高中数学讲义微68 离心率问题

微专题68圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面

也体现了参数a,c之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式：e=£(其中c为圆锥曲线的半焦距)

a

(1)椭圆：ee(O,l)

(2)双曲线：ee(l,+oo)

2、圆锥曲线中aS,c的几何性质及联系

(1)椭圆:a2=b2+c2,

①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF、+PF2=2a

②2b：短轴长

③2c:椭圆的焦距

(2)双曲线：c2=b2+a2

①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：忸6一尸鸟|=2a

②2b：虚轴长

③2c:椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系(只需找

出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：

(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),

那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从

而可求解

(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用。，"c进

行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下儿个方面考虑：

(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围

有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的

范围就是求离心率范围的突破口

(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的

值域即可

(3)通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：ew(O,l),双

曲线：CG(l,+oo)

二、典型例题:

例1：设耳，鸟分别是椭圆c：［+方=1（。＞〃＞0）的左、右焦点，点尸在椭圆c上，线段

P月的中点在y轴上，若NP£B=30°，则椭圆的离心率为

@611

3氏6C

3-D.6-

思路：本题存在焦点三角形由线段P片的中点在y轴

上，。为片工中点可得PE〃y轴，从而「工工6月，又因为/「丹g=30°,则直角

三角形熊中，忱用：仍用：忻闾=2:1:6,且2a=|尸制+|Pg|,2c=忻用，所

以.e=-=—=—^^—=—

"a2a\PF］+\PF2\3

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意。为£8中点是一个隐含条件，如果图中存

在其它中点，则有可能与。搭配形成三角形的中位线。

22

例2：椭圆*■+方=1（0＜方＜2百）与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点耳，瑞，P

为它们的一个公共点，且/月「工=90,则椭圆的离心率为一

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设《玛=2c,在双曲线中，

~=~=^a:b:c=2-A:^,不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：

a2

4

PF}+PF2=46由双曲线定义可得:PF1一PF2=2a=-j=c,因为/［尸尼=90°,

.•・附「+附|2=402而附『+因卜”应当也

代人可得：48+16'=8c2nc=VT5:.e=—=

5a6

答案：—

6

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线

的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

X

例3：如图所示，已知双曲线一=1（4>/?>0）的右焦点为歹,过尸的直线/交双曲线

的渐近线于A,8两点，且直线/的倾斜角是渐近线Q4倾斜角的2倍，若赤=2%，则该

双曲线的离心率为（

37226

A.

~T~亍2

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,ac表

示，再寻找一个等量关系解出a,8,c的关系。双曲

线的渐近线方程为y=±2x,由直线/的倾斜

a

角是渐近线。4倾斜角的2倍可得：

2b

kOA=-^=-^^,确定直线I的方程为

°人.b2a2-b2

[2

a

Gc人

~~7（x-c）,与渐近线联立方程得

cr_b

y

2abc2abc

------ory=------

3a--b----'a'+b-

y

将AF=2FB转化为坐标语言，则以=一2%,即^abclabc

Aa2+b23a2—b?

2

a:b:c=6：1:2,从而e=—

3

答案：B

例4：设内，入分别为双曲线二一与=1（。>0/〉0）的左、右焦点，双曲线上存在一点尸使

Q-h~

9

得IP用+1尸石|=3"|1=则该双曲线的离心率为

PFX\\PF2

459

A.-B.-C.-D.3

334

思路：条件与焦半径相关，所以联想到归用一户或=2。，进而与

9

|「用+|尸石|=38|尸耳川尸鸟|=14。,找到联系，计算出a,b的比例，从而求得e

解：：忸用_|P引=2a

••.(|W|+|p闾丫-(归用-|p用)2=4|PK|.|P用

即9b2-4a2=9ab=>9b1-9ab-4a2=0

(b\bb1b4

.・.9巳一9•上一4=0解得：一二一(舍)或一=—

\a)aa3a3

c5

a:b:c=3:4:5:.e=—=—

a3

答案：B

x~v

例5：如图，在平面直角坐标系xO），中，4,4,，4,3,为椭圆一?+二=13>/?>0）的四个

a'b"

顶点，F为其右焦点,直线4员与直线与尸相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线

段OT的中点，则该椭圆的离心率为.

思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意

义，所以考虑将点的坐标用a,仇c进行表示，在利用条件求出离心。

首先直线4层,gF的方程含a,"c,联立方程后交点T的坐标可

用a,b,c进行表示（丁（必土,%±£）］）,则OT中点

<a-ca-cJ

M,再利用加点在椭圆上即可求出离心率e

a-c2（a-c）>

解：直线4鸟的方程为：二+2=1；

-ab

xv\bx—ay=—ab

直线37的方程为：-+^-=1,联立方程可得：\,

c-b［cy-bx=-be

解得：T（土〃（a+。））,

a-ca-c

则"（上，丝上。）在椭圆［+4=1（。>b>0）上，

a-c2（。-c）6r/r

c2(a+c)2

=l,c2+1Oac—3a2=0,/+1Oe—3=0

(a-c)~4(a—c)~

解得：e=2百—5

答案：e=2币-5

例6：已知F是双曲线=一二=1（a>0力>0）的左焦

ab

点，£是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若AABE

是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）

A.（l,+oo）B.（1,2）C.（1,1+V2）D.（2,1+0）

思路：从图中可观察到若AABE为锐南三角形，只需要NAEB为锐角。由对称性可得只需

乙4£尸€（0,；）即可。且均可用a,"c表示，|A目是通径的一半，得：|人尸|=①，

IAFlb2c2—a2c-a

|FE\=a+c,所以tan4ER=^_[=———?<1=>———-<1=>——<lne<2,

\FE\a[a+c)a\a+c)a

即eG(1,2)

答案：B

小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的

问题转变为边的比值问题

（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，E（a,O）,A-c,—,利用左越c（—1,0）即可求出

\a7

离心率

例7：已知椭圆「+2r=1（。＞人＞0）的左、.右焦点分别为

ab“

6（—c,0）,鸟（c,0），若椭圆上存在点尸使

a_c

则该椭圆的离心率的取值范围为

sin/P耳6sinZPF2F1

()

A.(0,72-1)D.(72-1,1)

思路：NP耳耳为焦点三角形/片耳的内角，且对边为焦半径仍居|,|p用，所以利

用正弦定理对等式变形：——-——=——-——=尹n/"£n=£再由

sin/尸耳工sinNPE耳sinZPFtF2a\PF2\a

2〃2

再利用焦半径的范围为（a-cM+c）可得（由于依

题意，尸非左右顶点，所以焦半径取不到边界值a-c,a+c）：

2a2a2-c1<2/ci2>~c2//—\

a-c<-----<。+c=>v=>,,解得ee夜—1,1

a+c2a2v/+2ac+c1e2+2e-l>0')

答案：D

22

例8：已知£,八是椭圆后：2+%=1（。＞匕＞0）的左右焦点，若椭圆上存在点P,使得

PFLPF则椭圆离心率的取值范围是（)

}2f、

A.判B.争C.喈D.

7

思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时,

/耳尸与达到最大值。所以若椭圆上存在P耳，夕工的点尸，则短轴顶点与焦点连线所成的

e

角6290",考虑该角与。力,。的关系，由椭圆对称性可知，ZOP7^=->45°,所以

tanZOPF--=—>1,c>b=>c2>b2=>c2>a2-c2进而，2,即/2

2\5O―P\bfa222

解得eZ冷，再由ee（0,l）可得ew争

7

思路二：由尸与J_2乙可得/F\PF?=90,进而想到焦点三角形F}PF2的面积：

Z/>/

b-tan^^=b~,另一方面：5^^=1-|yP|=c-|yP|,从而

0^PF2

,2

2所以%)£〔一>,可,即|%|=—<b=>b<c,

c-\yp\=b=>|yP|=一,因为P在椭圆上,

c

再同思路-可解得：寸乌］

27

思路三：PF11PF2可想到PFl-PF\=0,进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设

P（x,y），6（-c,0），6（c,0）,则有P6=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y)则

PF^PF^=x2+y2-c2=0,即P点一定在以。为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该

圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径八2匕时才可有交点，所以C2力，同思路一

可解得ee

注：本题对P在圆上也可由判定出P在以片居为直径的圆上，进而写出圆方程

思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为/+y2=。2,因为「在椭圆上，所以联

立圆和椭圆方程：+ay=ab代入消去x可得：b2（c2-y2）+a2y2^a2b2,整理

x2+y2=c?

