2022-2023学年福建省宁德市高二年级上册线上考试数学期末试题 解析版

2022-2023学年福建省宁德市高二上学期线上考试数学期末试题

★祝考试顺利★温馨提示：请将全部答案填写在答题卡上，拍照上传.

本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150

分.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.在等差数列｛4｝中，q+/+4=15,则此等差数列的前9项之和为（）

A.5B.27C.45D.90

2.、'x>l且y>2"是、'x+y>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线U£-1=1（〃>0g>0）的左、右焦点分别为6,E,过A作双曲线C的一

a~b~

条渐近线的垂线/，垂足为，，直线/与双曲线C的左支交于E点，且，恰为线段E8的

中点，则双曲线C的离心率为（）

A.&B.C.V3D.石

4.已知过点A（a,0）作曲线C:y=x・e*的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围

是（）

A.（-co,-4）U（0,+oo）B.（0,+00）

C.（-co,-1）U（1,+00）D.（-oo,-1）

5.过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱推所得到的几何体如

图所示，它的俯视图为（）

6.垛积术"（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、

元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛

等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的''菱草垛"：自上而下，第一层1件，以后每

一层比上一层多1件，最后一层是"件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货

物的单价是上一层单价的?若这堆货物总价是25-65G）万元，则〃的值为（）

A.7B.8C.9D.10

7.为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲

线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线AB与曲线CO）为某双曲线（离心率为

2）的一部分，曲线A3与曲线8中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C,点B与点

D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|=36cm,则|物=（）

8.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形

也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）.然后在较小的正三角形中，以

同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图

中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代.在边长为243的正三角形三边上，分别

取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中

共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为（）

B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分

9.已知无穷等差数列｛q｝的公差dwN*,且5,17,23是｛《,｝中的三项，则下列结论正

确的是（）

A的最大值是6B,2a2<as

C.。,一定是奇数D.137一定是数列｛4｝中的项

10.如图所示,棱长为I的正方体ABCO-ABCQ中，P为线段AB上的动点（不含端

点），则下列结论正确的是（）

A.平面QA/J■平面AAP

c.三棱锥A-qpc的体积为定值

11.若a>4>。，则下列不等式中正确的是（）

A.->^B.C.D.a2>b2

aba-bac+1c+1

12.已知函数y=/（x）的导函数尸r（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A./（A,）</（X2）B./（$）<〃9）

c.〃x）在区间（a,。）内有2个极值点

D.7（x）的图象在点x=0处的切线的斜率大于。

第n卷（非选择题共9。分）

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应

位置

13.在等比数列｛叫中，=1,4。=16,则4=.

14.圆工2+9+2》-2>-4=0被直线"ir—y+2"t+3=0所截得弦的最短长度为.

15.顶点在坐标原点，焦点为爪。，I）的抛物线上有一动点A,圆（x++（y-4尸=1上有

一动点M,则IAMI+IAFI的最小值等于,此时瑞等于

16.已知数列｛4｝满足4=1,a—“=3（neN）,若｛q｝为等差数列，则

生=若外=4,贝IJ数歹J」一；的前20项和为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.（本题10分）设数列｛q｝是等差数列，且公差为",若数列｛q｝中任意不同的两项之

和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

⑴若数列｛《,｝中，4=4,d=2,求证：数列｛4｝是“封闭数列”；

⑵若。“=2"-7,试判断数列｛%｝是否为“封闭数列”，并说明理由.

18.（本题12分）已知数列｛%｝中,«,=1,%=三”

a〃十。

⑴求证：是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）若不等式3.八（2〃-7乂3"-1）对于〃€四恒成立，求实数兄的最小值.

19.（本题12分）如图，四棱锥P-ABC。中,底面ABC。为矩形，2，平面ABC。，E

为PD的中点.

（1）证明：P8//平面AEC；

（2）若43=1,AD=2,AP=2,求二面角。-AE-C的平面角的余弦值.

20.（本题12分）为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2021年举行促销活动,经调

查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足

x=4-含（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021

年生产该产品的固定投入为6万元，每生产I万件该产品需要再投入12万元，厂家将

每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的L5倍（产品成本包括固定投入和再投入

两部分）.

（1）将该厂家2021年该产品的利润），万元表示为年促销费用，万元的函数；

（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

22

21.体题12分）已知椭圆C：，+2=1（心方>0）的焦距为2班,且椭圆过点户（%A）,

直线/与圆。：/+>2=1相切，且与椭圆C相交于A,8两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求三角形OA8面积的取值范围.

22.（本题12分）设4（玉,〃玉））,网天,〃々））是函数/（x）=g+k）g2（六）的图象上的任

意两点.

