元素，就说集合4记作.

2.不属于

假如a不是集合力中的元素，就说集合4记作.

学问点三集合的特性与分类

1.集合元素的特性

2.集合的分类

⑴有限集：含有元素的集合.

⑵无限集：含有元素的集合.

3.常用数集与符号表示

非负整数集（自然整数实数

名称

数集）集集

符号NN*或N+ZQR

学问点四集合的表示方法

1.列举法

把集合的元素，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.

学问点五集合与集合的关系

1.子集与真子集

\图形语言

定义符号语言

（图）

假如集合力中的元素都

是集合8中的元素，我们

子集就说这两个集合有包含（或）

关系，称集合4为集合6

的子集

假如集合4G8但存在

真子

元素，且，我们称集合/（或）

集

是集合5的真子集

2.子集的性质

（1）规定：空集是的子集，也就是说，对随意集合4都有.

（2）任何一个集合4都是它本身的子集，即.

⑶假如£8,C,则.

（4）假如G,则.

3.集合相等

\符号语图形图言

定义

言（图）

假如集合力是集合6

的子集C4U8）,且，此

集合相时，集合4与集合6

A=B

等中的元素是一样的，因

此，集合力与集合8

相等

4.集合相等的性质

假如短占，比4则1=8；反之，.

学问点六集合的运算

1.交集

自然语言符号语言图形语言

由

组成的集合，称为4

与8的交集

2.并集

自然语言符号语言图形语言

由

组成的集合，称为AUB=

/与8的并集

3.交集与并集的性质

交集的运算性质并集的运算性质

AHB=AUB=

AQ0—”0=

AQB^AUB=

4.全集

在探讨集合与集合之间的关系时，假如一个集合含有我们所探讨问题中涉与的，则就称这个

集合为全集，通常记作.

5.补集

对于一个集合4由全集〃中的全部元素组成的集

文字语言

合称为集合4相对于全集〃的补集，记作

符号语言[=

图形语言

典例精讲

题型一推断能否构成集合

1.在“①高一数学中的难题；②全部的正三角形；③方程V—2=0的实数解”中，能够构

成集合的是_____』

题型二验证元素是否是集合的元素

1、已知集合A=卜卜=帆2—a2,相WZ,"Wz}.

求证：（1）3eA；

（2）偶数42（e）不属于A.

1

2、集合A是由形如m+y/3n(m&Z,neZ）的数构成的，推断是不是集合A中的元素.

2-V3

题型三求集合

1.方程组的解集是（）

B.{x,=3且y=-7}

C.{3,-7}D.{(x,0=3且夕=-7}

2.下列六种表示法：①{*=-1,y=2}；②{(x,y)=—l,y=2}；③{-1,2}；(4)(—1,2)；

⑤{(一1,2)}；

⑥{（x,力=-1或y=2}.

能表示方程组的解集的是（）

A.①②③④⑤⑥B.②③④⑤

C.②⑤D.②⑤⑥

3.数集/满意条件：若则GH（afl）.若G4求集合中的其他元素.

4.已知x,y,z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是机用列举法表示集合M

为—

题型四利用集合中元素的性质求参数

1.已知集合5=仿，b,c}中的三个元素是△的三边长，则△肯定不是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

2.设a,Z?GR,集合{1,a+b,a}=,贝!j6—a=.

3.已知々{2Vx<〃，xWN,AWR},若集合户中恰有3个元素，则实数〃的取值范围是.

4.已知集合［={2—3才+2=0}.

(1)若力是单元素集合，求集合4

(2)若4中至少有一个元素，求a的取值范围.

5.已知集合力是由0,加，/—3/计2三个元素组成的集合，且2G4则实数力的值为()

A.2B.3

C.0或3D.0或2或3

6.(2016•浙江镇海检测)已知集合［是由0,加，病一3勿+2三个元素构成的集合，且2W4

则实数H1-.

题型五推断集合间的关系

1、设加=卜|x=g+；,左wZ•,N={x|x=：+g,keZ■,则M与N的关系正确的是()

A.B.MuN

工

C.MnND.以上都不对

5t

2.推断下列集合间的关系：

(l)J={-3>2},6={2x—520}；

(2)4={xe—1WK3},B={=,y^A}.

3.已知集合必={=〃+,/eZ},A—{=—,〃eZ},P={=+,pGZ},试确定肱N,P

之间的关系.