A4A4

142

后可得：cy~=b=>y=—f由y£[—/?,〃]可得：）,=不=>c2〃，同思路一即可

解得：ee—,1

L2J

f4V2

答案：ee---,1

L2J

小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同

的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐

标方程用代数方式计算求解

22

例9：设点4,4分别为椭圆与+斗=1（。>人>0）的左右焦点，若在椭圆上存在异于点

a0

4,4的点P,使得POLPA,,其中。为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）

"O1k（°孝C.朋D.隹1,

思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P”，贝1P的横纵坐标分别位于

中，所以致力于计算尸的坐标，设「（/,%）,题目中4（。,0）,由可得P也在以

/\22

。%为直径的圆上。即x--+y2=—,所以联立方程：

k4

22

）=>1——7x-ar+/7=0,即—.-ax+b2-0,由已知可得

%22a~）6r

[-a-2-b—b2=1

11

0b2ab_,g

4（a,0）也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：ax0==2nx0=2，再根据

cc

1fV21

加9、°

%的范围可得：一〃<--<〃=>力2</n。2_。2<。2n/>—,解得ew——,1

212J

答案：D

小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一

交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标

2-)

ry~

例10:如图，已知双曲线f=1（。>0,6>0）上有一点A,它关于原点的对称点为8,

a

点F为双曲线的右焦点，且满足4口，3/，设，且aw[C],则该双曲线离

126

心率e的取值范围为（）y.

A.[V3,2+V3]B.[V2,V3+I]

C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]B..

思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义，AR_L尹6A/M为触（■角形，

^-\AB\=2\OF\=2c,结合NA5〃=a可得|AF|=2csina,忸F|=2c8sa,因为4,8关

于原点对称，所以|AF|即为8的左焦半径。所以有2a=忸用一同同=2c（cosa—sina）,

则e=%=----------=------\-----r-,即关于a的函数，在aw[C,工]求值域即

2acosa-sina伉（兀、126

V2cosa+一

I4）

可：

71715万ncos—V6-V21

a-\——G

4I4j-4-52

以ee^\/2,V3+1]

答案：B

三、历年好题精选

22

1、已知双曲线:-4=l（a>0力>0）,M,N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双

矿b-

曲线上的动点，直线PM,PN的斜率分别为4,内化此#0）,若网+间的最小值为1，

则双曲线的离心率为（）

3

A.0B.日BD.

c22

2、（2016,新余一中模拟）已知点A是抛物线尤2=4），的对称轴与准线的交点，点5为抛物

线的焦点，P在抛物线上且满足1H4|=〃7忸同，当用取最大值时，点P恰好在以A,8为焦

点的双曲线上，则双曲线的离心率为（)

…B•年。0八,

3、已知々，工分别是双曲线’-g=1（。＞人＞0）的左、右焦点，过点£且垂直于x轴的

直线与双曲线交于4,B两点，若AABK是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

（）

A.-l,+oo）B.（yy/^'+L+oo）C.+D.（'\/^+1,+8）

22

4、设6,K分别是双曲线*-斗=1（。＞0力＞0）的左右焦点，若双曲线左支上存在一点

ab

5、（2016四川高三第一次联考）椭圆，+方=1（。＞人＞0）和

圆V+y2=±+2c,（C为椭圆的半焦距）对任意fe［1,2］恒有四个交点，则椭圆的离心

127

率e的取值范围为（）

6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆［卜、

引切线AC,8。，设内层椭圆方程为*■+/=l（a＞力＞0）,外层

椭圆方程为-＞0+-7=1（。＞〃＞0,加＞1）若4。,3。的斜率之积为7,则椭圆的离

^tna）（mb）~16

心率为_______

7、（2015,新课标ID已知A,8为双曲线E的左右顶点，点"在E上，△43M为等腰三角

形，且顶角为12（T,则E的离心率为（)

A.亚氏2C.GD.V2

22

8、（2016,宜昌第一中学12月考）已知双曲线5■一方=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别

