2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示四个图标中，属于中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列说法正确的有(

)

①在83，π，−3.1415928，3中，共有2个无理数；

②若a=b，则a2=b2，它的逆命题是真命题；

③若A.① B.①② C.①③ D.②③3.已知a<b，则下列式子一定成立的是(

)A.a+3<b+2 B.−a4<−b4 4.下列变形是因式分解的是(

)A.x(x−1)=x2−x B.x2+4x+4=(x+2)5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是(

)A.120°B.180°

C.240°D.360°6.如果分式|x|−3x+3的值为0，那么x的值为(

)A.−3 B.3 C.−3或3 D.3或07.将一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG等于(

)A.64°

B.84°

C.72°

D.90°8.若函数y=2x和y=bx+3的图象如图所示，则关于x的不等式2x−bx≤3的解集是(

)A.x≥2

B.x≤1

C.x≤2

D.x≥19.如图，在△ABC中，∠A=28°，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.则∠EDF的度数是(

)A.62°

B.60°

C.52°

D.45°10.如图，将Rt△ABC沿BC方向平移4个单位长度得到Rt△EFG，EF与AC相交于点H，∠ACB=90°，AC=10，AH=4，则图中阴影部分的面积为(

)A.16

B.20

C.32

D.40二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.分解因式：x3−49x=______．12.已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b=______．13.定义运算aΔb=2a+1ab，如：1Δ2=2114.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=9，用尺规作图法构造∠CAB的平分线，交BC于点D，则CD的长为______．15.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，且AB=16，BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造平行四边形MDNE，则MN的最小值为______．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

(1)解方程：1−xx−1=x+2x2−2x+1；

(2)17.(本小题7分)

如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE=DF，AF=CE，依次连接点A，B，C，D.求证：四边形ABCD为平行四边形．18.(本小题7分)

如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,−4)，C(−1,−4)．

(1)画出将△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1；

(2)求证：19.(本小题9分)

笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”.某校计划购买A，B两种型号的“文房四宝”，其中每套B型号的价格比每套A型号的价格少30元，买10套A型号和20套B型号共用2400元．

(1)求每套A，B型号的“文房四宝”的价格；

(2)若该校需购进A，B两种型号的“文房四宝”共60套，总费用不超过4500元，要求购进B型号的数量不超过A型号数量的6倍，求购得以上工具的最低费用．20.(本小题9分)

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E，D是三角形外的两点，分别连接CE，CD，AD，BE，其中CE=CD，CE⊥CD．

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)如图2，BE交AD于点O，连接BD，F是BD的中点，分别连接AE，OF.若AE=AB，求BD与OF的数量关系．

21.(本小题9分)

阅读下面的材料，并解答问题．

把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”.例如：将分式x−3x2−1表示成部分分式，∵x−3x2−1=x−3(x+1)(x−1)，∴设x−3x2−1=ax+1+bx−1，接下来求a，b的值.去分母，得x−3=(a+b)x+(b−a)，∴a+b=1b−a=−3，解得a=2b=−1，∴x−3x2−1=2x+1+−122.(本小题12分)

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2．

(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______(直接列出等式即可)；

(2)若a+b+c=13，a2+b2+c2=57，求ab+ac+bc的值；

(3)如图23.(本小题12分)

综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．

(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′=15°，EC′⊥AB，BC=4+23，求EC的长；

(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.B

6.B

7.B

8.B

9.C

10.C

11.x(x+7)(x−7)

12.8

13.7

14.3215.816.解：(1)原方程去分母得：(x−1)2−x(x−1)=x+2，

整理得：x2−2x+1−x2+x=x+2，

即−x+1=x+2，

解得：x=−12，

检验：当x=−12时，(x−1)2≠0，

故原方程的解为x=−12；17.证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF，

∴∠BEO=∠DFO=90°，

在△BEO与△DFO中，

∠EOB=∠FOD,∠BEO=∠DFO,BE=DF,

∴△BEO≌△DFO(AAS)，

∴EO=FO，BO=DO，

又∵AF=CE，

∴AF−FO=CE−EO，

∴AO=CO，

又∵BO=DO，

∴四边形ABCD18.(1)解：如图，△A1B1C1即为所求．

(2)证明：∵△ABC绕点P(0,−3)旋转180°后得到的△A1B1C1，

∴AA1与CC1均经过点P，且均被点P平分．

由勾股定理得，AC2=22+19.解：(1)设每套A型号的价格是x元，则每套B型号的价格是(x−30)元，

则：10x+20(x−30)=2400，

解得：x=100，

∴x−30=70，

答：每套A型号的价格是100元，每套B型号的价格是70元；

(2)设购进B型号a套，则购进A型号(60−a)套，

则：100(60−a)+70a≤4500,a≤6(60−a),

解得：50≤a≤5137，

∴a的整数解为50，51．

当购进10套A型号“文房四宝”，50套B型号“文房四宝”，费用为：10×100+70×50=4500(元)；

当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”，费用=9×100+70×51=4470(元)；

∵4500>4470，

∴当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”时费用最低，最低费用是20.(1)证明：∵CE⊥CD，

∴∠DCE=90°．

∵∠ACB=90°，∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

在△ACD与△BCE中，

AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,

∴△ACD≌△BCE(SAS)；

(2)解：BD=2OF，理由如下：

如图2，连接DE，设BE交CD于点H，

由(1)得△ACD≌△BCE，

∴∠CDA=∠CEB，

∵∠DHO=∠CHE，

∴∠DOH=∠ECD=90°，

∵AE=AB，

∴EO=BO，

∴AD垂直平分BE，

∴DE=DB，

∵EO=BO，

∴点O是BE的中点，

又∵点F是BD的中点，

∴OF是△BED的中位线，

∴ED=2OF，

∴BD=2OF．21.（1）122.（1）a23.解：(1)由折叠知EC=EC，

∴∠EC′C=∠ECC′=15°，

∴∠BEC′=∠ECC′+∠ECC=30°，

∵EC⊥AB，

∴∠EC′B=90°，

∴BE=2BC．

由勾股定理得，EC′=BE2−(BC′)2=4(BC)2−(BC′)2=3BC