2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={0,1,2}，则A∪B等于A.{1} B.{0,1} C.[0,2) D.[0,2]2.下列关于命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定说法正确的是(

)A.∀x∈R，均有x2+x+1≥0真命题 B.∀x∈R，均有x2+x+1≥0假命题

C.∃x∈R，有x2+x+1≥0假命题3.已知函数f(x)=log2(2−x),x<02x−k,x≥0A.−1 B.0 C.1 D.24.已知实数a>b>c，abc≠0，则下列结论一定正确的是(

)A.ab>ac B.ab>bc

C.5.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD=2−3，锯道AB=2，则图中ACB与弦AB围成的弓形的面积为(

)A.π2B.2π3C.π3D.π6.函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(−17π4)=(

)A.3

B.−3

C.17.已知4a=ln4，b=e−1，5c=ln5，则a，b，c的大小关系为(

)A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c8.定义在正整数上的函数满足f(k+2)=3f(k+1)−f(k)(k∈N∗)，则f(65)=A.f(1) B.f(3) C.f(5) D.f(7)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知正数a，b满足a+2b=2ab，则下列说法一定正确的是(

)A.a+2b≥4 B.a+b≥4 C.ab≥2 D.a10.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，y∈R都满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=0 B.f(−1)=1

C.f(x)是奇函数 D.若

f(2)=12，则11.已知函数f(x)=x2+x−1eA.函数f(x)存在两个不同的零点

B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C.当−e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根

D.若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.tan(π+α)=2，则sin(α−3π)+cos13.若幂函数y=f(x)的图象过点(27,33)，则函数f(x−1)−14.设函数f(x)=1116(x+1),−3≤x≤k,13x3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知全集为R，集合A={x||2x+1|<5},B={x|2x−a<18}．

(1)当a=1时，求(∁RA)∪B；

(2)16.(本小题15分)

已知a∈R，若关于x的不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集是(−3,1)．

(1)求a的值；

(2)若关于x的不等式ax2+bx+3≥017.(本小题15分)

已知函数f(x)=24sin(π3−x)+64cos(π3−x).

18.(本小题17分)

已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1ex．

(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)若f(2x)>ag(x)在x∈(1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)记H(x)=g(x+1)f(x+1)+1，若a，b∈R，且19.(本小题17分)

设函数g(x)在区间D上可导，g′(x)为函数g(x)的导函数.若g′(x)是D上的减函数，则称g(x)为D上的“上凸函数”；反之，若g(x)为D上的“上凸函数”，则g′(x)是D上的减函数．

(1)判断函数f(x)=2xcosx−1在(0,π2)上是否为“上凸函数”，并说明理由；

(2)若函数ℎ(x)=−13x3+12ax2−axlnx+ax是其定义域上的“上凸函数”，求a的取值范围；

(3)已知函数μ(x)是定义在R参考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.ABC

12.3

13.−314.[−3,15.解：(1)A={x||2x+1|<5}={x|−3<x<2}，

当a=1时，B={x|2x−1<18}={x|x<−2}，

所以(∁RA)∪B={x≤−3或x≥2}∪{x|x<−2}=(−∞,−2)∪[2，+∞)；

(2)B={x|2x−a<18}={x|x<a−3}，

由“x∈A”是“16.解：(1)由题意得1和−3是(1−a)x2−4x+6=0的两根，

将x=1代入方程解得a=3(经检验满足题意)；

(2)由(1)可知ax2+bx+3≥0即3x2+bx+3≥0，

当x=0时，上式不等式3>0显然成立；

当0<x≤2时，3x2+bx+3≥0⇒−b≤3(x+1x)，

又因为3(x+117.解：(1)∵f(x)=24sin(π3−x)+64cos(π3−x)，

=24(32cosx−12sinx)+64(12cosx+32sinx)，18.解：(1)因为f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，

因为f(x)−g(x)=1ex，

将x换成−x可知，f(−x)−g(−x)=ex，

化简可得：f(x)+g(x)=ex，

联立方程组f(x)+g(x)=exf(x)−g(x)=1ex，

解得f(x)=12(ex+1ex)，g(x)=12(ex−1ex).

(2)由f(2x)>ag(x)，

所以e2x+1e2x>a(ex−1ex)，

令ex−1ex=t，

因为19.解：(1)由题意f(x)=2xcosx−1，f′(x)=2cosx−2xsinx，令f′(x)=u(x)，

则u′(x)=−4sinx−2xcosx，当x∈(0,π2)时，−4sinx<0，−2xcosx<0，

即此时u′(x)=−4sinx−2xcosx<0，所以u(x)即f′(x)单调递减，

从而由定义可知函数f(x)=2xcosx−1在(0,π2)上是“上凸函数”；

(2)因为ℎ(x)=−13x3+12ax2−axlnx+ax，

所以ℎ′(x)=−x2+ax−alnx−a+a=−x2+ax−alnx，(x>0)，设ℎ′(x)=v(x)，

则v′(x)=−2x+a−ax，

由题意函数ℎ(x)=−13x3+12ax2−axlnx+ax是其定义域上的“上凸函数”，

所以ℎ′(x)=v(x)单调递减，

从而当x>0时，v′(x)=−2x+a−ax≤0恒成立，

即当x>0时，−2x2+ax−a≤0恒成立，

当x=1时，不等式左边为−2，不等式成立，此时a任意