题型六求子集个数

1.已知集合/=『+2x+a=0,aWR},若集合4有且仅有2个子集，则a的取值构成的集

合为.

题型七利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合力={1,2,序},B={1,而,BQA,则加=.

2.已知集合［={1,2},6={-2=0},若限4则a的值不行能是()

A.0B.1

C.2D.3

3.设集合力={—2WxW5},8={+lWxW2»l}.

⑴若住4求实数力的取值范围；

⑵当xez时，求/的非空真子集个数；

(3)当xGR时，不存在元素x使矛£力与同时成立，求实数加的取值范围.

题型八集合间的基本运算

1.下面四个结论：①若aG(/U必，则aG/J；②若aGC4A£),贝!|aGC4U6)；③若a

£4且aG5,贝Uaean必；④若/U8=4则4A8=8.其中正确的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

2.已知集合"={-3<xW5},N={>3},则〃J/V=()

A.{>-3}B.{-3<xW5}

C.{3<xW5}D.{W5}

3.已知集合力={2,-3},集合8满意6n4=8,则符合条件的集合8的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

4.(2016•全国卷III理，1)设集合S={(x—2)0—3)20},7={〉0},则SA7=()

A.[2,3]B.(—8,2]U[3,+8)

C.[3,+°°)D.(0,2]U[3,+8)

5.下列关系式中，正确的个数为()

①(〃nA)CA；②(〃nA)C(MJA)；

③(VUA)GA4④若匹M贝脱

A.4B.3

C.2D.1

6.设〃={0,1,2,3},A=Ue2+=0},若[={1,2},则实数必=.

7.(2016•唐山一中月考试题)已知全集〃={W4},集合力={-2〈水3},8={—3忘启2},

求108,(0U8,AQ(「).

8.设全集〃={1,2,3,4,5},集合S与T都是〃的子集，满意SA7={2},([)07={4},([)A([)

={1,5}则有()

A.3Gs367B.3£S3e[

C.3e[,3GTD.3£1,3《

题型九依据集合运算的结果求参数

1.若集合[={2,4,x},8={2,*},且/U6={2,4,x},则x=.

2.已知集合/={-1WXV3},8={2x—4Nx—2}.

⑴求4r民

(2)若集合C={2x+a>0},满意8UC=0,求实数a的取值范围.

3.设4={2+8入=0},8=r+2(a+2)x+，-4=0},其中a^R.假如408=8,求实数a的

取值范围.

4.已知集合4=『++126=0}和8=1一+6=0},满意(])08={2},/n([)={4},〃=R,

求实数a,6的值.

5.〃={1,2},4=r++q=0},[={1},则p+<7=.

4.设全集〃=R，集合4={W1或x23},集合8={VxVA+l,4V2},且6c([)=。，则()

A.A<0B.k<2

C.0<k<2D.一\<k<2

6.已知集合/=/一+a2—19=0},8={2-5X+6=0},{2+2^r-8=0},摸索求a取何实

数时，C4A0*0与/nf=0同时成立.

题型十交集、并集、补集思想的应用

1.若三个方程1+4—4a+3=0,/+(a-l)x+a=0,/+2—2a=0至少有一个方程有实

数解，试求实数a的取值范围.

题型十一集合中的新定义问题

1.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.

(1)推断集合/={—1,1,2}是否为可倒数集；

(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.

2.集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P^Q={(a")GRbe0,则生。的子集个数为()

A.7B.12

C.32D.64

3.当月时，若且x+1阵4则称x为/的一个“孤立元素”，由[的全部孤

立元素组成的集合称为力的“孤星集”，若集合,"={0,1,3}的孤星集为〃，集合4={0,3,4}

的孤星集为M,则〃UM=()

A.{0,1,3,4}B.{114}

C.{1,3}D.{0,3}

4.设〃为全集，对集合X,Y定义运算“*”，於(才nD,对于随意集合％Y,Z,

则(翳Z)*Z=()

A.(zuX)nCB.(znX)uC

c.([u[)nzD.(「n[)uz

5.设数集/仁{WxW〃+},4{—WxWM,且弘/V都是集合{OW后1}的子集，假如把，

—a叫做集合{W后6}的“长度”，则集合"AN的“长度”的最小值是.

