上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为___________．〖答案〗〖解析〗扇形弧长.故〖答案〗为：.2.已知向量，设，向量，若，则___________．〖答案〗1〖解析〗由，且可得，解得.故〖答案〗：1.3.若，则___________．〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.4.在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________．〖答案〗〖解析〗，则，则.故〖答案〗为：.5.若，则___________．〖答案〗〖解析〗由，两边平方后得，即，则.故〖答案〗为：.6.若向量，则___________．〖答案〗〖解析〗由可得，且；所以，又，可得.故〖答案〗为：.7.设，若函数的.定义域为，则的值为___________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，，所以.故〖答案〗为：.8.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到）〖答案〗14.6〖解析〗由题意可得，，，，则，在中，由正弦定理可得，即，所以.故〖答案〗为：14.6.9.若，则___________．〖答案〗3〖解析〗.故〖答案〗为：3.10.已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______〖答案〗〖解析〗设，则，，将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为，则，∴点的纵坐标为.故〖答案〗为：.11.i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为___________．〖答案〗〖解析〗设，则，整理为，所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面，，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图，的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以.故〖答案〗为：.12.已知平面非零向量的模均为，若，则___________．〖答案〗2〖解析〗设，，，，其中，因为，则；因为，则，则，又因为，当时，，即，即，因为，则或0，则，显然当时，，无实数解；当时，，则或（舍去），当时，，即，即，因为，则或，则，显然当时，，无实数解；当时，，则或（舍去），综上所述：.故〖答案〗为：2.二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，，则，即，得，.故选：A.14.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，，因为函数是定义在上的偶函数，所以.故选：B.15.若对任意实数x都有，则角的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，，因为，所以角的终边在第四象限.故选：D.16.设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设的值域为，的值域为，则由题意得，因为，则，则，则，因为，所以，对A，当时，，则，则，不满足，故A错误；对B，当时，，，则，则，满足，故B正确；对C，当时，，，则，则，不满足，故C错误；对D，当时，，则，则，不满足，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．解：，设，则，∵，∴.18.已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，且，可得；由二倍角公式可得；；所以.（2）由（1）可得，所以.19.（1）已知P是直线上一点，（为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标．（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？解：（1）由题意得，故，解得；故点P的坐标为.（2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，直线，即，设直线，将点代入中，得，解得，故直线，联立，解得，故当机器狗在时，离小明最近.20.在中，已知边上的中线长为．（1）求证：；（2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角．解：（1）因为，则，则在和利用余弦定理得，化简得.（2）由（1）知①，同理可得②，③，①②③得④，则m、n、t满足④式，④①得，同理可得，，因为，则，则，则，，则，则，则，根据大边对大角，则为钝角.21.设．（1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．（2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．解：（1）设，，，，因为，所以，且，所以，所以，则，所以，即，所以，所以函数在区间上是严格增函数.（2）①，则，当时，即，，，所以不管为何值，和是函数的零点，当，即或时，，如图画出函数的图象，若或时，与无交点，没有零点，若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点，当或时，与有2个交点，当时，与有3个交点，综上可知