江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(为虚数单位),则复数的虚部是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,所以复数的虚部是.故选:C.2.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是()A.若,,则B.若m⊥α,n⊥α,则C.若,,且,,则D.若α⊥β,,m⊥n,则n⊥β〖答案〗B〖解析〗A选项,若,,则或异面,A错误;B选项,若m⊥α,n⊥α,则,B正确;C选项,若,则不能得到,C错误;D选项,如图,满足α⊥β,,m⊥n,,但不能推出n⊥β,D错误.故选:B.3.已知数据的平均数为10,方差为5,数据的平均数为,方差为,则()A.=10,=14 B.=9,=44C.=29,=45 D.=29,=44〖答案〗C〖解析〗原来数据平均值为,方差为则,方差为.故选:C.4.向量与不共线,,(),若与共线,则应满足()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为与不共线,且与共线,则,即,即.故选:C.5.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,观察向上的点数,设事件“第一枚向上点数为奇数”,事件“第二枚向上点数为偶数”,事件“两枚骰子向上点数之和为8”,事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”,则()A.与C互斥 B.A与C相互独立C.B与D互斥 D.B与D相互独立〖答案〗C〖解析〗记表示基本事件:第一枚骰子点数为,第二枚骰子的点数为,对A:对事件、都包含基本事件,所以与不互斥,故A错误;对B:因为,,事件包含基本事件,,所以,因为,所以不独立,故B错误;对C:若第二枚骰子的点数是偶数,则两枚骰子的点数之积不可能为奇数,所以事件和互斥,故C正确;对D:因为,,,因为,所以不独立,故D错误.故选:C.6.在中,角A,B,C对边分别为a,b,c.若,,,则实数a的值为()A.6 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为,由正弦定理得,,化简得,因为,所以,可得,又,所以,由正弦定理得,.故选:C.7.如图,四棱锥中,面,四边形为正方形,,与平面所成角的大小为,且,则四棱锥的外接球表面积为()A.26π B.28πC.34π D.14π〖答案〗C〖解析〗如图,因为面,四边形为正方形,所以可将四棱锥补成长方体,则四棱锥的外接球也是长方体的外接球,由面,所以就是与平面所成的角,则,所以,设四棱锥的外接球的半径为,因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径,所以,所以,所以四棱锥的外接球的表面积为.故选:C.8.已知,,若,则实数的值()A B.3 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为,所以,所以,因为,所以,则,上述等式两边平方可得,因为,所以,所以,解得.故选:B.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设复数(i为虚数单位),则下列结论正确的是()A.的共轭复数为 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为,所以,故A正确;因为,故B错误;因为,所对应点为,故C正确;因为,故D正确.故选:ACD.10.已知内角对边分别为,则下列说法正确的是()A若,则B.若,则为等腰三角形C.若,则为锐角三角形D.若的三角形有两解〖答案〗ABD〖解析〗对于A,因为,则由正弦定理可得,,所以,即,故A正确;对于B,由余弦定理得,化简得,故为等腰三角形,故B正确;对于C,由余弦定理,因为,所以,故只能判断为锐角,无法判断,故C错误;对于D,若,则由正弦定理得,因为,所以三角形有两解,故D正确.故选:ABD.11.如图,在棱长为的正方体中,M,N,P分别是,,的中点,则()A.M,N,B,四点共面B.若,则异面直线与MN所成角的正弦值为C.平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形D.若,则三棱锥的体积为〖答案〗AD〖解析〗A选项,连接,,因为M,N分别是,的中点,所以,又,故,所以M,N,B,四点共面,A正确;B选项,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,则异面直线与MN所成角的余弦值为,故正弦值为,B错误;C选项,如图所示,设的中点分别为,连接,故平面PMN截正方体所得截面为正六边形,C错误;D选项,连接,则,故,其中,⊥平面,所以,D正确.故选:AD.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,不需写出解答过程,请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上.12.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球,其中2个白球,1个红球和3个黄球,从中1次随机摸出2个球,则恰有一球是黄球的概率是_______.〖答案〗〖解析〗根据题意,设2个白球的编号为,1个红球的编号为c,3个黄球编号为,从中1次随机摸出2个球,共有:,共15种基本事件,其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种,故所求概率,故恰有一球是黄球的概率为:.故〖答案〗为:.13.已知,,,则______.〖答案〗〖解析〗因为,,,所以,,所以,又,所以,即,所以.