6.设48是两个非空集合，定义4与8的差集力-Q{W4且解历.

(1)试举出两个数集，求它们的差集；

(2)差集与6—4是否肯定相等？说明理由；

(3)已知/={>4},8={-6〈水6},求力一(力一而和8—(6一/).

学问点一函数的有关概念

学问点二两个函数相等的条件

1.定义域.

2.完全一样.

学问点三区间的概念与表示

1.一般区间的表示

设a,Z?GR,且a<6,规定如下：

定义名称符号数轴表示

_J____

闭区间ahx

A2.

{<KZ?}开区间abx

半开半闭区

_J------

{Wx<6}ahx

间

半开半闭区

-J___1—

{<xW6}ahx

间

2.特别区间的表示

定义R{*}{>a}Ha}{<a}

(­°°,+

符号a,+°°)la,+°°)(-8,a](一8,a)

OO)

学问点四函数的表示方法

函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法.

学问点五分段函数

假如函数y=F(x),依据自变量x在力中不同的取值范围，有着不同的，则称这样的

函数为分段函数.分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的，值域是各段值

域的.

学问点六映射的概念

设48是两个，假如按某一个确定的对应关系H使对于集合/中的，在集合6中都有确定

的元素y与之对应，则就称对应工月一8为从集合/到集合6的一个映射.

学问点七函数的单调性

1.增函数、减函数：设函数F(x)的定义域为/,假如对于定义域/内某个区间〃上的随意

两个自变量的值为，肉，当为〈尼时，都有则就说函数f(x)在区间〃上是增函

数；当水及时，都有则就说函数f(x)在区间〃上是减函数.

2.函数的单调性：若函数f(x)在区间〃上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有

(严格的)单调性，区间〃叫做f(x)的单调区间.

3.单调性的常见结论：若函数F(x),g(x)均为增(减)函数，则/'(x)+g(x)仍为增(减)函数;

若函数Ax)为增(减)函数，则一f(x)为减(增)函数；若函数Ax)为增(减)函数，且/'(x)>0,

则为减(增)函数.

学问点八函数的最大值、最小值

个值

最大值最小值

设函数y=Kx)的定义域为I,假如存在实数"满意

条件

(1)对于随意的xG/,都有(1)对于随意的都有

(2)存在加使得(2)存在照£L使得

结论材是函数y—f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值.

学问点九函数的奇偶性

1.函数奇偶性的概念

偶函数奇函数

对于函数f(x)的定义域内随意一个X,都有

条件

f(—x)=f(x)f(—X)=—f(x)

结论函数F(x)是偶函数函数F(x)是奇函数

2.性质

(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反.

(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为

奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数.

例1(2016年10月学考)函数/'(x)=(x—3)的定义域为()

A.{>-3}B.{>0}

C.{>3}D.{23}

例2(2016年4月学考)下列图象中，不行能成为函数y=f(x)图象的是()

例3已知函数f(x)=则f(f(3))=,/1(x)的单调递减区间是.

例4(2015年10月学考)已知函数f(x)=,g(x)=+l,其中a〉0,若f(x)与g(x)的图象

有两个不同的交点，则a的取值范围是.

例5已知函数/U)=满意对随意的为〈用都有F(xJ>/■(%),求a的取值范围.

例6(2016年4月学考改编)已知函数/1(>)=—.

(1)设g(x)=f(x+2),推断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数.

例7(2015年10月学考)已知函数/U)=++,aGR.

(D推断函数/'(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当水2时，证明：函数/'(x)在(0,1)上单调递减.

例8(2016年10月学考)设函数〃才)=的定义域为〃，其中水1.

(1)当a=-3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；

(2)若对于随意的xG0,2]n〃均有/成立，求实数A的取值范围.