（1）当%+/=1时，求/（%）+〃%）的值;

(3)对应(2)中S，，，已知,其中“eN*,设T为数列｛叫的前〃项和，

求/3

参考答案：

1.C

【分析】根据已知求得3%,由此求得59.

【详解】依题意4+4+%=15,即3q+l2d=15,即3a5=15,

9

所以59=万(4+%)=9%=45.

故选：C

2.A

【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，"x>l且？>2”能否推出“x+y>3”,以及

“x+y>3”能否推出“x>l且y>2"，判断得到正确答案，

【详解】当x>l且y>2时，x+y>3成立，

反过来，当x+y>3时，例：x=4,y=(),不能推出x>l且y>2.

所以“X>1且y>2”是“X+y>3”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.

3.D

【分析】利用中位线关系求得再利用双曲线的定义，表示四环巴的三边，最

后根据勾股定理求双曲线的离心率.

【详解】连结E耳，因为点QH分别为£鸟和E鸟的中点，

所以。且

设点F2(c,0)到一条渐近线y=-x的距离d=/d=万，所以

ayja2+h2

EF2=2h,又EF?-EF\=2a,所以£耳=2/7—2a,

Rl环巴中，满足（26-2a）2+4〃=4c2,

整理为：b=2a,

双曲线的离心率e=£=J——=5/5.

故选：D

【点睛】本题考查双曲线的离心率，意在考查数形结合的思想，转化与化归的思想，属于中

档题型，本题的关犍是利用中位线得到班，％,和焦点到渐近线的距离等于b,这个结

论记住，做小题时可以直接使用.

4.A

2

【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程,化简为

整理得到方程x^-axo-a=O有两个解即可，△=层+4〃>0解出不等式即可.

【详解】设切点为&小声)，V=(x+l)e',.,3个=(%+1)-〃，则切线方程为：

y-/*=(为+1)-1。一天)，切线过点A(〃,0)代入得：+

2

Xo

a=―--即方程与2-or。-a=0有两个解，则有』="2+4«>0=。>0或。<-4.

x0+l

故答案为:A.

【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用

到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点

处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点

坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.

5.B

【分析】俯视观察图形即可知其俯视图为正方形，且含一条对角实线.

【详解】根据俯视图定义可知：从上向下看得到的是正方形，中间有一条对角线且为实线,

故选：B.

6.B

【分析】首先由题意列出总价的表达式，再利用错位相减法求和，最后解出〃值.

【详解】由题意，可知这堆货物的总价为S“，则

5,=l+2x*x(2+…+栩

两式相减可得：巳5"=1+卜+(1)+,"+[!)一""(I)

所以S,,=25-5(/+5)0,

25一65.图

当S,=25-5(”+5)时,

解得：“=8.

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的应用，错位相减法求和，考查了逻辑推理，抽象，概括能力，

数学计算能力，属于中档题型.

7.D

o2

【分析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，-工■=1(4>0),

a23a-

根据已知求得a,A点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.

【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系X。)，，

因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的方程为二一二=1(.>0),

a3a

22

依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的方程为三J=l.

1523xl52

因为|4卸=36cm，所以A的纵坐标为18.由二--J=1,得凶=3收，故|明=6折cm.

12)3X1D

8.A

【分析】记第〃个正三角形的边长为对,第〃+1个正三角形的边长为。,山，根据。,与。,山的

关系判断出｛4｝为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.

【详解】设第〃个正三角形的边长为。“，则〃+1个正三角形的边长为％…

由条件可知：4=243,

又由图形可知：吭=（卜“）+C-2xlanx|anxcosl20°T所以吮=ga；,a.>0,

所以乎=2,所以｛4｝是首项为243,公比为丧的等比数列，

所以q=243x，所以4"=|-7=>所以,

所以最小的正三角形的面积为：-x

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭

代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行

相关计算.

9.ABD

【分析】推导出d=—9—,d的最大值为6,ax<5,d^N\2a2-a,=ax-5d<Q,当机-〃=2

m-n

时，d=3,从而137一定是等差数列｛”“｝中的项.

【详解】因为无穷等差数列｛&｝的公差deN”,且5,17,23是｛《,｝中的三项,

\\1-5=n=md

所以设L«,，

[23-17=6=〃"

解得d=-9一,

m-n

所以d的最大值为6,故A正确；

因为q45,dwN*,

所以2%-4=4-5dW0,故B正确;

因为d=一口,所以m—〃=2时，d=3,数列可能为5,8,11,14,17,20,23,,故C错误；

m—n

因为137=23+19x6,

所以137一定是等差数列｛%｝中的项，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是运用等数列的基本知识，回到基本量上的计算.

