第二章 实数压轴题考点训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

第二章实数压轴题考点训练评卷人得分一、单选题1．在实数，，0，，2.10010001，中，是无理数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】，0，2.10010001是有理数；，，是无理数．故选C．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）2．若二次根式有意义，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：二次根式有意义，，解得．故选C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大于等于0．3．估算值（

）A．在1到2之间 B．在2到3之间C．在3到4之间 D．在4到5之间【答案】A【分析】先估计的整数部分，然后即可判断的近似值．【详解】解：，故选A【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握无理数的估算是解题的关键．4．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个自然数的算术平方根是()．A．x＋1 B．x2＋1 C． D．【答案】D【详解】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是则它后面一个数的算术平方根是.故选D.5．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项错误；，故D选项正确，故选D.6．下列计算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的乘法运算法则、合并同类二次根式、二次根式的除法运算法则逐项判定即可．【详解】解：A、根据二次根式的乘法运算法则得，该项不符合题意；B、根据合并同类二次根式运算法则，知不能合并，该项符合题意；C、根据二次根式的除法运算法则得，该项不符合题意；D、根据合并同类二次根式运算法则，知，该项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次根式的相关运算，涉及到二次根式的乘法运算法则、合并同类二次根式、二次根式的除法运算法则，熟练掌握二次根式相关公式是解决问题的关键．7．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：（a+b＞0），如，那么3*（6*3）＝（）A．1 B．﹣3 C． D．2【答案】A【分析】根据定义，先求出6*3的值，然后求出3*（6*3）的值即可．【详解】解：∵（a+b＞0），∴3*（6*3）＝3*＝3*1＝＝1故选：A【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．8．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25 B．49 C．64 D．81【答案】B【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得：（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，解得x＝﹣2，所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，所以a＝72＝49．故答案为B．【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．化简：的结果是（）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式化简即可.【详解】故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.评卷人得分二、填空题11．设面积为5的正方形的边长为x，那么x=【答案】【详解】解：根据题意得x2=5，∴x=．故答案为．12．化简：＝；＝．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：==．故答案为，．【点睛】本题主要考查了运用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．13．的算术平方根是．【答案】3【分析】根据算术平方根的定义解答．【详解】＝|−9|＝9，则的算术平方根是＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．14．计算（﹣1）2005﹣|﹣2|+（﹣）﹣1﹣2sin60°的值为．【答案】﹣6【详解】试题分析：分别根据数的开方法则、负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．原式=﹣1﹣（2﹣）﹣3﹣2×=﹣1﹣2+﹣3﹣=﹣6．考点：(1)、实数的运算；(2)、负整数指数幂；(3)、特殊角的三角函数值．15．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“”，则的值为．【答案】【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．【详解】解：根据题意，∵“”，∴，，……，∴=====．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．16．将1、、、按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是.【答案】【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4个就是：，∴(5，4)与(9，4)表示的两数之积是：×=2．故答案为2．17．已知，则的值为．【答案】【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．【详解】解：∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．18．一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六秩数”．若，，记，则；若N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数，记，则的最大值与最小值的差为．【答案】6，8，4，3，【分析】根据题意用表示这个四位数，根据定义推出可能的值，计算比较出最大值和最小值，计算即可．【详解】设∵即整理得故根据题意N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数则满足，且是一个完全平方数∵是一个完全平方数故或当时，，根据进行推算：①，，此时，故若，，则若，，则若，，则若，，则的最大值与最小值的差为②，，此时，故若，，则若，，舍去若，，则若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，则若，，舍去若，，则的最大值与最小值的差为③，，此时，故，舍去④，，此时，故若，，则若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，则的最大值与最小值的差为⑤，，此时，故若，，则若，，则若，，则若，，则的最大值与最小值的差为⑥，，此时，故，舍去⑦，，此时，故，舍去当时，，根据进行推算：①，，此时，故若，，舍去若，，则若，，舍去若，，则若，，舍去的最大值与最小值的差为综上，的最大值与最小值的差为6，8，4，3，故答案为：；6，8，4，3，【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过且是一个完全平方数，结合进行推算，得到可能性的数值，计算．评卷人得分三、解答题19．计算：【答案】【分析】根据二次根式的乘方性质可得,一个数平方的算术平方根意义可得，立方根的定义可得,根据绝对值的性质化简绝对值可得:,然后再根据实数加减计算法则即可求解.【详解】解：原式==.【点睛】本题主要考查二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质.20．阅读材料：像（+）（）＝3，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；；解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得．（2）计算：2﹣；（3）观察下面的变形规律并解决问题．①＝﹣1，＝，＝，…，若n为正整数，请你猜想：＝．②计算：（+++…+）×（+1）．【答案】（1）3+，；（2）2﹣；（3）①﹣；②2019．【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3﹣的有理化因式，将分子、分母同时乘即可；（2）将该式分母有理化，然后化简即可；（3）①根据规律即可求出；②根据以上规律化简并求值即可.【详解】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）原式＝2﹣﹣2＝2﹣；（3）①＝﹣；②原式＝（﹣1++…+）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2020﹣1＝2019．【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化是解决此题的关键.21．计算（1）

（2）（3）

（4）（运用乘法公式简便计算）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1【分析】（1）利用单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方计算，再合并同类项；（2）利用多项式乘以多项式，平方差公式计算，再合并同类项；（3）分别计算各数，再作加减法；（4）先变形为，再利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）===；（2）==；（3）==；（4）===1【点睛】此题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小.【答案】+≥+【分析】化简（ab+ba）-（a+b）为(a+b)(a−b)2ab，再由a、b为正实数可得(a+b)(a−b)2ab≥0，从而得出结论．【详解】解：作差，得：（+）﹣（+）=（﹣）+（﹣）=+==∵a、b为正实数∴≥0∴+≥+【点睛】本题考查的知识点是不等式比大小，解题关键是利用作差法求解.23．（1）比较大小：①______；②______；③______．（填“＞”、“＜”或“=”）（2）观察上面的式子，请猜想与的大小关系，并说明理由．（其中，）【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解决此题．（2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解决此题．【详解】解：（1）①，，．故答案为：．②，，．故答案为：．③，，．故答案为：．（2），理由如下：，．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题的关键．24．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1）试化简和；（2）化简；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1），；（2）；（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1）故答案为：，；（2）原式；（3），，，即．．．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．25．阅读材料：求值：，解答：设，将等式两边同时乘2得：，将得：，即．请你类比此方法计算：．其中n为正整数【答案】（1）；（2）．【分析】设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；同理即可得到所求式子的值．【详解】解：设，将等式两边同时乘2得：，将下式减去上式得：，即，则；设，两边同时乘3得：，得：，即，则．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．26．材料一：对于一个四位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数为“和好数”．若和好数（，，，且a、b、c、d均为整数），规定将p的十位数字与百位数字之差的3倍记为，即．材料二：若一个数N等于另一个整数Z的平方，则称这个数N为完全平方数．(1)请判断3264，5342是否是“和好数”，并说明理由；如果是，请计算的值；(2)若正整数s，t都是“和好数”，其中，，（，，，，且m、n、x、y都是整数），当的值是一个完全平方数时，求满足条件的所有正整数s的值．【答案】(1)5342是“和好数”，理由见详解；3(2)4567【分析】（1）依据“和好数”的定义和G(p)的定义即可判断求解；（2）首先确定s、t的千位数、被位数、十位数和