故〖答案〗为:.14.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,是的中线,且,则的最大值为_______.〖答案〗4〖解析〗由题意得,,因为是的中线,所以,所以,所以,所以,当且仅当时取等号,因为,所以,当且仅当时取等号,所以,当且仅当时取等号,所以,得,当且仅当时取等号,所以的最大值为4.故〖答案〗为:4.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.(1)求的值;(2)求的值.解:(1)因为,所以,所以,所以.(2)因为,所以,因为,所以,所以.16.某市高一年级数学期末考试,满分为100分,为做好分析评价工作,现从中随机抽取100名学生成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40和100之间,将数据按照,,,,,分成6组,制成如图所示的频率直方图.(1)求频率直方图中m的值,并估计这100名学生的平均成绩;(2)若成绩在的为A等级,的为B等级,其他为C等级,①在这100名学生中用分层抽样的方法在A,B,C三个等级中抽取25人,求从B等级中抽取的人数.②以样本估计总体,用频率代替概率,从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人,求至少有一人为B等级的概率.(注:当总体数比较大时,不放回抽取可视为有放回抽取)解:(1)由频率直方图知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1,∴0.012,易知,,,,,相应的频率分别为0.04,0.22,0.30,0.28,0.12,0.04,∴100名同学的平均成绩估计值为:0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4.(2)①由(1)知A等级的频率为0.04,A等级的人数为100×0.04=4人,B等级的频率为(0.28+0.12)=0.4,B等级的人数为100×0.4=40人,C等级的频率为(0.04+0.22+0.30)=0.56,C等级的人数为100×0.56=56人,∴抽取25人中B等级中的人数为25×=10人.②用频率代替概率,所以抽取一次,B等级被抽中的概率为0.4,抽取三次都没有抽中B等级的概率=(1-0.4)3=0.216,所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率=1-0.216=0.784.17.如图,在平行四边形中,,垂足为P,E为中点,(1)若·=32,求的长;(2)设||=,||=,=-,=x+y,求的值.解:(1),∴是在方向上的投影向量,∴·=,即.法二:,∴·||·||||·||,即.(2)在中,,所以,==,因为,所以,,以P为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,建系如图:易知因为E为中点,所以,,,,∵=x+y,∴,由平面向量基本定理得:,解得:,所以:.法二:在中,,所以,==,因为,所以,,因为,所以,又∵由平面向量基本定理得:,解得:,所以:.18.如图,在四棱锥中,底面为正方形,在棱上且侧面,,垂足为.(1)求证:平面;(2)若平面与直线交于点,证明:;(3)侧面为等边三角形时,求二面角的平面角的正切值.解:(1)如图:因为侧面,平面,所以,又因为四边形为正方形,所以,又,平面,所以平面,因为侧面,所以,因,且,平面,所以平面.(2)因为底面为正方形,所以,又因为平面,平面,所以平面,又平面,平面平面,所以.(3)如图:由题为等边三角形,,故为中点,在线段上取点,使得,因为是正方形,所以,又,所以,又因为底面,底面,所以,又,平面,,所以平面,又平面,所以,所以即为二面角的平面角,设,不妨设等边的边长为2,则,,所以在中,.19.已知函数f(x)=sinx+mcosx.(1)若函数f(x)的图象关于直线x=轴对称,求实数m的值.(2)已知锐角△ABC的角A,B,C对边分别是a,b,c,c=且当m=1时满足f(A)=.(i)若∠BCA的角平分线交边

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