一、选择题

1.函数/'(x)=+的定义域为()

A.(—3,0]B.(—3,1]

C.(-8,-3)U(-3,0]D.(-8,-3)U(-3,1]

2.下列四组函数中，表示同一个函数的是()

A.尸与y=

B.叶=()2与7=

C.尸•与y=

D.f(x)=x2—2x—l与=

3.若函数y=f(x)的定义域为4{-2WxW2}，值域为N={0WyW2}，则函数y=f(x)的

图象可能是()

4.已知f(x)是一次函数，且(x)]=x+2,则/'(x)等于()

A.x+1B.2x—1

C.-x+1D.x+1或一x-1

5.设集合4={0WxW6},8={0WJ<2},从力到8的对应法则f不是映射的是()

A.f：x-*y=xB.f：x-*y=x

C.f：x-*y=xD.f：x-*y=x

6.已知F(x)是奇函数,g(x)是偶函数，且F(—l)+g⑴=2,『⑴+g(—1)=4,则g⑴

等于(

A.4B.3C.2D.1

7.若函数尸+1在1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为()

A.2B.-2C.2或一2D.0

8.偶函数/'(x)(xGR)满意：r(4)=Al)=0,且在区间0,3]与3,+8)上分别递减和递增,

则不等式f(x)<0的解集为()

A.(—8,—4)U(4,+°0)

B.(-8,-4)U(-1,0)

C.(-4,-1)U(1,4)

D.(-8,-4)U(-1,0)U(1,4)

二、填空题

9.已知函数/<(x)=若f(a)=a,则实数a=.

10.设/'(x)=2++2是定义在1+a,1］上的偶函数，则/'(x)>0的解集为.

11.若关于x的不等式/—4x—a20在1,3］上恒成立，则实数a的取值范围为.

三、解答题

12.已知函数f(x)=的图象经过点(1,3),并且g(x)=(x)是偶函数.

⑴求函数中a、6的值；

(2)推断函数g(x)在区间(1,+8)上的单调性，并用单调性定义证明.

13.已知二次函数f(x)==2+2+6在区间2,3］上有最大值5,最小值2.

⑴求/'(x)的解析式；

⑵若力1,8(才)=”才)+在2,4］上为单调函数，求实数力的取值范围.

答案精析

学问条目排查

学问点一

1.确定的不同的全体

2.每个对象

学问点二

1.属于G

2.不属于在

学问点三

1.确定性互异性无序性

2.(1)有限个(2)无限个

3.正整数集有理数集

学问点四

1.一一列举出来

2.共同特征

学问点五

1.随意一个AQBaAx£B居力

ABBA

2.(1)任何集合。口力(2)/G/

(3)£。⑷1C

3.集合8是集合4的子集(住心

4.假如A=B,贝ljAQB,且医/

学问点六

1.属于集合/且属于集合6的全部元素{6/,且xG6}

2.全部属于集合4或属于集合8的元素{£/,或xG6}

3.BCABUAAA0AAB

4.全部元素U

5.不属于集合/[{6〃，且超⑷

题型分类示例

例1D

例2A,：A=B,：.2RB,则a=2.]

例3{4}

解析•••全集〃={2,3,4},集合力={2,3},...[二⑷.

例4A'：A^B=A,：.AQB.

•.3={1,2},B={1,m,3},

/.m=2,故选A.]

例5B由8中不等式变形得

(x—2)(x+4)>0,

解得K一4或x〉2,

即8=(—8,—4)U(2,+°°).

,.3=—2,3],

.•.4U8=(-8,-4)U-2,+8).

故选B.]

例6C图中的阴影部分是"HP的子集，

不属于集合S,属于集合s的补集，即是[的子集，则阴影部分所表示的集合是(〃n乃n[,

故选c.]

例7A/={1W3*W81}

={0WxW4},

B={2(/—z)>l}=1一x>2}

={<-1或x>2},

.•.4A8={2<xW4}=(2,4].]

考点专项训练

1.B•集合/={1W后5},Z为整数集，

则集合力nZ={l,2,3,4,5}.

二集合力nz中元素的个数是5,

故选B.]

2.C由*-5矛+620,解得x>3或xW2.

又集合/={-IWXWI},：.AQB,

故选C.]

3.D4

5.A。=■(2,4,5,7},/A([)={3,4,5}A⑵4,5,7}={4,5},故选A.]

6.A因为全集〃={-1,1,3},

集合力={a+2,a+2},且[={-1},

所以1,3是集合力中的元素，

所以或

由得a——l.

由得a无解，

所以a——l,故选A.]

7.DA={2-8^+15=0}={3,5},

,医4，8=0或⑶或⑸，

若8=0时，a=0；

若B=⑶，则a=；

若8={5},贝Ua=.

故a=或或0,故选D.]

8.D,集合/={2216}={W-4或x24},

B={而,且4U8=4.,.BQA,

:.m4—4或勿24,

二实数加的取值范围是

(—8,—4]U4,+°°),故选D.]

