沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题01相似三角形(重点)(原卷版+解析)

专题01相似三角形（重点）一、单选题1．下列四组线段中，是成比例线段的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cmC．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm2．下列命题中，正确的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似3．如图，中，是边上一点，添加下列条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．4．下列关于向量的说法中，不正确的是（

）A．B．如果，那么C．是非零向量，是单位向量，那么D．5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（

）A． B． C． D．7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（）A．2 B．3 C．3.5 D．48．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGDC．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．二、填空题11．已知，则＝_________12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为___．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．三、解答题19．已知线段a、b、c满足且．(1)求线段a、b、c的长；(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．（1）求证：；（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．（1）若BD=20，求BG的长；（2）求的值．23．如图，在中，于点，于点，．（1）求证：∽；（2）若，，求的长．24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．(1)求的值；(2)设，，请用向量、表示向量．25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．(1)求证：：(2)如果，求证：．27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长．（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cos∠ABC＝，求CB'的长；(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．专题01相似三角形（重点）一、单选题1．下列四组线段中，是成比例线段的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cmC．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm【答案】C【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．下列命题中，正确的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似【答案】A【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．3．如图，中，是边上一点，添加下列条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．【解析】解：A、∵，∴所以选项A不符合题意；B、∵，∴所以选项B不符合题意；C、∵，∴所以选项C不符合题意；D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．故选：D【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．4．下列关于向量的说法中，不正确的是（

）A．B．如果，那么C．是非零向量，是单位向量，那么D．【答案】C【分析】根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判断即可得出选项．【解析】解：A、，本选项正确,不符合题意；B、如果，则，选项正确,不符合题意；C、等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误,符合题意；D、，本选项正确,不符合题意．故选：C．【点睛】题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键．5．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解析】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴选项A、C、D不正确，选项B正确；故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．6．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【解析】解：，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．7．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【分析】根据AD是中线，得到，由G为△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以证明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.【解析】解：∵AD是中线，∴，∵G为△ABC的重心，∴，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，∴，∴，故选A.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGDC．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP【答案】A【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D选项不符合题意，∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，对于A选项不能得到两个三角形相似，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．【解析】解：∵交GA于点E，，，，，所以，A，B，D正确，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵=，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°，∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．二、填空题11．已知，则＝_________【答案】####【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可．【解析】解：∵，∴y＝x，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．掌握比例的性质是解题关键．12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．【答案】【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：，解得．故答案是：．【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．13．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．【答案】6【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,根据比例中项原则：c2＝ab，∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14．已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm．【答案】##【分析】根据黄金分割比为，根据PM为较长线段则，【解析】解：∵点P是线段MN上的黄金分割点，且，∴长线段PM的长为.故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键．15．如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．【答案】##【分析】由是的重心，推出，，求出，可得结论．【解析】解：∵G是的重心，∴，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题．16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．【答案】①③④【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确【解析】解：在△AEF和△ABC中∵，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，∴①正确；不正确，理由是：假设，∵△AEF≌△ABC∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，∴∠DAF=∠FAC，原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，∴②错误；∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，∴③正确；∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，∴∠EAD＝∠CAF，∵△ADE∽△FBD，∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．17．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为___．【答案】4cm【分析】设正方形的边长为xcm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案．【解析】解：设正方形的边长为xcm，∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴，∴＝，解得：x＝4，故答案为：4cm【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，列出方程．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．【答案】【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．【解析】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，在中，，根据翻折的性质，可得：，当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，故，若△BCE是等腰三角形，则，根据等腰三角形的三线合一的性质知，点为的中点，，，，，，，，即，解得：，，故答案是：．【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．三、解答题19．已知线段a、b、c满足且．(1)求线段a、b、c的长；(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；（2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得．（1）解：设，则，，，，，解得，则，，．（2）解：线段是线段、的比例中项，且，，，解得或（舍去），经检验，是所列分式方程的解，即线段的长为．【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．20．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．【答案】AD=4【分析】设AD=x，则，根据平行线分线段成比例定理可得关于x的方程，解方程即可求出答案．【解析】解：∵DE∥BC，∴，设AD=x，则，∴，解得：x=4或﹣4（舍去），即AD=4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．（1）求证：；（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD，再利用CD是斜边AB中线，可得CD=AD，证得∠A=∠ACD，从而∠CDE＝∠CAD，进而可以证明；（2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案．【解析】解（1）由题意：∵CE⊥CD，∴，又∵，∴∠CDE＝∠ACD，∵在中，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD，∴∠CDE＝∠CAD，∴．（2）∵AC＝8，BC＝6，∴利用勾股定理得：∵在中，CD是AB边上的中线，∴CD＝5，∵∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5，∴DE＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．（1）若BD=20，求BG的长；（2）求的值．【答案】(1)8;(2)【分析】（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.【解析】(1)

∵GF∥BC，∴，∵BD=20，，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.23．如图，在中，于点，于点，．（1）求证：∽；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）得到，由可得到结论；（2）根据相似三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可，则有，根据勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，于是可求出的长．【解析】解：（1）证明：点于点，于点，，，，；（2）解：，，，，，，，，,，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．24．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．(1)求的值；(2)设，，请用向量、表示向量．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，由，得，从而解决问题；（2）求出与的关系，以及与的关系，通过即可求解．(1)解：，，，，，设，则，，，(2)解：，，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面向量的加减运算法则，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．25．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF；（2）证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，∴，即，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴，即CF·FQ=AF·BQ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．26．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．(1)求证：：(2)如果，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等（2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论（1）∵，∴∵∴∵∴∴∵∴四边形AFCD是平行四边形∴∴∴（2）∵∴在中，∴∴∵，在与中∴∴∵∴【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点27．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长．（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到答案；（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；（2）由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴，∵，∴，∴，∵CD=AE，∴，∴CD=2；（3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，∴，∴，∴，∴，∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°∴，∴，，∴，∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．28．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB