四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1.某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（

）A.24种 B.4种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，故共有种选择方法.故选：D.2.已知函数在处取得极小值1，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C3.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有2个极值点 B.为函数的极大值C.有1个极小值 D.为的极小值〖答案〗B〖解析〗函数，由图象可知;当时，所以，即函数在上单调递减；当时，所以，即函数在上单调递增；当时，所以，即函数在上单调递减；当时，所以，即函数在上单调递增；所以在和处取得极小值，故C，D错误；在处取得极大值，故B正确，所以有3个极值点，故A错误，故选：B.4.已知函数，则（）A.在上是增函数 B.在上是增函数C.当时，有最小值 D.在定义域内无极值〖答案〗C〖解析〗对于ABD，因为，则，令，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故ABD错误；对于C，当时，根据的单调性可知，，故C正确.故选：C.5.已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗依题意，，则，，所以，所以.故选：A6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以的最小值为，所以，即的取值范围为.故选：D.7.已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，使得成立，则函数的值域包含的值域.当时，函数开口向上，对称轴，所以在上单调递减，且，所以；当时，，则，①若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即，解得；②若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.③当时，的值域为，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：B.8.已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，所以，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为.故选：A.二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）9.下列表述中正确的是（）A.若不存在，则曲线在点处没有切线B.C.已知函数，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗取，则，在处导数不存在，但在处的切线方程为，故A错误；由基本初等函数的求导公式可得，故B正确；因为，则，故C错误；因为，则，令，则，即，故D正确；故选：BD10.已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗设，则，所以在上单调递增，由得故A选项错误；由得，故B选项正确；设，则，所以在上单调递减，由得，故C选项正确；由得，故D选项正确.故选：BCD.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.当时，在定义域上恒成立B.若经过原点的直线与函数的图像相切于点，则C.若函数在区间单调递减时，则的取值范围为D.若函数有两个极值点为，则的取值范围为〖答案〗AC〖解析〗对于A，当

，

，

，当

时，，故

在上单调递增，当

时，，故

在上单调递减，则

，故A

正确；对于B，因为

，其中

，则

，所以

，

，故

的图象在点

处的切线方程为

，将代入切线方程可得

，解得

，故B

错误；对于C，

，则

，因为

在区间

上单调递减，故

，

恒成立，可得

，令

，其中

，则

，当

时，

，故

在单调递减，当

时，

，故函数

在单调递增，因为

，

，，则

，故

，故实数

的取值范围是

，故

C

正确对于D，因为

，由题意可知，方程

在

上有两个不等的实根，即方程

在

上有两个不等的实根，则

，可得

，故D

错误，故选：AC．三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.函数在区间上的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗因，所以，令，得；令，得；故函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故〖答案〗为：.13如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答）〖答案〗144〖解析〗如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，共有种.故〖答案〗：144种.14.已知函数，，若直线是曲线的切线，则______；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是______.〖答案〗①②〖解析〗，设切点为，则，解得：；由得，设，（，且），则，当或时，，此时，递减；当时，，此时，递增.当时，；当时，，且当时，，，当时，.所以当时，直线与曲线有两个交点，，且，，因为，所以，且,令，则，又，则，得，有，，设，则，，由，，在上单调递减，则，设，则，由，有，在上单调递减，则有，可得的取值范围为.故〖答案〗为：；.四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1）因为，所以，则，因为函数在点处的切线与直线垂直，故，解得；（2）因为，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下：30+0↘极小值↗极大值↘故的单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.16.已知函数.（1）求在上的最大值；（2）若函数恰有1个零点，求的取值范围.解：（1），可知时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，由，，；（2）当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在单调递减，所以，，当时，，当时，，因为有1个零点，故或，所以或，故的取值范围..17.已知0，1，2，3，4，5这六个数字．（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？（3）可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数？（4）可以组成多少个无重复数字的大于3000且小于5421的四位数？解：（1）分3步:①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有个（2）分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有个.（3）分3类：①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个；③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个；因此，比1000小的自然数共有个．（4）分4类：①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；②千位数字为，百位数字为之一时，共有个；③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个；④也满足条件；故所求四位数共有个.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）探究：是否存在实数，使得函数在上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为函数，所以定义域为：.，当时，，则在区间上单调递增；当时，，即，，所以方程有两个实数根，.①当时，，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；②当时，，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；综上所述：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）因为，则，所以的定义域为.，令，则.若时，在区间单调递增，没有最小值，不符合题意，舍去；若时，在区间单调递减，区间单调递增，此时最小值为，则，不在范围内，舍去；若时，在区间单调递减，此时最小值为，则；所以，存在实数，使得函数在上的最小值为2.19.已知函数，e为自然对数底数．（1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；（2）判断不等式的整数解的个数；（3）当时，，求实数a的取值范围．解