9.{1,2}

10.01

解析A—{1,a},a){x—b)=0,

解得x=0或a或b,

若A=B,则a=0,b—1.

11.4

解析全集〃={x@-2WxW4}={-2,-1,0,1,2,3,4},/={-1,0,1,2,3},C={-2,4},

,医C,则集合8=。,{-2},⑷，{—2,4},

因此满意条件的集合8的个数是4.

12.1,+8)

解析由f一水0,解得0<木1,

."=(0,1).

•.,6=(0,a)(a>0),AUB,

13.3,+8)

解析由一2|<a,可得2—水水2+a(a〉0),

.,“=(2—a,2+a)(a〉0).

由*—2x—3<0,解得一1<K3.

8=(—1,3).

•.,医4则解得a23.

答案精析

学问条目排查

学问点一

非空数集唯一确定从集合4到集合8{/'(必仁⑷

学问点二

1.相同

2.对应关系

学问点三

1.a,b\(a,6)a,6)(a,b\

学问点五

对应关系并集并集

学问点六

非空的集合随意一个元素x唯一

学问点八

/f(x0)=必f(xo)=财

题型分类示例

例1C

例2A当x=0时，有两个y值对应，故A不行能是函数y=F(x)的图象.]

例35-1,+8)

解析〃3)=3=—1,

.•.AA3))=A-l)=-l+2+4=5,

当xWl时，f^x)=­x~2x+\

=—(Z+1)2+5,

对称轴x=-1,

f(x)在一1,1]上递减，当X>1时，f(x)递减，

...f(x)在一1,+8)上递减.

例4(0,1)

解析由题意得F(x)=在平面直角坐标系内分别画出0<a<l,a=l,a>l时，函数/U),g(x)

的图象，

由图易得当F(x),g(x)的图象有两个交点时,

有解得0<3<1,

a的取值范围为0〈水1.

例5解由题意知，/'(X)为减函数，

.\0<a<l且a—3<0且a°2(a—3)X0+4a,

例6(1)解'：f(x)=~,

/.g(x)=F(x+2)=—,

'：g{—x)——

=-=g(x),

又•••g(x)的定义域为{W—l且xWl}，

，y=g(x)是偶函数.

⑵证明设为，为62,3)且xK%,

F(xJ—f(^)=(—)—(—)

=，

,•xx,在W2,3)且水质，

.'.Xi—x2<0,为+%—4>0,

(XLD(否一3)(及一1)(豆一3)>0,

综上得A*)—/■(泾)<0,

即f(.Xi)<f(X2),

函数/'(x)在2,3)上是增函数.

例7⑴解因为f(—x)=—F+

=-(++)

=—f{x),

又因为f(x)的定义域为{xWW—l且XW1},

所以函数f(x)为奇函数.

⑵证明任取X”X2w(0,1),设矛1〈及，

则f(x。—/1(%)=a(xi-x2)++

—(蜀-后)a---］

=(芯一用)a—｝.

因为O<JT1<^<1,

所以2(为口+1)>2,0<(-1)(-1X1,

所以>2>a,

所以a—<0.

又因为XL也<0,所以f(xi)>f(x2),

所以函数Ax)在(0,1)上单调递减.

例8解(1)单调递增区间是(一8,1］,单调递减区间是1,+8).

⑵当x=0时，不等式成立；

当x-0时，f(x)等价于

反.

设力(x)=^r(—11—a)

①当aW—1时，力(x)在(0,2］上单调递增，

所以0〈方(x)WA(2),

即0〈A(x)W2(1—a).

故kW.

②当一l<a<0时，力(x)在(0,］上单调递增，在，1］上单调递减，在1,2］上单调递增,

因为力(2)=2—2a2=力().

即0<力(x)W2(1—a).

故AW.

③当0Wa<l时，尔才)在(0,］上单调递增，

在，1—a)上单调递减，在(1—a,1］上单调递减，

在1,1+a)上单调递增，在(l+a,2］上单调递增，

所以2(1)W｛力(2),2()｝且力(x)N0.

因为2(2)=2—2a>=/?(),

所以一aW/?(x)W2—2a且力(x)#0.

当OWaV时，因为|2—2>|一，

所以AW；

当WaVl时，因为|2—2W