河南省信阳市2024届高三下学期高考考前押题数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市2024届高三下学期高考考前押题数学试卷一、选择题1.（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.已知，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗∵，∴，∴；又∵，当时，，∴是的充分不必要条件.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.故选：D.4.某校为让学生深入了解中国传统文化，计划从春节、元宵节、重阳节这3个传统节日，以及京剧、国画这2种艺术形式中随机选取3种进行宣传，则恰好选中2个传统节日和1种艺术形式的概率为（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2〖答案〗B〖解析〗记“恰好选中2个传统节日和1种艺术形式”为事件A，则样本空间共有个基本事件，事件A包含个基本事件，所以.故选：B.5.若，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由对数函数单调性，可得，所以；因为，所以，又因为，所以，即，所以.故选：B.6.已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，解得，设的最小正周期为，故，解得，因为，所以，故，当时，，令，得，画出的图象，如下：要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，故，，且，两式相减得，.所以的最小值为.故选：D7.如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，可得，则，可知，且，平面，可知：平面，且平面，可得，设，即，则，因为，解得，即；同理可得：平面，，则，，又因为，则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心，在中，结合等边三角形可知：，因为平面，平面，则，可知，当时，取到最小值；当时，取到最大值；综上所述：线段取值范围为.故选：C.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（）A.3 B. C.3或7 D.或7〖答案〗D〖解析〗由题意可知：，因为，则，，，设，在中，由余弦定理可得，即，解得，又因为，则，解得，可得或，若，则，解得，符合题意；若，则，解得，符合题意；综上所述：实数的值为或7.故选：D.二、选择题9.一组样本数据的平均数为，方差为，极差为，与之相关的一组数据，，，，，的平均数为，方差为，极差为，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则数据的第75百分位数是〖答案〗ABD〖解析〗对于A：由题设有，故A正确；对于B：，故B正确；对于C中，例如：若样本数据，可得极差为，此时数据的极差为，此时，所以C不正确；由，所以数据的分位数为，所以D正确.故选：ABD.10.已知是定义在上的函数，且满足：①；②，则（）A. B.为奇函数C.在上单调递增 D.在处取得极小值〖答案〗AB〖解析〗因为，A：令，可得，故A正确；B：令，可得，则，即，若，可得；若，则，满足；综上所述：，所以为奇函数，故B正确；C、D：例如，显然不恒为0，且，，即，所以符合题意，但在上单调递减，无极值点，故C、D错误；故选：AB.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗由题意可知：双曲线的渐近线为，因为直线的斜率，则直线与双曲线的一条渐近线平行，可知，联立方程，解得，即，对于选项A：因为，若，则，解得，即，所以，故A正确；对于选项B：若，则，且，可得，所以，故B错误；对于选项C：若，可知为的中点，可得，且在双曲线上，则，即，解得，所以，故C正确；对于选项D：因为，即，且，即，解得，若，即，解得，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题12.已知全集，集合，，则______．（结果用区间表示）〖答案〗〖解析〗因为，则或，又因为，所以.故〖答案〗为：.13.已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______．〖答案〗〖解析〗因为圆，即为，可知圆心为，半径，由题意知：直线的斜率存在，且不为0，设直线，则直线，则圆心到直线的距离分别为，由题意可得：，解得.故〖答案〗为：.14.在中，．则______（用弧度制表示），若为的中点，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，且，可知，显然，则，可得，且，所以；因为，则，在中，由余弦定理可得：，即，整理得，解得或（舍去），在中，由余弦定理可得，即，，由余弦定理.故〖答案〗为：；.四、解答题15.数列中，，．（1）记，证明：为等比数列；（2）记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．（1）证明：因为，即，则，且，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.（2）解：由（1）可知：，即，所以，可知，若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得，所以实数的取值范围为.16.自去年淄博烧烤和今年哈尔滨旅游爆火以来，各地文旅部门各显神通，积极推进本地旅游的推介宣传．某市为了提高居民对当地历史文化、自然风光、特产、美食等的了解，助力旅游产业发展，该市文旅部门举行了民俗、地方历史文化等内容的宣讲，并在该市18岁及18岁以上的市民中随机抽取400名市民进行宣讲内容的线上知识测试，将这400人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为测试合格．组别频数197810313664（1）组织者为参加此次测试的市民制定了如下奖励方案：①测试合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额为20元，50元，每个测试者每次获得20元红包的概率为，获得50元红包的概率为．若从这400名市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布列及数学期望；（2）已知上述抽测中18岁及18岁以上且在60岁以下市民的测试合格率约为，该市所有18岁及18岁以上的市民中60岁以下人员占比为．假如对该市不低于18岁的市民进行上述测试，估计其中60岁及60岁以上市民的测试合格率以及测试合格的市民中60岁以下人数与60岁及60岁以上人数的比值．解：（1）从这400名市民中随机选取1人，这名市民测试合格的频率为，用频率估计概率可知：这名市民测试合格的概率为，由题意可知：的可能取值为，则有：，，所以的分布列为20405070100的期望.（2）记“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人为60岁以下人员”为事件A，“在所有18岁及18岁以上的市民中抽取一人，该人测试合格”为事件B，用频率估计概率，可得：，则，由全概率公式可得：，即，解得，设所求比值为，则，所以所求比值为24.17.如图，在四面体中，，，，为棱的中点，为棱的靠近的三等分点．（1）证明：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为，为棱的中点，则，又因为，，则，且，取的中点，连接，则，且，平面，可知平面，由平面，可知，则，，，平面，所以平面.（2）解：由（1）可知：平面，且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，可得，由题意可得：，解得，即，则，由题意可知：平面的法向量，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）已知过上一点的直线分别交于两点（异于点A），设的斜率分别为．①若，求证：直线过定点；②若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．（1）解：设，则，若，则，解得，即，因点在抛物线上，则，即，所以曲线的方程为.（2）①证明：因为点在曲线上，则，即，设，，则直线的斜率分别为，可知直线，即，若，即，整理得，可得直线，所以直线过定点；②解：若，且，且，则，整理得，即，可得，解得且，可知直线，即，则点到直线的距离，可得的面积，令，则，令，则，可知在内单调递增，且，，则，可得，所以的面积的最大值为3.19.已知函数，．（1）试比较与的大小；（2）若恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，构建，则在内恒成立，可知在内单调递减，且，则有：若，则，即；若，则，即；若，则，即.（2）若恒成立，则，构建，原题意等价于在内恒成立，则，