为月，鸟，点M在双曲线的左支上，且|“居|=1\MF\,则此双曲线离心率的最大值为（）

45c7

A.-B.—C.2D.一

333

22

rv

9、（2015,山东）平面直角坐标系X。），中，双曲线。1：=-4=1（。＞02＞0）的渐近线与

CT

抛物线G：f=20，（p＞O）交于点O,AB,若A04B的垂心为C2的焦点，则G离心率为

10、（2014,湖北）已知片，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且

7T

NF\PF[=三,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

4百2百°°

A.——B.——C.3D.2

33

尤2V2

11、（2014,浙江）设直线x—3y+m=0（mw0）与双曲线二-々=1（。＞0,。＞0）的

a~b

两条渐近线分别交于点A,B,若点P（m,0）满足I必|=|P6],则该双曲线的离心率

是_____

解得：

习题答案：

1、答案：B.

2222

解析：设M（p,q）,N（-p,-q）,P（s,t）,则勺一夕=L=一二=1，

a'b~a'b~

两式相减得：乌■二]

q-t

而同+网=・+更

则

2b=a,4h2=a2=>4c2-4a2=a2=>5a2=4c2=>e1=—=>e=

42

2、答案：A

解析：由抛物线方程可得：A（O,-1）,5（0,1）,过P作准线的垂线，垂足为所以

173Al1

\PB\=\PM\,所以加=--------，可知加取得最大值时，NRLW最小，数形结合

1111\PB\sinPAM

炉=今,即

可知当4F与抛物线相切时，44M最小。设=—1,联立方程＜

y=Ax-1

/-4"+4=0,则△=()=左=1,此时尸(2,1),则|巳4|=2血"目=2,所以

24=四-|冏=24-2=a=0-l,则e=-$/2+1

3、解析：为钝角三角形，且A居片＞45

b~

2792

即AF}>FjF>，.二一>2c=>c-a—2ac>0

a

即e?-2e-l＞0=e〉l+血

答案：B

4、答案：A

思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形M6耳的特点，从物•（丽'+西）=0

人手，可得~F\M1（加+的），数形结合可得四边形OMPF］为菱形，所以

|。叫=|0用=|0可，可判定AMRF2为直角三角形。

\ME\:|必同=6:3nlM用=y/3k,\MF2\=3k,可得|线玛|=^MF.f+\MF2f=2®

.e=2c_忻图一2®一百

2a\MF.\-\MF]3k-®'

5、答案：B

—I-2c<ci

2

解析:由椭圆与圆有四个不同的交点,则《对任意re［l,2］恒成立,即

bt..

—\-2c>b

12

b+2c<a5c2-4ac>05e--4e>0抬A

b汽,平方变形后可得:

—+2c>b-«2+17C2>0e2>—(5J

[2I17

6、答案：---

4

解析：设切线AC的方程为夕=匕（%—秋。，切线3。的方程为丁=网》+m〃，联立切线4。

y-kt(x—

与内层椭圆方程，得所以

(/>%)'+(ay『=(a/?y

,b2

221

W+ak^x-2m拼Ex+加％%；_=Q由△=()可得：％：=，♦1—,同理

1a2m1-1

^-r-(m2-1),所以2；%；=勺n",=B=2na：a：c=4:3:近。BPe=

a"x'a"a"164

7、答案：D

解析：设双曲线方程为予一%=1（。>02>0）,如

图所示：\BM\=\AB\=2a,ZABM=120°,过点M作

MNJ.X轴于N,在Rt^BMN中，

\BN\=a,\MN\=>/3a,所以Af（2a,JGab代入双曲

、（2a）2（八）一

线方程可得：---;--------Z---=1可得：

h

—=l^>a:b:c=l:1：y/2,从而e=—=\f2

ha

8、答案：A

解析：由双曲线可知闾一眼娟=6|昭|=2a,所以|巾|=],因为点四用“一〃，

ac44

即上Nc—a,所以即最大值为上

3a33

3

9、答案：-

2

解析：由G方程可得其渐近线方程为y=±?x,与抛物线联立可解得交点

a

A（咨，驾）3（—文，消■）,抛物线的焦点坐标为

a