10.ACD

【分析】A.易证明。平面AAP,得到面面垂直；B.转化

APDC]^(AAi+AiP)DC^AAtDCl+AtPDC],再求数量积；C.匕…汽=匕-印花,根据底

面积和高，判断体积是否是定值；D.由。GJ.平面ARP,判断线线是否垂直.

【详解】A.因为是正方体，所以RAJ•平面AAP,RAu平面RAP，所以平面A4PJ•平

面A4P，所以A正确；

B.APDC｝=(AAt+AiP)DC]=A4,DC；+4尸℃

=|A4,||DC,|COS45+1/4^11DC]Icos90=lx^x^=l,故Q•冗=1,故B不正确；

C.VVDi/)c=VP-w>8QC的面积是定值，AB〃平面8QC，点P在线段AB上的动点，

所以点P到平面8QC的距离是定值，所以9/«=%-的c是定值，故C正确；

D.OC,1AO,,DC,lA.fi,=所以。GJ■平面尸，"Pu平面ARP,所

以。Gl°p,故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考

查垂直关系，属于中档题型.

11.CD

【解析】利用作差法对左右两式进行大小比较，即可选出正确答案.

11b-a

【详解】A.———―------

abab

a>b>0fab>0,b-a<0,

即呆/故A不正确;

11_a-(a-h)_b

a-ba(^a-b)aa^a-b^

a>b>0,：.——-->0,

a-ba

所以一二＞—,故B不正确；

a-ba

a-b

>0,

c2+1c2+lc2+l

〃b

即寸百故C正确;

D.cT-b2=(a+/>)(a-/?)>0,

所以6＞62,故D正确.

故选：CD.

【点睛】方法点睛，客观题中判断不等式成立，常用方法:

（1）作差比较法；

（2）作商比较法;

（3）不等式性质.

12.ACD

【分析】根据导函数的正负可得/（x）单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可

知C正确；由/'（0）＞0可知D正确.

【详解】由图象可知：当xe（a，w）（七⑼时，/4冷＞0；当了«鼻,天）时，/'（x）＜0；

\/（x）在（。,天），（七力）上单调递增；在（马七）上单调递减；

对于A,A,＜X2＜X3，.,./（XI）＜/（X2）,A正确；

对于B,,々＜工，•'•/（&）＜/（七），B错误；

对于C,由极值点定义可知:为“X）的极大值点：x=x,为为/的极小值点,即

在区间（。⑼内有2个极值点，C正确；

对于D,当x=0时，附x）＞0,\f（x）在点x=0处的切线的斜率大于0,D正确.

故选：ACD.

13.4

【分析】设等比数列｛q｝的公比为q,由题意可知必和牝同号，结合等比中项的性质可求得

4的值.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,则4=牝/>0，

由等比中项的性质可得叱=/4。=16,因此，6=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查等比中项的计算，解题时不要忽略了对应项符号的判断，考查计算能力，

属于基础题.

14.2

【分析】首先确定直线所过定点；由圆的方程可确定圆心和半径，进而求得圆心到(-2,3)的

距离，由此可知所求最短长度为277万.

【详解】由〃吠-y+2利+3=0得：(x+2)m+(3-y)=0,•••直线恒过点(-2,3)；

(-2)2+32+2X(-2)-2X3-4=-1<0,，(-2,3)在圆内；

又圆的圆心为(一覃)，半径r=g,4+4+16=底,

圆心到点(—2,3)的距离d=7(-1+2)2+(1-3)2=亚,

.••所截得弦的最短长度为2户1=2.

故答案为：2.

15.45

【分析】首先根据抛物线定义的性质转化|AM|+|A尸|=|A"|+d,利用数形结合分析得到

|A例|+〃的最小值是圆心到直线y=T的距离减半径，再由属性集合分析得到点A的坐标，

从而得到|A渴F|的值.

【详解】根据抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d,

所以|4W|+|AF|=|4W|+4,

由图象可知|AM|+d的最小值是圆心到直线丫=-1的距离减半径，即5-1=4,

此时点A的横坐标是T,代入,得到点A的纵坐标卜

所|="=；-(-1)=；，|AAf|=4-^-l=^

IAFI5

所以画=TT

故答案为：4；

【点睛】本题考查抛物线，圆的综合问题，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题

的能力，本题的关键是抛物线的定义的转化，以及点与圆上的点连线最值的方法.

