2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2.1两角和与差的三角函数2.1.3两角和与差的正切公式导学案湘教版必修第二册

2.1.3两角和与差的正切公式教材要点要点两角和与差的正切公式名称公式简记符号运用条件两角和的正切tan(α＋β)＝__________________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z两角差的正切tan(α－β)＝__________________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z状元随笔公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号改变规律可简记为“分子同，分母反”．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对随意的α，β角，都有tan(α±β)＝tanα(2)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(3)tanπ2+π3能依据公式tan(2．tan75°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋33．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A．711B．－C．713D．－4．若tanα+π4题型1给角求值例1(1)1-A．13B．33(2)求值：tan72°＋tan48°－3tan72°tan48°＝________．方法归纳(1)留意两角和与差的正切公式的特点，逆用公式求值．(2)第(1)小题用到了“1”的变换，即将常数1转化为tan45°，这种技巧在解三角函数问题中常常用到．跟踪训练1(1)1-A．33B．3C．tan6°D．(2)tan10题型2给值求值角度1干脆法求值例2已知cosα＝－55，α∈π2，A．13B．3C．－3D．－方法归纳由三角函数定义与同角三角函数的基本关系式求已知角的正切值，再运用两角和与差的正切公式求解．角度2拆角变换求值例3已知sinα＝12，α∈π2，π，且tan(α＋β)＝－跟踪训练2(1)以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P(2，4)，则tanθ-A．－3B．－13C．1(2)假如tan(α＋β)＝25，tanβ-π4＝A．1318B．1322C．3题型3已知三角函数值求角例4已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－方法归纳选取函数的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是0，π2跟踪训练3设α，β∈0，π2且tanα＝43，tanβ＝17易错辨析忽视条件中隐含的角的范围出错例5已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．解析：由题意知tan∴tanα＜0，tanβ＜0(*)又α，β∈(0，π)，∴α∈π2，π，∴α＋β∈(π，2π)，∴tan(α＋β)＝tanα+tan∴α＋β＝54易错警示易错缘由纠错心得忽视(*)这一隐含条件．一些隐含的制约条件不易被发觉，简单导致角的范围扩大．解答此类问题时肯定要细致挖掘题目中的隐含条件才能有效地避开失误．课堂非常钟1．tan525°＝()A．－2＋3B．－2－3C．2－3D．2＋32．若α，β∈0，π2且tanα＝12，tanβ＝13A．－17C．17D．3．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A．π3B．C．π6D．4．计算(1＋tan10°)(1＋tan35°)＝________．5．已知tan(α＋β)＝25，tanβ-π5＝2.1.3两角和与差的正切公式新知初探·课前预习要点tan[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)×2．解析：tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°+tan45°1答案：D3．解析：tan(α＋β)＝tanα+tanβ1答案：B4．解析：tanα+π4＝tanα+1答案：3题型探究·课堂解透例1解析：(1)1-tan15°1+(2)由tan120°＝tan(72°＋48°)＝tan72°+整理得tan72°＋tan48°＝－3+所以tan72°＋tan48°－3tan72°tan48°＝－3.答案：(1)B(2)－3跟踪训练1解析：(1)tan27°+tan33°1-tan(2)因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.所以原式＝tan＝－3.答案：(1)A(2)－3例2解析：∵cosα＝－55，α∈π2，π∴tanα＝－2，tanπ4+α＝1+tanα答案：D例3解析：∵α∈π2，π，sin∴cosα＝－1-sin∴tanα＝－3∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan＝-3+3跟踪训练2解析：(1)由题意知：tanθ＝2，而tanθ-π4＝tanθ-(2)∵tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝∴tanα+π4＝tanα+β-β答案：(1)C(2)C例4解析：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan＝12-1又因为α∈(0，π)，而tanα>0，所以α∈0，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα+tan因为tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以β∈π所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝12>0，得α－β∈-π，-所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π跟踪训练3解析：∵α，β∈0，π2，∴α－又tanα＝43，tanβ＝1∴tan(α－β)＝tan＝43∵α－β∈-π所以α－β＝π4答案：π[课堂非常钟]1．解析：tan525°＝tan(360°＋165°)＝tan165°＝tan(180°－15°)＝－tan15°＝－tan(45°－30°)＝－tan45°-tan30答案：A2．解析：tan(α－β)＝tanα-tanβ1+答案：C3．解析：因为tan(A＋B)＝tanA故tan(A＋B)＋3＝tan＝tanA依据题意可知，tanA＋tanB＋3-3tanAtan故tan(A＋B)＋3＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝3，因为在三角形中0<C<π，故C＝π3答案：A4．解析：∵tan45°＝tan(10