,5835

16.一##2.5----

22108

【分析】利用递推关系式，结合等差数列通项公式可求得公差"，进而得到〃2；利用递推关

系式可知数列｛4｝的奇数项和偶数项分别成等差数列，采用裂项相消的方法可求得前20项

和.

【详解】由。〃+2一。〃=3得：。3一4=。3-1=3,解得：%=4；

｛4｝为等差数列，设其公差为"，则2d=%-4=3,解得：cl：

15

.•.々2=4+4=—;

由“,”2-4=3知：数列｛4｝的奇数项是以4=1为首项，3为公差的等差数列；偶数项是以

%=4为首项，3为公差的等差数列;

又。21=1+10x3=31,%=4+10x3=34,

11111111

数列1-----卜的前20项和So=----+----+----+----+…+-----+-----

[4,4+2Ja4a6。19〃21。20〃22

11二835

五厂2108

故答案为：5；京

【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的项、裂项相消法求和的问题;

解题关键是能够根据递推关系式得到数列｛凡｝的奇数项和偶数项分别成等差数列，由此可通

过裂项相消的方法求得所求数列的和.

17.(1)证明见解析；(2)数列｛4｝不是“封闭数列”，理由见解析.

【分析】(1)首先根据条件求出数列｛为｝的通项公式，再根据“封闭数列”的定义证明即可;

(2)根据所给通项公式，先假定数列｛/｝是“封闭数列”，然后根据定义看是否满足题意即可..

【详解】（1）：4=4,d=2,an=4+2（rt-l）=2n+2,

.•.对任意的sjeN,s^t,有a8+a,=（2s+2）+（2f+2）=2（s+f+1）+2.

V5+Z+leN*,令0=s+r+l,则有ap=2p+2,

，4+q是数列｛%｝中的项.

•••数列｛q｝是“封闭数列

(2)数列｛q,｝不是“封闭数列”.理由如下：

•:a“=2n-7,

.•.对任意的sjeN*,s*t,a,+a,=2（s+r）-14,

若数列是“封闭数列”，则必存在正整数P,使得＜=4+4=2（s+f）-14=2p-7,

即s+r=〃+]7,从而“=”左端为正整数，右端不是正整数，从而矛盾.

故数列｛叫不是“封闭数列

2

18.⑴证明见解析；^,=--

3—1

⑵a

32

【分析】（1）由条件可得出+；=31一+从而可证，从而可得出｛。“｝的通项公式.

⑵将（1）中4的代入即得2向乂3"-1）对于〃eN*恒成立，设

/（〃）=7"77-•7，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案•

【详解】（1）由。向=气，可得；=审=1+：，即」~+4=3（，+4

勺+3-禺为«„+i2142）

（1]1113

所以工+彳是以一+：=：为首项，3为公比的等比数列，

U2Jq22

117V9

所以2-+±=2X3"T=3＞,所以勺=上一

a„222"3"-1

（2）不等式21）2（2〃-7乂3"-1）对于“eN*恒成立

+|

即2"x^—!.：2（2〃-7乂3"-1）对于“€1＜恒成立

2

即入岁:

对于〃eN*恒成立

设小）=竽

2n-52n-l9-2n

由/(«+1)-/(«)=

2〃+i2"2”+i

当“44时,/(»+1)-/(»)>0,即〃n+1)>〃〃)

当〃25时，/(n+l)-/(n)<0,即+

即/⑸>〃6)>/(7)>L

a

所以〃5)最大，/(n)</(5)=-

所以22点，故2的最小值为点

19.(1)见解析；(2)显

3

【分析】(1)连80,设8£>nAC=0,连E0,根据E是的中点，。为5。的中点，得到

EO//PB.再利用线面平行的判定定理证明.

(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

求得平面AEC的一个法向量=(x,y,z),又％=(1,0,0)为平面ZME的一个法向量，然后利

用公式cosd=求解

I«iI-In21

【详解】(1)如图所示：

连5。，SBDPiAC=O,连EO,

因为E是尸。的中点，。为BO的中点，

所以EO//P8.

又因为EOu平面AEC,P8cz平面AEC,

所以〃平面AEC；

(2)以4为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角

坐标系，

则。(0,2,0),£(0,1,1),AE=(0,l,l),C(l,2,0),AC=(1,2,0).

设4=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量，

%AC=x+2y=0

则

n}•AE=y+z=0

令z=l,则"=(2,7,1),

又%=(1,0,0)为平面D4E的一个法向量，

由向量的夹角公式，可得cose-4d

所以二面角3-AE-C的平面角的余弦值为".

3

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想

和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.

1Q

20.(1)y=27-——-f(r>0)；(2)该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家

2r+1

利润最大.

【分析】(1)根据题意，当f=0时，x=l,进而代入己知等式解出％,然后求出每件产品的

销售价格，最后得到函数的解析式；

(2)根据(1)中的式子，结合基本不等式即可得到答案.

k3

【详解】(1)由题意，当£=0时，x=l,贝ijl=4-?=欠=3,于是工=4-六「所以

12f+l

y=1.5-^^-x-(6+12x)-r=3+6x-z=3+6^4-^-j^-/=27-y^-r(r>0).

189I9

(2)由(1),y=27-----f=27.5-----+(r+0.5)<27.5-2,——.(f+0.5)=21.5,

2t+\]r+0.5'Vr+0.5'7

9

当且仅当-----=f+0.5nf=2.5时“=”成立.

r+0.5

所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

21.（1）—+^=1；（2）我

9432

【分析】（1）方法一，由条件可知2c-=2石，再将点尸代入椭圆方程，求得椭圆C的方程，

方法二，由条件求得焦点坐标，再根据椭圆的定义，求得2a,最后求％2=/一°2,求得椭

圆方程；（2）方法一，讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线¥=履+，”与

圆相切得到川=1+公，并利用根与系数的关系表示弦长，并得到三角形的面积，利用换元

法求面积的取值范围，法二，同法一表示三角形的面积，并通过构造换元，利用基本不等式

求面积的取值范围.

【详解】（1）解法1：2c=2非,。=逐

a2=b2+5

.16

59T

序+记-1

a2=9,b2=4

.,•椭圆方程二+反=1

94

（1）解法2:由已知得°=石,则焦点坐标为耳（-行,0）,工（石,0）

••々=3,：.b2=a2-c2=4

,椭圆方程三+廿=1

94

（2）解法1：⑴当直线/斜率不存在时，5-=当

y=kx+m

（ii）当直线/斜率存在时，设直线/方程为丫="+加，联立得:

(4+9k2)x2+18kmx+9m2-36=0

18km91—36

x+x=------,X]X,=-------A=144(9*2-m2+4)>0

[24+9k2''4+942

又直线/与圆。相切，即=1+k2

yjl+k2

.1An.12，1+公，9«2-布+4

川如------J79T-------

12J1+/J8/+3

4+9k2

.„1,.6川+/，8公+3

"=犷斗1=一石市一

令〃4则SA==|J—251+35〃+8,〃w(0,)

2

设g(〃)=-25«+35〃+8,〃w(0,/，则S&OAB=|jg(〃)

g(〃)=—25〃-+35%+8=—25(〃----)~H—,uG(0,-],

1044

二.g(0)<g(〃)<g(；),即8<g(〃)S答

「•SAOAB£(g亚,'!6]；

综上，由⑴和(ii)知，三角形OAB面积的取值范围为

4x/2

解法2：(i)当直线/斜率不存在时，S

404B—

y-kx+tn

(ii)当直线/斜率存在时，设直线/方程为丫="+机，联立,得:

-Z=1

9+4

(4+9k2)x2+1Skmx+9m2-36=0

18km9m2-36,,...,,八„

x+x,=----------7,xx,=----------,A=144(z9攵,2-w+4)>0

1-4+9公,-4+9公

又直线/与圆。相切，，*千=1，即病=1+6

12,1+公概J/+4

一|A/?|=

4+9A-

Nl+kY8k2+3

4+9/

6J1+/J8X+3

•1-SM)AB=^|AB|-I=

4+9小

_______6_______

68+k78k2+36g8k2+3

53=如年1=Jl+A]，8/+3

4+9公M+K)2+(j8F+3)2

+3-J\+k2

令"二^^，则“小占，"7收2近),“+》孚苧)

W4--

4L3L

综上，由⑴和(ii)知，三角形。3面积的取值范围为勺&3回.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求

法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，第二问的难点是换元后转化为

何种形式求函数的取值范围，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解

题的基本工具.

n

22.(1)1(2)Sn=^(3)证明见解析.

【分析】(1)由已知条件以及对数运算法则化简即可;

(2)利用倒序相加求和法得到结果；

(3)先化简，再放缩，最后根据裂项相消法求和，即证得不等式。

【详解】⑴A(^,/(%1)),8(孙〃々))是函数F(x)=；+log2(/J的图象上的任意两

点,

，V玉，x2e(O,l),且为+工2=1时,

/(%,)+/(X,)=^+log2—^—+^+log,

21-x,2I—x2

X/2

=1+log

(1—X|)(l—x2)

=1+log2

1一(%+式2)+中2

=l+log2l=l

1ii2n-\3